【編者按】練習(xí)課是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的組成部分，是新授課的延續(xù)與補充。隨著課程改革的逐步推進，傳統(tǒng)的練習(xí)課模式已經(jīng)不能適應(yīng)學(xué)生高質(zhì)量發(fā)展的實際需求。在教學(xué)實踐中，一線數(shù)學(xué)教師面臨著諸多與練習(xí)課有關(guān)的問題，就如核心素養(yǎng)的導(dǎo)向作用如何體現(xiàn)，單元整體視角下的練習(xí)課如何設(shè)計實施，練習(xí)資源如何開發(fā)，練習(xí)評價如何有效執(zhí)行，等等。本期話題就小學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)課的深入研究展開。

【摘 要】單元練習(xí)課是學(xué)生學(xué)習(xí)完某一單元內(nèi)容后，教師需精心設(shè)計一系列具有針對性的教學(xué)及練習(xí)活動的一種課型。以“倍數(shù)與因數(shù)”這一單元為例，本文從構(gòu)建單元練習(xí)框架和明確學(xué)習(xí)目標(biāo)開始，科學(xué)地設(shè)計與實施單元練習(xí)課。其目的在于引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)單元的知識進行全面梳理和深入理解，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)突破知識表層，探索數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在原理與邏輯結(jié)構(gòu)，進而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

【關(guān)鍵詞】單元練習(xí)課 設(shè)計與實施 倍數(shù)與因數(shù)

在多數(shù)數(shù)學(xué)教師的理解中，單元練習(xí)課就是讓學(xué)生完成該單元的配套習(xí)題，并通過教師的批改與反饋，對錯誤率較高的題目進行講解，然后由學(xué)生進行訂正，再由教師復(fù)批。這一流程常被概括為練習(xí)、講評與訂正三個環(huán)節(jié)。然而，隨著近年來教育改革的逐步推進與深化，越來越多的教育工作者開始關(guān)注單元練習(xí)課的整體設(shè)計與實施，他們的目標(biāo)在于更有效地幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識，提升解題能力，以及培養(yǎng)更加嚴(yán)謹(jǐn)、理性的數(shù)學(xué)思維方式。

本文以北師大版五年級上冊“倍數(shù)與因數(shù)”單元為例，將探討如何科學(xué)地設(shè)計和實施單元練習(xí)課，在此過程中注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力，以達到提高教學(xué)效果的目的。

一、梳理單元練習(xí)框架

首先，我們要對單元練習(xí)、單元練習(xí)課和單元作業(yè)課的概念進行界定，并探究它們之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)與差異。單元練習(xí)，指的是圍繞某一特定單元的知識點或技能點所設(shè)計的一系列習(xí)題，目的在于幫助學(xué)生鞏固所學(xué)，提升理解和應(yīng)用能力。這些練習(xí)題既可在課堂上進行實時練習(xí)，也可作為學(xué)生課后的作業(yè)任務(wù)。單元練習(xí)課是指在課堂上進行的，以完成單元練習(xí)為主要任務(wù)的教學(xué)活動。在單元練習(xí)課中，教師通常會先對單元知識點進行簡要回顧，然后設(shè)計相應(yīng)的習(xí)題，讓學(xué)生在課堂上完成。單元作業(yè)課則是指教師布置給學(xué)生某一教學(xué)單元或與知識主題相關(guān)的作業(yè)任務(wù)，內(nèi)容主要來自教材和作業(yè)本上配套的習(xí)題，由學(xué)生在課堂上獨立完成。單元作業(yè)課可以幫助學(xué)生鞏固單元所學(xué)知識，培養(yǎng)獨立思考和解決問題的能力。同時，通過批改和分析學(xué)生的作業(yè)，教師可以了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，為后續(xù)教學(xué)提供有針對性的指導(dǎo)。單元練習(xí)、單元練習(xí)課和單元作業(yè)課在教學(xué)目的、形式和內(nèi)容上各有側(cè)重，在教學(xué)活動中各自扮演著重要的角色。

