于明華

“概率”章節(jié)涉及到的概念、公式較多，很多學(xué)生往往會(huì)因?yàn)閷?duì)概念、公式理解不清，考慮問題不全面等造成這樣或那樣的解題錯(cuò)誤，故很有必要?dú)w類總結(jié)常見解題易錯(cuò)點(diǎn).

1 易錯(cuò)點(diǎn)一：將“非等可能”與“等可能”混同

例1擲兩枚骰子，求事件A為“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和等于3”的概率.

錯(cuò)解：擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和的可能數(shù)值為2，3，4，……，12，而滿足事件A的結(jié)果只有數(shù)值3，故P（A）=111.

剖析：上述錯(cuò)解的根源在于沒有厘清公式P（A）=mn中的n，m的具體含義.

正解：擲兩枚骰子出現(xiàn)的等可能結(jié)果有（1，1），（1，2），……，（1，6），（2，1），（2，2），……，（2，6），……，（6，1），（6，2），……，（6，6），共36種.

在這些結(jié)果中，事件A包含兩種等可能結(jié)果：（1，2），（2，1）.

故所求概率為P（A）=236=118.

2 易錯(cuò)點(diǎn)二：將目標(biāo)事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)算錯(cuò)

例2 甲、乙二人參加普法知識(shí)競賽，共有10個(gè)不同的題目，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè)，甲、乙二人依次各抽取一題. 求甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率.

錯(cuò)解：因?yàn)榧壮榈竭x擇題的事件數(shù)是6×9，乙抽到選擇題的事件數(shù)6×9，所以甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的事件數(shù)為12×9.又甲、乙二人依次各抽取一題的事件數(shù)是10×9，故甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率是1210=65.

剖析：由于考慮不細(xì)致，實(shí)際上把甲、乙二人都抽到選擇題的事件數(shù)計(jì)算了兩次，這是上述錯(cuò)解的根本原因.

正解：甲、乙二人依次各抽取一題的基本事件的總數(shù)是10×9=90.

甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題，包括以下三種情形：（1）只有甲抽到了選擇題，事件數(shù)是6×4=24；（2）只有乙抽到了選擇題，事件數(shù)是6×4=24；（3）甲、乙同時(shí)抽到選擇題，事件數(shù)是6×5=30.

故甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率是24+24+3090=1315.

3 易錯(cuò)點(diǎn)三：沒有注意抽取時(shí)是否“放回”

例3一個(gè)袋子中有紅、白、藍(lán)三種顏色的球共24個(gè)，除顏色外完全相同，已知藍(lán)色球3個(gè).若將這三種顏色的球分別進(jìn)行編號(hào)，并將1號(hào)紅色球，1號(hào)白色球，2號(hào)藍(lán)色球和3號(hào)藍(lán)色球這四個(gè)球裝入另一個(gè)袋子中，甲乙兩人先后從這個(gè)袋子中各取一個(gè)球（甲先取，取出的球放回），求甲取出的球的編號(hào)比乙的大的概率.

錯(cuò)解：記“甲取出的球的編號(hào)比乙的大”為事件A.

所有的基本事件有（紅1，白1），（紅1，藍(lán)2），（紅1，藍(lán)3），（白1，紅1），（白1，藍(lán)2），（白1，藍(lán)3），（藍(lán)2，紅1），（藍(lán)2，白1），（藍(lán)2，藍(lán)3），（藍(lán)3，紅1），（藍(lán)3，白1），（藍(lán)3，藍(lán)2），共12個(gè).

事件A包含的基本事件有（藍(lán)2，紅1），（藍(lán)2，白1），（藍(lán)3，紅1），（藍(lán)3，白1），（藍(lán)3，藍(lán)2），共5個(gè).

故P（A）=512.

剖析：由于題目要求“甲先取，取出的球放回”，而上述解題過程卻是按“不放回”的方式思考的，這是導(dǎo)致上述錯(cuò)誤的根源所在.

注意：如果把“甲先取，取出的球放回”這句話修改為“甲先取，取出的球不放回”，那么上述錯(cuò)解就是正確的.

正解：記“甲取出的球的編號(hào)比乙的大”為事件A.

所有的基本事件有（紅1，白1），（紅1，藍(lán)2），（紅1，藍(lán)3），（白1，紅1），（白1，藍(lán)2），（白1，藍(lán)3），（藍(lán)2，紅1），（藍(lán)2，白1），（藍(lán)2，藍(lán)3），（藍(lán)3，紅1），（藍(lán)3，白1），（藍(lán)3，藍(lán)2），（紅1，紅1），（白1，白1），（藍(lán)2，藍(lán)2），（藍(lán)3，藍(lán)3），共16個(gè).

事件A包含的基本事件有（藍(lán)2，紅1），（藍(lán)2，白1），（藍(lán)3，紅1），（藍(lán)3，白1），（藍(lán)3，藍(lán)2），共5個(gè).

故根據(jù)古典概型可知，P（A）=516.

4 易錯(cuò)點(diǎn)四：沒有注意“公式成立的前提條件”

例4一盒中裝有各色球6個(gè)，其中2個(gè)紅球、2個(gè)黑球、2個(gè)白球，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)球，求至少有一個(gè)紅球或一個(gè)黑球的概率.

