周玉鳳

平面向量是既有大小又有方向的量，同時(shí)具有“數(shù)”與“形”的雙重特點(diǎn)，是數(shù)形結(jié)合自然一體的“橋梁”，可以有效“串聯(lián)”起平面向量與其他知識(shí)，實(shí)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的交匯與融合.平面向量既可以將幾何問(wèn)題代數(shù)化，借助坐標(biāo)、符號(hào)、數(shù)量等將推理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)處理，也可以將代數(shù)問(wèn)題幾何化，借助幾何意義、圖形等將運(yùn)算轉(zhuǎn)化為直觀模型來(lái)解決.

1 平面向量的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

平面向量這一“數(shù)”“形”兼?zhèn)涔ぞ咴趯?shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，可以使一些相關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.合理應(yīng)用平面向量，可使問(wèn)題的解答更加簡(jiǎn)捷，清晰.特別是借助平面向量來(lái)解決實(shí)際生活中一些與“力”有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題.

例1（多選題）在日常生活中，我們會(huì)看到兩人共提一個(gè)行李包的情境，如圖1所示，假設(shè)行李包所受重力為G，兩個(gè)拉力分別為F1，F(xiàn)2，若|F1|=|F2|，F(xiàn)1與F2的夾角為θ，則以下結(jié)論正確的是（）.

A.|F1|的最小值為12|G|

B.θ的取值范圍為＼

C.當(dāng)θ=π2時(shí)，|F1|=22|G|

D.當(dāng)θ=2π3時(shí)，|F1|=|G|

分析：根據(jù)題目條件，利用行李包為平衡狀態(tài)時(shí)的受力平衡構(gòu)建力的關(guān)系式，通過(guò)平面向量數(shù)量積公式的應(yīng)用與轉(zhuǎn)化，結(jié)合兩拉力的夾角θ的取值范圍或確定的取值，與各選項(xiàng)中的條件聯(lián)系加以分析與判斷.

解析：當(dāng)行李包為平衡狀態(tài)時(shí)，|G|=|F1+F2|為定值，且|F1|=|F2|，所以有|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|·cos θ=2|F1|2（1+cos θ），解得|F1|2=|G|22（1+cos θ）.

對(duì)于選項(xiàng)A，由θ∈＼F1|的最小值為12|G|，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，由題意可知，當(dāng)θ=π時(shí)，|F1|2=|G|22（1+cos θ）沒(méi)有意義，故選項(xiàng)B不正確；

對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)θ=π2時(shí)，|F1|2=|G|22，所以|F1|=22|G|，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)θ=2π3時(shí)，|F1|2=|G|2，所以|F1|=|G|，故選項(xiàng)D正確.

綜上分析，選擇：ACD.

2 平面向量與三角函數(shù)（或解三角形）的綜合問(wèn)題

三角函數(shù)（或解三角形）和平面向量的綜合問(wèn)題是近幾年高考數(shù)學(xué)的一個(gè)高頻考點(diǎn)與熱點(diǎn).這類問(wèn)題的求解，既要求我們具有嫻熟的三角恒等變換技能，又要求能熟練地進(jìn)行平面向量的基本運(yùn)算，特別是平面向量中的數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算.

例2〔2021年全國(guó)決勝高考數(shù)學(xué)仿真試卷（理科）（一）（全國(guó)Ⅱ卷）〕已知A，B，C三點(diǎn)共線，AB=3，AC=2CB，平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足PA·PC|PA|=PB·PC|PB|，則sin∠PAB的最大值是（）.

A.32

B.12

C.13

D.223

分析：根據(jù)題目條件，結(jié)合平面向量的線性關(guān)系式確定線段上三點(diǎn)的比例關(guān)系，利用平面向量的數(shù)量積公式與條件加以轉(zhuǎn)化，確定PC為∠APB的平分線，借助三角形的角平分線定理以及余弦定理的應(yīng)用，最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式來(lái)確定sin∠PAB的最大值.

解析：由AC=2CB，可知C為線段AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，且|AC|=2|CB|.

由PA·PC|PA|=PB·PC|PB|，可以得到

cos∠APC=cos∠BPC，則∠APC=∠BPC，所以PC為∠APB的平分線.

根據(jù)三角形的角平分線定理，得|PA||PB|=|AC||CB|=21，設(shè)|PB|=m（m＞0），則|PA|=2m.

在△ABP中，由余弦定理，可得cos∠PAB=|PA|2+|AB|2－|PB|22|PA|·|AB|=4m2+9－m212m=m4+34m≥2m4×34m=32，當(dāng)且僅當(dāng)m=3時(shí)，等號(hào)成立.

結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，有sin∠PAB=1－cos 2∠PAB≤1－322=12.

所以sin∠PAB的最大值是12.故選擇：B.

點(diǎn)評(píng)：平面向量的概念、運(yùn)算、數(shù)量積等的幾何意義中涉及三角函數(shù)（或解三角形）相關(guān)知識(shí)，這也為三角函數(shù)（或解三角形）和平面向量的綜合問(wèn)題做好了無(wú)縫鏈接，實(shí)現(xiàn)不同知識(shí)之間交互與整合.