再依據(jù)“倍數(shù)與因數(shù)”單元的教學(xué)內(nèi)容及學(xué)習(xí)目標(biāo)，我們設(shè)計了兩節(jié)單元練習(xí)課，包括單元知識點整理課與單元知識點拓展課。同時，輔以兩節(jié)單元作業(yè)課，共同形成一套完整的單元練習(xí)體系，全面提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，確保學(xué)生真正掌握并熟練運用所學(xué)知識。

二、明確單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

在設(shè)計單元練習(xí)課前，教師的首要任務(wù)是明確本單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)。通過分析參考資料，得出本單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)主要涵蓋三個方面：（1）經(jīng)歷倍數(shù)與因數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)的認(rèn)識過程，以及2、5、3的倍數(shù)特征的探索過程，學(xué)會歸納、類比與猜測，發(fā)展初步的合情推理能力。（2）能找出10以內(nèi)某數(shù)在百以內(nèi)的全部倍數(shù)，以及百以內(nèi)某數(shù)的所有因數(shù)；知道2、5、3的倍數(shù)的特征、奇數(shù)和偶數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)，并能做出相應(yīng)判斷。（3）在認(rèn)識倍數(shù)與因數(shù)、探索非零自然數(shù)特征的過程中，體會觀察、分析、歸納、猜想驗證等探索方法，體驗數(shù)學(xué)問題的探索性和挑戰(zhàn)性。

盡管許多學(xué)習(xí)目標(biāo)在新授環(huán)節(jié)已經(jīng)實現(xiàn)，但仍需在單元練習(xí)課中進一步深化。例如，對于“學(xué)會歸納、類比與猜測，發(fā)展初步的合情推理能力”以及“體會觀察、分析、歸納、猜想驗證等探索方法，體驗數(shù)學(xué)問題的探索性和挑戰(zhàn)性”等目標(biāo)，單元練習(xí)課將起到至關(guān)重要的作用，有助于鞏固與提升學(xué)生的相關(guān)能力。

三、單元練習(xí)課的設(shè)計與實施

在設(shè)計單元練習(xí)課時，我們注重整體性、綜合性、趣味性和挑戰(zhàn)性，再通過多樣化的練習(xí)形式，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識，提高綜合運用能力。整體性要求我們在設(shè)計單元練習(xí)課時，要根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)確定一條清晰的主線。所有的練習(xí)都應(yīng)該圍繞著這條主線來展開，使得學(xué)生在完成每一個練習(xí)后都能感受到它們之間的聯(lián)系，從而在腦海中形成一個完整的知識體系。數(shù)學(xué)是一門綜合性很強的學(xué)科，各個知識點之間往往有著千絲萬縷的聯(lián)系。因此，在設(shè)計練習(xí)課時，我們應(yīng)該盡可能地涵蓋多個知識點，讓學(xué)生在解決問題的過程中能夠綜合運用所學(xué)知識。趣味性是吸引學(xué)生參與練習(xí)的關(guān)鍵因素之一。小學(xué)生的好奇心和求知欲非常強烈，我們應(yīng)該充分利用這一點，設(shè)計出有趣的練習(xí)。挑戰(zhàn)性也是設(shè)計單元練習(xí)課時需要考慮的一個重要因素，教師可以根據(jù)學(xué)生的實際情況和學(xué)習(xí)目標(biāo)，設(shè)計出具有一定難度的練習(xí)，讓學(xué)生在挑戰(zhàn)中成長。只有在這些要素的共同作用下，我們才能設(shè)計出既有趣又有深度的單元練習(xí)課，讓學(xué)生在輕松愉快的氛圍中鞏固所學(xué)，提升思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

以下是兩節(jié)單元練習(xí)課的具體設(shè)計與實施過程。

（一）單元知識點整理課

本節(jié)課將設(shè)計富有趣味性的學(xué)習(xí)活動，點燃學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。同時，將注重練習(xí)的整體性，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)并突出教學(xué)重點，以進一步增強學(xué)生的學(xué)習(xí)動力與效果。

環(huán)節(jié)一：借助游戲，復(fù)習(xí)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念。

