白樹忠

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)重點在于提出并論證相關(guān)的數(shù)學(xué)命題，在掌握推理證明的基本形式的基礎(chǔ)上，合乎邏輯地思考問題，正確理解相關(guān)事物之間的關(guān)聯(lián)，準(zhǔn)確把握對應(yīng)的知識結(jié)構(gòu)，形成重論據(jù)、有條理、合邏輯的思維品質(zhì)和理性精神，培養(yǎng)良好的科學(xué)素養(yǎng).

1 挖掘基本關(guān)系，巧妙邏輯推理

利用數(shù)學(xué)問題中給出的函數(shù)、方程、不等式等的基本關(guān)系，通過合理的變形與轉(zhuǎn)化，巧妙運用邏輯推理，朝著目標(biāo)方向不斷前行.

例1若對任意m，n∈R，關(guān)于x的不等式m－n≤（x－m）2+ex－n－a恒成立，則實數(shù)a的最大值為.

分析：抓住題設(shè)條件與問題場景，巧妙變換主元，利用一元二次不等式恒成立的條件，通過判別式法來構(gòu)建對應(yīng)的不等式，合理分離參數(shù)，綜合利用重要不等式（ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立）的放縮處理來確定相關(guān)參數(shù)的取值范圍.

解析：由不等式m－n≤（x－m）2+ex－n－a恒成立，

可得m2－（2x+1）m+x2+ex－n+n－a≥0對任意m∈R恒成立，

則知判別式Δ=（2x+1）2－4（x2+ex－n+n－a）≤0.

分離參數(shù)并整理可得不等式a≤ex－n+n－x－14恒成立.由ex≥x+1，可得ex－n+n－x－14≥x－n+1+n－x－14=34，當(dāng)且僅當(dāng)x－n=0時，等號成立.

所以a≤34，即實數(shù)a的最大值為34.

點評：例1主要借助變換主元法進(jìn)行消參處理，并正確分離參數(shù)，為問題的邏輯推理與解決提供條件.正確挖掘題設(shè)條件中涉及函數(shù)、方程、不等式等的數(shù)字、字母等的基本關(guān)系，綜合邏輯推理來應(yīng)用，為問題的解決開拓新局面.

2 依托信息關(guān)聯(lián)，正確邏輯推理

結(jié)合數(shù)學(xué)問題中給出的相關(guān)信息之間的關(guān)聯(lián)，構(gòu)建不同信息之間的包含、互斥或?qū)α㈥P(guān)系等，正確分析相關(guān)信息的聯(lián)系與區(qū)別，為正確的邏輯推理提供條件.

例2（2023屆江蘇省蘇州市高三第二學(xué)期初數(shù)學(xué)調(diào)研試卷）記函數(shù)f（x）=sinωx+π6（ω>0）的最小正周期為T，給出下列三個命題：

甲：T>3；

乙：f（x）在區(qū)間12，1上單調(diào)遞減；

丙：f（x）在區(qū)間（0，3）上恰有三個極值點.

若這三個命題中有且僅有一個假命題，則假命題是（填“甲”“乙”或“丙”）；ω的取值范圍是.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，利用題設(shè)中三個命題分別為真命題時所確定的參數(shù)ω的取值范圍，再結(jié)合約束條件“這三個命題中有且僅有一個假命題”，正確分析不同命題之間所對應(yīng)結(jié)果的關(guān)系，借助信息關(guān)聯(lián)，合理邏輯推理，正確分析判斷.

解析：函數(shù)f（x）=sinωx+π6（ω>0）的最小正周期為T=2πω.

對于命題甲：由T>3，可得T=2πω>3，解得0<ω<2π3，即ω∈0，2π3.

對于命題乙：由120，可得k∈N.當(dāng)k=0時，ω∈2π3，4π3〗；當(dāng)k≥1時，ω?zé)o解.

對于命題丙：由0

而這三個命題中有且僅有一個假命題，結(jié)合這三個命題為真命題時所對應(yīng)的ω的取值范圍，只能是命題甲錯誤，命題乙、丙正確.

而命題乙、丙同時成立時，由于7π9，10π9〗2π3，4π3〗，因此ω的取值范圍是7π9，10π9〗.

3 借助圖形直觀，形象邏輯推理

依據(jù)數(shù)學(xué)問題場景，尋找或構(gòu)建與之吻合的圖象、幾何圖形等，借助圖形直觀，數(shù)形結(jié)合，形象地進(jìn)行邏輯推理與分析判斷.