錯(cuò)解：設(shè)事件R為“從中隨機(jī)取出2個(gè)球”；

事件A為“從中隨機(jī)取出2個(gè)球，至少有一個(gè)紅球或一個(gè)黑球”； 事件B為“從中隨機(jī)取出2個(gè)球，有一個(gè)紅球”；事件C為“從中隨機(jī)取出2個(gè)球，有一個(gè)黑球”.

事件R包含的基本事件有（紅1，黑1），（紅1，黑2），（紅1，白1），（紅1，白2），（紅2，黑1），（紅2，黑2），（紅2，白1），（紅2，白2），（黑1，白1），（黑1，白2），（黑2，白1），（黑2，白2），（紅1，紅2），（黑1，黑2），（白1，白2），共15個(gè).

事件B包含的基本事件有（紅1，黑1），（紅1，黑2），（紅1，白1），（紅1，白2），（紅2，黑1），（紅2，黑2），（紅2，白1），（紅2，白2），（紅1，紅2），共9個(gè).

事件C包含的基本事件有（紅1，黑1），（紅1，黑2），（紅2，黑1），（紅2，黑2），（黑1，白1），（黑1，白2），（黑2，白1），（黑2，白2），（黑1，黑2），共9個(gè).

故由互斥事件的概率加法公式，可得

P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C）=915+915=65.

剖析：利用互斥事件的概率加法公式P（A+B）=P（A）+P（B）時(shí)，要注意事件A與B必須互斥.而本題中由于事件B，C都包含基本事件（紅1，黑1），（紅1，黑2），（紅2，黑1），（紅2，黑2），所以事件B，C不是互斥的，從而事件A不能轉(zhuǎn)化為事件B，C之和，這是上述錯(cuò)解的根源所在.

正解：設(shè)事件R為“從中隨機(jī)取出兩個(gè)球”；事件A為“從中隨機(jī)取出2個(gè)球，至少有一個(gè)紅球或一個(gè)黑球”；事件B為“從中隨機(jī)取出2個(gè)球，有紅球無黑球”；事件C為“從中隨機(jī)取出2個(gè)球，有黑球無紅球”；事件D為“從中隨機(jī)取出2個(gè)球，既有紅球又有黑球”.

事件R包含的基本事件有（紅1，黑1），（紅1，黑2），（紅1，白1），（紅1，白2），（紅2，黑1），（紅2，黑2），（紅2，白1），（紅2，白2），（黑1，白1），（黑1，白2），（黑2，白1），（黑2，白2），（紅1，紅2），（黑1，黑2），（白1，白2），共15個(gè).

事件B包含的基本事件有（紅1，白1），（紅1，白2），（紅2，白1），（紅2，白2），（紅1，紅2），共5個(gè).

事件C包含的基本事件有（黑1，白1），（黑1，白2），（黑2，白1），（黑2，白2），（黑1，黑2），共5個(gè).

事件D包含的基本事件有（紅1，黑1），（紅1，黑2），（紅2，黑1），（紅2，黑2），共4個(gè).

因?yàn)橐字录嗀可轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件B，C，D之和，即A=B+C+D，故由互斥事件的概率加法公式，得所求概率為為P（A）=P（B+C+D）

=P（B）+P（C）+P（D）=515+515+415=1415.

5 易錯(cuò)點(diǎn)五：將具體問題中的“測度”搞錯(cuò)

例5如圖1，在△ABC中，∠B=π3，∠C=π4，高AD=3，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM<1的概率.

錯(cuò)解：由圖易計(jì)算得BD=1，DC=3，故由題設(shè)及幾何概型的概率計(jì)算公式得所求概率P=BDBC=11+3=3－12.

剖析：解題時(shí)，要特別注意對(duì)“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M”這句話的準(zhǔn)確理解，由此可確定本題的測度應(yīng)該是“角度”，而不是“長度”！所以上述錯(cuò)解就是求概率時(shí)因轉(zhuǎn)化錯(cuò)誤而導(dǎo)致的.

注意：如果把“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M”這句話修改為“在線段BC上找一點(diǎn)M”，那么上述錯(cuò)解就是正確的.

正解：由圖易計(jì)算得BD=1，DC=3，所以目標(biāo)事件發(fā)生的區(qū)域?yàn)椤螧AD.

又∠BAD=π2－π3=π6，∠BAC=π－π3－π4=5π12，所以由幾何概型的概率計(jì)算公式得BM<1的概率P=∠BAD∠BAC=π65π12=25.

總之，關(guān)注“概率”章節(jié)常見解題易錯(cuò)點(diǎn)，有利于幫助學(xué)生加深對(duì)教材基本知識(shí)和方法的準(zhǔn)確理解，養(yǎng)成審慎思考的良好習(xí)慣，同時(shí)，能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及直觀想象等核心素養(yǎng).一言以蔽之，關(guān)注易錯(cuò)點(diǎn)，有利于借誤導(dǎo)悟，有利于逐步積累解題經(jīng)驗(yàn)，避免一些常見錯(cuò)誤的產(chǎn)生！