1.呈現(xiàn)游戲規(guī)則：同桌兩人準(zhǔn)備8張數(shù)字卡片，數(shù)字范圍從2至9，卡片背面朝上。同桌兩人輪流隨機抽取一張卡片，然后比較各自卡片上數(shù)的因數(shù)個數(shù)。因數(shù)個數(shù)多的同學(xué)將獲得該輪勝利，游戲采用五局三勝制。

設(shè)計意圖：此游戲旨在通過富有趣味性的方式，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)并鞏固尋找一個數(shù)因數(shù)的相關(guān)知識和技能，提高學(xué)生對這一知識點的掌握程度，同時增強學(xué)習(xí)興趣，有利于開展后續(xù)教學(xué)環(huán)節(jié)。

2.每位同學(xué)有8張數(shù)字卡片（2～9），并配備兩個信封，分別標(biāo)明“自己”和“同桌”。游戲規(guī)則是將這8張卡片分別裝入兩個信封中，其中標(biāo)“自己”的信封用于自己抽取，另一個則用于同桌抽取。思考：你會怎么放卡片，保證每一次比賽都獲勝？游戲完成后，讓學(xué)生交流放進自己信封里的都是什么數(shù)，同桌信封里的又是什么數(shù)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)先把合數(shù)放進自己的信封袋里，再把質(zhì)數(shù)放進同桌的信封袋里，這樣能夠獲勝。在讓學(xué)生討論“為什么這么放，保證能獲勝”的過程中，引導(dǎo)他們從因數(shù)個數(shù)的角度加以思考，復(fù)習(xí)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念。教師還可以將數(shù)字卡片擴充為10～20，繼續(xù)開展游戲。

設(shè)計意圖：通過游戲化的方式，對質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念進行回顧與鞏固。闡述質(zhì)數(shù)僅有兩個因數(shù)，即1和本身；合數(shù)則除了1和本身外還擁有其他因數(shù)，至少包含三個因數(shù)。通過對2至20的數(shù)進行分類，使學(xué)生能夠清晰地區(qū)分出哪些數(shù)屬于質(zhì)數(shù)，哪些數(shù)屬于合數(shù)。

環(huán)節(jié)二：圈畫表征，直觀呈現(xiàn)質(zhì)數(shù)與合數(shù)。

提出操作要求：一個數(shù)有幾個因數(shù)就涂幾個圓圈，質(zhì)數(shù)的圓圈涂成紅色，合數(shù)的圓圈涂成綠色。教師先進行示范操作，帶領(lǐng)學(xué)生一起涂畫2、3、4的圓圈，隨后學(xué)生需獨立完成此項任務(wù)（如圖1所示）。完成后，同桌之間需互相交流作品，讓學(xué)生說一說自己有什么發(fā)現(xiàn)。最后，挑選典型作品進行集體展示，開展反饋與總結(jié)。

注：圓圈個數(shù)代表因數(shù)個數(shù)

圖1

設(shè)計意圖：通過利用數(shù)線進行圖形化標(biāo)注，明確區(qū)分質(zhì)數(shù)、合數(shù)，以及它們與因數(shù)個數(shù)之間的關(guān)系。具體而言，每個數(shù)的因數(shù)數(shù)量將以繪制圓圈的形式一一對應(yīng)、直觀呈現(xiàn)。通過此種方法，意圖從因數(shù)個數(shù)的視角，以一種新穎的形式對2至20范圍內(nèi)的數(shù)進行分類。

環(huán)節(jié)三：提出問題，探究1為何不納入質(zhì)數(shù)內(nèi)。

組織學(xué)生討論：為什么要把非零自然數(shù)根據(jù)因數(shù)個數(shù)分成三類？學(xué)生會從質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念，以及1的因數(shù)個數(shù)來進行說理。

提出想法：如果把因數(shù)個數(shù)是1個或2個的自然數(shù)叫作質(zhì)數(shù)，因數(shù)個數(shù)是3個或3個以上的叫作合數(shù)，分成兩類，你們覺得可以嗎？組織學(xué)生討論，集體反饋。部分學(xué)生認(rèn)為可以，它符合分類的標(biāo)準(zhǔn)；有部分學(xué)生則認(rèn)為不可以，這與教材上的規(guī)定不符。學(xué)生充分發(fā)表各自的想法，教師不作評判。

