張華琴

將指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)或圖象融合在同一道試題中加以靈活、綜合考查，已成為近幾年高考試題設(shè)計(jì)的一個(gè)新亮點(diǎn).其符合新課標(biāo)高考理念，關(guān)注所學(xué)知識(shí)的交匯運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［1］.基于此，現(xiàn)歸類(lèi)舉例加以說(shuō)明.

1 精彩一：比較大小

若已知函數(shù)解析式是由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)以加減的形式構(gòu)造而成的，那么解題時(shí)就應(yīng)該充分利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及外在結(jié)構(gòu)形式，先分析函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求解比較大小的問(wèn)題.

例1 已知函數(shù)f（x）=13x－log2x，正實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足f（c）<0b；③bc.其中成立的個(gè)數(shù)為（）.

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：因?yàn)閐是方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根，所以f（d）=0.于是，由題設(shè)得f（c）

由于函數(shù)y=13x和y=－log2x都在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，因此函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減.又a，b，c，d都是正數(shù)，所以c>d>a>b.于是所給判斷②③正確.

故選答案：B.

評(píng)注：本題求解的關(guān)鍵是分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并活用函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

規(guī)律1：一般地，若函數(shù)f（x）和g（x）在同一區(qū)間A上都單調(diào)遞增（或遞減），則函數(shù)f（x）+g（x）在該區(qū)間A上也單調(diào)遞增（或遞減）.

規(guī)律2：一般地，當(dāng)01時(shí)，函數(shù)y=ax－logbx在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a>1，0

2 精彩二：解不等式

求解不等式時(shí)，如果能將不等式轉(zhuǎn)化為形如ax0，a≠1）的形式，那么就可以靈活運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性加以求解；如果能將不等式轉(zhuǎn)化為形如logax0，a≠1）的形式，那么就可以靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性加以求解.具體求解時(shí)，必須關(guān)注底數(shù)與“1”的大小關(guān)系；否則，極易出錯(cuò).一般地，當(dāng)a>1時(shí)，axy，logaxy>0.

例2已知函數(shù)f（x）=2ex－3，x<2，log3（x－5），x≥2.試解關(guān)于m的不等式f（m）<2.

解析：當(dāng)m<2時(shí)，由f（m）<2，得2em－3<2，即em－3<1=e0，則m－3<0

，解得m<3.又m<2，所以m<2.

當(dāng)m≥2時(shí)，由f（m）<2，得log3（m－5）<2=log39，則有0

5

綜上所述，不等式f（m）＜2的解集是{m|m<2或5

評(píng)注：求解簡(jiǎn)單的指數(shù)（或?qū)?shù)）不等式的一般步驟是先將不等式兩邊化成底數(shù)相同的形式，再利用對(duì)應(yīng)指數(shù)（或?qū)?shù)）函數(shù)的單調(diào)性即可.求解對(duì)數(shù)不等式時(shí)，要特別關(guān)注隱含條件“對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零”.從整個(gè)解析過(guò)程來(lái)看，本題還考查了“分類(lèi)與整合思想”在解題中的靈活運(yùn)用.

3 精彩三：證明恒等式

如果題目已知條件中涉及指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，那么證明有關(guān)恒等式時(shí)，往往需要結(jié)合指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)靈活構(gòu)造新函數(shù)，并在適當(dāng)變形的基礎(chǔ)上運(yùn)用新函數(shù)的單調(diào)性加以巧證［2］.

例3已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a+lg a=3，且b+10b=3，求證：a+b=3.

證法一：設(shè)函數(shù)f（x）=x+10x，則由題設(shè)得f（b）=b+10b=3，f（lg a）=lg a+10lg a=lg a+a=3，所以f（b）=f（lg a）.

因?yàn)楹瘮?shù)y=x和y=10x在R上都單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，從而有b=lg a.于是，a+b=a+lg a=3，故得證.

證法二：設(shè)函數(shù)g（x）=x+lg x（x＞0），則由題設(shè)得g（a）=a+lg a=3，g（10b）=10b+lg 10b=10b+b=3，所以g（a）=g（10b）.

