片段回放

教師改動教材（蘇教版教材六年級上冊“長方體和正方體”單元）例9的呈現(xiàn)方式，讓學(xué)生拼擺后填寫圖1中的表格，然后小組合作操作、交流匯報。

小組1：我們組用了12個正方體。擺的是長2厘米、寬3厘米、高2厘米的長方體。擺出的長方體體積是2×3×2，也就是12立方厘米。

小組2：我們組擺出的長方體的長是3厘米、寬是2厘米、高是3厘米，體積是18立方厘米。長方體的體積數(shù)和所用的正方體個數(shù)是一樣的。

小組3：我們組擺的長方體長是3厘米、寬是2厘米、高是4厘米，3×2=6（平方厘米），擺一層需要6個正方體，擺出來的長方體一共有4層，6×4=24（個），說明擺出的長方體體積是24個1立方厘米，而3×2×4就等于24，也就是說，長方體體積等于長、寬、高的乘積。

教師追問：你們能聽明白他所說的意思嗎？

生：這里的6，不應(yīng)該是6平方厘米，應(yīng)該是6立方厘米。

教師追問：有沒有要補充的？

生：擺出來的長方體，底面是長方形，長×寬應(yīng)該是面積，是第一層的面積，也可以看成第一層所占的體積。

生：3×2表示第一層的6個1立方厘米的正方體所占的體積，應(yīng)該是體積，單位是立方厘米，不應(yīng)該是底面積。

生：如果6表示底面積，那6×4的積又是什么？面積是沒有厚度的，是不占空間的，也就是沒有體積。

這個同學(xué)顯然沒有搞清“面”和“體”之間的關(guān)系。教師隨即在黑板上畫一個長方體草圖，并標上長3厘米、寬2厘米、高4厘米。并追問：這個長方體底面是一個什么形？（生：長方形）長×寬不就表示這個長方形的面積嗎？學(xué)生茫然。

生：黑板上畫的是長方體圖形，不是擺出來的長方體。如果擺的話，不需要用乘法計算，直接數(shù)一數(shù)，底下一層就有6個正方體。正方體占有空間，應(yīng)該是體積單位。

生：最好是3乘2再乘1。因為3×2=6，長乘寬表示的是面積，有了高度才有體積，而一層的高度是1厘米。求第一層的體積就應(yīng)該是3×2×1。

（此時，學(xué)生爭論不休，教師最終也沒給一個說法）

引發(fā)的思考

1.觀點的分歧均是基于學(xué)生已有的認知經(jīng)驗。

為什么有的學(xué)生認為長和寬的乘積是底面積，而有的認為長和寬的乘積是體積呢？這需要我們基于學(xué)生對面積和面積單位、體積和體積單位具有怎樣的認知水平來考慮。先看一看教材例題提供了哪些素材來幫助學(xué)生認識體積和體積單位。首先例6（圖略）提供三個不同大小的水果，通過“排水法”的實驗，讓學(xué)生感知什么是物體的體積，即物體所占空間的大小叫作物體的體積。這樣給學(xué)生留下的深刻印象是：物體的體積是實物的本身，實物占有空間（有體積）。而在例8教學(xué)時，教材依次提供了如圖2所示的素材來幫助學(xué)生認知體積單位，并初步感知物體的體積就是這個物體所包含的“單位”正方體的個數(shù)。如例8“蘿卜”的提示語“把它們分成同樣大小的正方體，就能比出大小”，而其中的“大小”（體積）是通過觀察實物直觀圖“數(shù)”出來的。也就是說，通過例8的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)儲備了算（數(shù)）長方體體積的一般方法，只不過這種方法是直觀的、立體的、本源的和樸素的。

基于這樣的分析，課堂上當學(xué)生借助正方體擺一擺之后，學(xué)生把擺出的長方體底面3乘2的結(jié)果，看作體積單位個數(shù)是順其自然的，因為他們此時關(guān)注的是“單位”個數(shù)，而在此“單位”個數(shù)是與體積單位名稱一致的。

同樣，學(xué)生說“長乘寬的積是6，表示的是6平方厘米”也是建立在已有的面積認識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的。因為，在認識體積之前，學(xué)生在“二維”的面積概念的構(gòu)建以及相關(guān)圖形的面積計算過程中，得出的經(jīng)驗是，兩個數(shù)相乘的積是與面積單位相匹配的。有了這樣的經(jīng)驗，他們在計算過程中也會自覺地把體積1立方厘米和面積1平方厘米以及邊長1厘米的正方體進行“等量”的轉(zhuǎn)化，這也是前面認識長方體表面積時學(xué)生所積累的經(jīng)驗。

這樣，學(xué)生在解決例9中的問題時，基于經(jīng)驗的遷移，會把關(guān)注點聚焦在擺出的長方體底面（長方形）的長是多少厘米，寬又是多少厘米上，而長乘寬自然得出面積單位個數(shù)了。同時學(xué)生會繼續(xù)想下去：這一步得出的是長方體1層底面的面積，這個長方體是由這樣的4層摞成的，再乘4就是擺成的長方體的體積了（這里又用到面積和體積“等量”轉(zhuǎn)化）。

基于這樣的分析，我們認為課堂上學(xué)生不同觀點間的爭執(zhí)都是有理有據(jù)的，只是有的學(xué)生把拼成的長方體的底看作一個“形”，有的學(xué)生將其看作一個“體”。

2.基于學(xué)生的困惑，要實現(xiàn)從具體的實物操作到抽象的圖形的轉(zhuǎn)化。

教學(xué)時教師要適時、有意識地溝通“單位”體積與“單位”面積數(shù)值之間的轉(zhuǎn)化，從而提升學(xué)生的元認知水平，讓學(xué)生對長方體體積計算公式的理解經(jīng)歷“線”“面”“體”關(guān)聯(lián)的過程。筆者以為，結(jié)合例9和例10提供的情境圖，要處理好以下兩個問題：一是在學(xué)生擺后，讓他們看看各自擺成的長方體的長、寬、高各是幾厘米，通過數(shù)據(jù)間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)長方體的長、寬和高的乘積24，正好是所需要的正方體個數(shù)24，所以長方體體積就是長、寬、高的乘積。二是要引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)從“數(shù)”“看”“算”到面積與體積間“等量”的轉(zhuǎn)化。如，當學(xué)生說第一層正方體的個數(shù)是底面面積數(shù)時，教師可引導(dǎo)學(xué)生這樣想：3×2的積是6，這個6既是底面面積數(shù)，又是第一層包含的正方體的個數(shù)，即一個體積單位對應(yīng)著一個面積單位和一個長度單位（教師可以用手指正方體的一個面和這個正方體整體來幫助學(xué)生理解）。