教師先向?qū)W生介紹什么是質(zhì)因數(shù)，以及如何進行質(zhì)因數(shù)的分解。再提出一個任務(wù)：如果將1納入質(zhì)數(shù)內(nèi)，那么請對數(shù)24進行質(zhì)因數(shù)分解，嘗試寫出所有可能的答案。學(xué)生給出以下幾種答案：（1）24=2×2×2×3，（2）24=2×2×2×3×1，（3）24=2×2×2×3×1×1……學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，這樣的答案實際上是無法窮盡的，所以1不能納入質(zhì)數(shù)，是為了分解質(zhì)因數(shù)具有唯一性。隨后，教師介紹在數(shù)學(xué)發(fā)展史中“1”與質(zhì)數(shù)關(guān)系的變化情況。

設(shè)計意圖：學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，需按照教材給出的定義和分類，明確理解為何數(shù)1不屬于質(zhì)數(shù)的范疇。此外，通過介紹的方式，揭示這一結(jié)論背后的原因以及相關(guān)的數(shù)學(xué)史料。需要指出的是，這一探究環(huán)節(jié)并非是所有學(xué)生都必須掌握的內(nèi)容，可將其作為拓展知識點，供有興趣的學(xué)生進行了解。

（二）單元知識點拓展課

本節(jié)課在設(shè)計時，注重練習(xí)內(nèi)容的綜合性與挑戰(zhàn)性，力求在復(fù)習(xí)既有知識的同時，亦能激發(fā)學(xué)生進一步挖掘與領(lǐng)悟新知的欲望。為此，設(shè)計了單元知識點拓展環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生從更深層次的角度探索倍數(shù)特征的內(nèi)在邏輯與原理，使學(xué)生能在宏觀與微觀相互交織的思維框架中，全面而深刻地理解倍數(shù)的本質(zhì)特征。

環(huán)節(jié)一：揭示2、5的倍數(shù)特征背后的原理并拓展。

以四位數(shù)為例，將四位數(shù)表示為1000a+100b+10c+d的形式，并引導(dǎo)學(xué)生討論：為何在判斷一個數(shù)是否為5的倍數(shù)時，只需觀察其個位數(shù)？經(jīng)過深入交流，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)10、100、1000均為5的倍數(shù)，因此只需判斷個位上的數(shù)是否為5的倍數(shù)即可。隨后，引導(dǎo)學(xué)生探討判斷2的倍數(shù)特征背后的原理，并進一步討論如何判斷一個數(shù)是否為4的倍數(shù)。在此過程中，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)100、1000均為4的倍數(shù)，因此只需判斷該數(shù)的末兩位數(shù)是否為4的倍數(shù)即可。最后，引導(dǎo)學(xué)生思考如何判斷一個數(shù)是否為8、25、125的倍數(shù)。（如圖2所示）通過深入交流，學(xué)生們將發(fā)現(xiàn)判斷2、4、5、8、25、125的倍數(shù)特征背后的原理是相通的，從而加深對倍數(shù)概念的理解。

設(shè)計意圖：學(xué)生對于2和5的倍數(shù)特征都已知曉，但往往未能深入理解其背后的原理。本環(huán)節(jié)旨在通過深入分析和邏輯推導(dǎo)，幫助學(xué)生理解2和5的倍數(shù)特征為何僅通過個位數(shù)即可判斷，并在此基礎(chǔ)上拓展到其他數(shù)如4、8、25、125的倍數(shù)特征，進一步提高學(xué)生的邏輯推理能力。