因?yàn)楹瘮?shù)y=x和y=lg x在（0，+∞）上都單調(diào)遞增，所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.又因?yàn)?0b>0，且由題設(shè)易知a>0，從而必有a=10b.

所以a+b=10b+b=3，得證.

評(píng)注：上述證法一、證法二解題的關(guān)鍵都是靈活構(gòu)造函數(shù)，并且巧妙地利用了函數(shù)的單調(diào)性“一般地，若f（x）是區(qū)間A上的單調(diào)函數(shù)，且x，y∈A，則f（x）=f（y）x=y”.此外，應(yīng)注意對(duì)數(shù)恒等式alogaN=N與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則在化簡(jiǎn)運(yùn)算中的靈活運(yùn)用.

4 精彩四：求解含參問(wèn)題

處理涉及指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，且含有參數(shù)的最值問(wèn)題或者解不等式問(wèn)題時(shí)，往往需要借助指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（包括定義域、值域、單調(diào)性等）加以靈活分析.

例4若函數(shù)f（x）=loga（x2+2x+2）（a>0，a≠1）有最大值，則由不等式

a2x+3

解析：因?yàn)閤2+2x+2=（x+1）2+1≥1，所以根據(jù)函數(shù)f（x）=loga（x2+2x+2）有最大值，易知01+3x，解得x<2.

故由不等式a2x+3

評(píng)注：本題求解的關(guān)鍵步驟有兩點(diǎn).一是由函數(shù)f（x）存在最大值，準(zhǔn)確判斷得到參數(shù)

a與1的大小關(guān)系；二是利用指數(shù)函數(shù)y=ax（0

仿照例4的解析過(guò)程，我們很容易求解如下姊妹題：設(shè)a>0，a≠1，若函數(shù)f（x）=loga（x2－2x+3）有最小值，則由不等式a2x+3

5 精彩五：求解最值問(wèn)題

處理涉及指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí)，往往需要運(yùn)用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（包括定義域、值域、單調(diào)性等）以及“換元”技巧（換元之后，需要關(guān)注新元的取值范圍）加以靈活分析［3］.

例5已知函數(shù)y=ln （x－1）+ln （3－x）的定義域?yàn)镈，求函數(shù)f（x）=2x+4－3·4x（x∈D）的最值.

解析：由函數(shù)y=ln （x－1）+ln （3－x）有意義，得x－1>0且3－x>0，解得1

令2x=t，由f（x）=2x·24－3·（2x）2，得y=16t－3t2=－3t－832+643.

又由x∈D，可知t∈（2，8），故易知函數(shù)f（x）有最大值643，此時(shí)t=83，即x=log283=3－log23；但函數(shù)f（x）無(wú)最小值.

故函數(shù)f（x）=2x+4-3＼54x（x∈D）有最大值，且最大值為643.

評(píng)注：實(shí)施“換元”變形，有利于將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)問(wèn)題——求關(guān)于t的二次函數(shù)y=16t－3t2在給定區(qū)間（2，8）上的最值.從整體上看，本題設(shè)計(jì)較好，具有較強(qiáng)的綜合性，側(cè)重考查了對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)知識(shí)的交匯應(yīng)用，同時(shí)也較好地培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

綜上，只有準(zhǔn)確理解、熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，才能靈活處理涉及指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，進(jìn)而提高分析、解決此類(lèi)問(wèn)題的能力［4］.

參考文獻(xiàn)：

[1]包喜，盧秀敏.從指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算考查，探究數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的提升路徑[J].教學(xué)考試，2021（20）：78-80.

[2]符強(qiáng)如.觀(guān)式變構(gòu)——同構(gòu)在指數(shù)對(duì)數(shù)混合函數(shù)的應(yīng)用舉例[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2021（9）：9-10.

[3]肖志軍.“同構(gòu)”破解指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)混合型不等式問(wèn)題[J].高中數(shù)理化，2021（5）：8-10.

[4]江蘇省蘇州中學(xué)數(shù)學(xué)教研組.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用[J].新世紀(jì)智能，2021（85）：27.