3 平面向量與函數(shù)（或不等式、數(shù)列）的綜合問(wèn)題

平面向量作為數(shù)學(xué)工具，在“數(shù)”的視角與函數(shù)（或不等式、數(shù)列）等知識(shí)層面之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，以“數(shù)”為本，拓展類比，交匯融合起平面向量與函數(shù)（或不等式、數(shù)列）相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，創(chuàng)設(shè)更加豐富多彩的綜合應(yīng)用場(chǎng)景.

例3〔2021年全國(guó)高考數(shù)學(xué)臨門一卷試卷（二）〕定義向量列a1，a2，a3，……，an從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常向量（即坐標(biāo)都是常數(shù)的向量），即an=an－1+d（n≥2，且n∈N*），其中d為常向量，則稱這個(gè)向量列{an}為等差向量列.這個(gè)常向量叫作等差向量列的公差向量，且向量列{an}的前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+……+an.已知等差向量列{an}滿足a1=（1，1），a2+a4=（6，10），則向量列{an}的前n項(xiàng)和Sn=.

分析：根據(jù)題目條件，結(jié)合等差向量列的創(chuàng)新定義，易知等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式與求和公式對(duì)等差向量列也適合，進(jìn)而分別確定公差向量d與通項(xiàng)公式an，利用對(duì)應(yīng)的求和公式即可求解.

解析：根據(jù)創(chuàng)新定義，類比等差數(shù)列的等差中項(xiàng)的性質(zhì)，

可得2a3=a2+a4=（6，10），解得a3=（3，5）.

所以，等差向量列{an}的公差向量d=a3－a12=（3，5）－（1，1）2=（3－1，5－1）2=（2，4）2=（1，2）.

類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得等差向量列{an}的通項(xiàng)公式為an=（1，1）+（n－1）（1，2）=（1，1）+（n－1，2n－2）=（1+n－1，1+2n－2）=（n，2n－1）.

再類比等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求Sn.

所以得到等差向量列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n（a1+an）2=n［（1，1）+（n，2n－1）］2=n（1+n，2n）2=（n+n2，2n2）2=n+n22，n2.故填：n+n22，n2.

4 平面向量與幾何（平面幾何、解析幾何或立體幾何）的綜合應(yīng)用

平面向量作為數(shù)學(xué)工具，在“形”的視角與幾何（平面幾何、解析幾何或立體幾何）知識(shí)層面之間有著密切的聯(lián)系，以“形”為媒，以“形”創(chuàng)設(shè)，可以將向量知識(shí)滲透進(jìn)平面幾何、解析幾何或立體幾何等相關(guān)知識(shí)中.

例4〔2021年浙江省Z20聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)第三次聯(lián)考試卷（5月份）〕已知A，B，C，D是以O(shè)為球心，2為半徑的球面上的四個(gè)點(diǎn)，OA+OB+OC=0，則AD+BD+CD不可能等于（）.

A.6

B.7

C.8

D.62

分析：根據(jù)題目條件，確定O，A，B，C四點(diǎn)共面，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)D的變化情況，從“點(diǎn)D和A，B，C中的一個(gè)重合”與“OD⊥平面ABC”兩個(gè)極端位置來(lái)確定AD+BD+CD的取值，進(jìn)而求出其取值范圍，利用選項(xiàng)中的數(shù)值加以分析與判斷.

解析：連接AB，BC，AC.

因?yàn)锳，B，C，D是以O(shè)為球心，2為半徑的球面上的四個(gè)點(diǎn)，OA+OB+OC=0，

所以O(shè)，A，B，C四點(diǎn)共面，且△ABC為等邊三角形，∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°.

當(dāng)點(diǎn)D和A，B，C中的一個(gè)重合時(shí)，AD+BD+CD=2×22+22－2×2×2cos 120°=43（極限狀態(tài)，不能重合）.

連接OD，當(dāng)OD⊥平面ABC時(shí)，易得AD+BD+CD=3×22=62.

所以43

點(diǎn)評(píng)：利用平面向量解決此類平面向量與幾何（平面幾何、解析幾何或立體幾何）的綜合問(wèn)題時(shí)，可以選擇建系，使問(wèn)題坐標(biāo)化，從“數(shù)”的視角將問(wèn)題巧妙解決；也可直接利用平面向量自身“形”的性質(zhì)來(lái)數(shù)形結(jié)合，合理解決.

平面向量是銜接代數(shù)與幾何的紐帶，溝通“數(shù)”與“形”，是數(shù)形結(jié)合的典范，也為平面向量與其他知識(shí)的交匯融合提供了更多的新穎情境與創(chuàng)新應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)抽象的問(wèn)題與具體的問(wèn)題之間的交互與轉(zhuǎn)化，方法巧妙，思維創(chuàng)新，在解決一些具體問(wèn)題中有奇效，值得借鑒與推廣.在復(fù)習(xí)備考過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)選擇一些典型的平面向量與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題、三角函數(shù)（或解三角形）問(wèn)題、函數(shù)（或不等式、數(shù)列等）問(wèn)題以及幾何（平面幾何、解析幾何或立體幾何）問(wèn)題的綜合應(yīng)用進(jìn)行求解訓(xùn)練，提高學(xué)生處理這類綜合問(wèn)題的能力.