例3〔2023屆安徽省淮南市高三第一次模擬考試（一模）數(shù)學(xué)試卷〕在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)，G分別是線段AA1，CC1，A1D1的中點，點M在正方形A1B1C1D1內(nèi)（含邊界），記過E，F(xiàn)，G的平面為α，若BM∥α，則BM的取值范圍為.

分析：根據(jù)題設(shè)條件加以合理分析，構(gòu)建對應(yīng)的立體幾何圖形以及對應(yīng)動點的軌跡，通過動點軌跡的確定以及圖形直觀加以數(shù)形結(jié)合，合理邏輯推理應(yīng)用，進(jìn)而正確判斷動點M的軌跡為線段A1C1（含端點），并結(jié)合圖形確定相關(guān)線段長度的取值范圍.

解析：如圖1所示，取AB，BC，C1D1的中點H，I，J.

易知過E，F(xiàn)，G的平面α即是截面正六邊形EHIFJG所在的平面.

而在平面A1BC1中，A1B∥EH，BC1∥IF，A1B∩BC1=B，

所以平面A1BC1∥平面α，則當(dāng)M∈A1C1時，一定有BM∥α，即動點M的軌跡為線段A1C1（含端點）.

而正三角形A1BC1的邊長為22，當(dāng)動點M位于線段A1C1的端點位置時，|BM|=22，為線段BM長度的最大值.

當(dāng)動點M位于線段A1C1的中點位置時，|BM|=6，為線段BM長度的最小值.

所以BM的取值范圍為＼6，22＼〗.

點評：正確構(gòu)建對應(yīng)的立體幾何圖形并直觀確定對應(yīng)動點的軌跡，為進(jìn)一步的邏輯推理與直觀分析提供條件.在處理此類問題時，依題構(gòu)建相應(yīng)的圖象或幾何圖形等，是深入邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的基礎(chǔ)，也是問題解決中最重要的一個環(huán)節(jié).

4 給定操作方案，依規(guī)邏輯推理

以復(fù)雜情境或創(chuàng)新定義等的創(chuàng)設(shè)給出相應(yīng)數(shù)學(xué)問題的操作方案與規(guī)則，要求學(xué)生閱讀并理解對應(yīng)的方案或規(guī)則，結(jié)合解題過程中的正確判斷持續(xù)進(jìn)行邏輯推理與分析判斷.

例4〔2023年教育部新課標(biāo)四?。ㄔ颇?、吉林、黑龍江、安徽）高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷〕數(shù)學(xué)家祖沖之曾給出圓周率π的兩個近似值：“約率”227與“密率”355113.它們可用“調(diào)日法”得到：稱小于3.141 592 6的近似值為弱率，大于3.141 592 7的近似值為強率.由31<π<41，取3為弱率，4為強率，得a1=3+41+1=72，故a1為強率；與上一次的弱率3計算得a2=3+71+2=103，故a2為強率;繼續(xù)計算…….若某次得到的近似值為強率，與上一次的弱率繼續(xù)計算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強率繼續(xù)計算得到新的近似值.依此類推.已知am=227，則m=；a8=.

解析：由a2=103為強率，可得a3=3+101+3=134為強率，a4=3+131+4=165為強率，a5=3+161+5=196為強率，a6=3+191+6=227為強率.結(jié)合am=227，可得m=6.

繼續(xù)操作，a6=227為強率，可得a7=3+221+7=258為弱率，a8=25+228+7=4715.

點評：例4 以中國古代數(shù)學(xué)文化為創(chuàng)新情境，結(jié)合圓周率π的近似值確定的“調(diào)日法”的操作方案來進(jìn)行邏輯推理與應(yīng)用.準(zhǔn)確識別與應(yīng)用題設(shè)中給出的操作方案與規(guī)則等，是正確邏輯推理的基礎(chǔ)所在.

作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一的邏輯推理素養(yǎng)，是現(xiàn)實生活中的一種重要思維方式，更是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必備的一種基本能力，對我們的終生學(xué)習(xí)與全面發(fā)展都具有特殊的作用.邏輯推理素養(yǎng)的養(yǎng)成，可以更加有效地培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神與嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度，增強分析與交流能力，拓展思維方式并優(yōu)化思維品質(zhì)，不斷提高數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).