環(huán)節(jié)二：揭示3的倍數(shù)特征背后原理并拓展。

為了加深學(xué)生對數(shù)論的理解，接下來引導(dǎo)學(xué)生探討另一個數(shù)學(xué)現(xiàn)象：為何判斷一個數(shù)是否為3的倍數(shù)時，需要關(guān)注其各位數(shù)之和？引導(dǎo)學(xué)生對1000a、100b和10c進行拆分，利用乘法分配律展開數(shù)學(xué)表達式，并觀察哪些部分必定是3的倍數(shù)。經(jīng)過判斷，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)999a、99b和9c這三部分一定是3的倍數(shù)，因此，判斷的關(guān)鍵在于觀察剩余部分a+b+c+d的和是否為3的倍數(shù)。（如圖3所示）在此基礎(chǔ)上，回顧9的倍數(shù)的特征，即各位數(shù)之和必須是9的倍數(shù)。組織學(xué)生進行討論，以揭示3的倍數(shù)與9的倍數(shù)特征之間的相似性。

作為挑戰(zhàn)性問題，學(xué)生將探討如何判斷一個數(shù)是否是7的倍數(shù)。以三位數(shù)為例，引導(dǎo)學(xué)生利用3和9的倍數(shù)特征背后的原理，對100a+10b+c進行拆解，得到98a+2a+7b+3b+c。通過分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)98a和7b兩部分必定是7的倍數(shù)。因此，只需觀察剩余部分2a+3b+c的和是否為7的倍數(shù)。這一發(fā)現(xiàn)意味著，判斷一個三位數(shù)是否是7的倍數(shù)，只需計算“百位上的數(shù)×2+十位上的數(shù)×3+個位上的數(shù)”的和，并判斷其是否為7的倍數(shù)。

繼續(xù)深入探究，教師可以提出進階問題：“如何判斷一個數(shù)是否為11的倍數(shù)？”以五位數(shù)為例，運用先前積累的經(jīng)驗進行探究，同樣需要對表達式10000a+1000b+100c+10d+e進行拆分和重組。首先需要思考10000a如何進行分解？引導(dǎo)學(xué)生想到關(guān)鍵在于找到10000以內(nèi)最大的11的倍數(shù)。通過豎式計算，可以將其分解為9999a+a。接下來，考慮1000b的分解。類似地，可以將其分解為990b+10b。以此類推，將整個表達式10000a+1000b+100c+10d+e最終分解為9999a+a+990b+10b+99c+c+10d+e。通過觀察，發(fā)現(xiàn)9999a+990b+99c這部分一定是11的倍數(shù)。因此，只需關(guān)注剩余部分a+10b+c+10d+e的和是否為11的倍數(shù)。之后，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生進一步觀察發(fā)現(xiàn)，從個位起，奇數(shù)位上的數(shù)與偶數(shù)位上數(shù)的10倍之和，決定了整個數(shù)是否為11的倍數(shù)。為了加深理解，教師可以舉一個例子：如758714。通過計算7×10+5+8×10+7+1×10+4得到176，由于176是11的倍數(shù)，因此可以確定758714也是11的倍數(shù)。為了鞏固這一結(jié)論，建議同桌之間互相給出一個六位數(shù)，然后運用剛才得出的結(jié)論進行判斷。最后，可以使用計算器進行驗證，以確保判斷的準(zhǔn)確性。

設(shè)計意圖：經(jīng)過單元練習(xí)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生們不僅能夠熟練掌握識別2、5、3倍數(shù)的技能，還能深刻理解這些倍數(shù)特征背后的數(shù)學(xué)原理。此外，通過將這些概念拓展到其他倍數(shù)的辨識，這些練習(xí)將有助于學(xué)生在整體視角下全面把握倍數(shù)的特征，同時也有助于培養(yǎng)他們的抽象思維和邏輯推理能力。

在設(shè)計單元練習(xí)課時，我們需要遵循教育教學(xué)規(guī)律，以學(xué)生的實際情況為出發(fā)點，結(jié)合教材內(nèi)容，制訂出科學(xué)合理的單元練習(xí)計劃。同時，我們還需要注重練習(xí)的整體性、綜合性、趣味性和挑戰(zhàn)性，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力，提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力。

（作者單位：浙江省嘉興南湖實驗學(xué)校 湖南省岳陽市經(jīng)開區(qū)北港小學(xué)）

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