在本文中，累加與細(xì)分是指相同計(jì)數(shù)單位的疊加或細(xì)分。比如，計(jì)算0.5＋0.3時(shí)，從0.5開(kāi)始，以0.1為單位，連續(xù)累加3次，就得到0.8，運(yùn)算過(guò)程就是計(jì)數(shù)單位累加的過(guò)程。在除法運(yùn)算中，遇到較大的計(jì)數(shù)單位除不盡時(shí)，把余下的進(jìn)行細(xì)分，轉(zhuǎn)化為較小的計(jì)數(shù)單位，使得計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)變多，再繼續(xù)平均分。如果上述的累加與細(xì)分在小學(xué)數(shù)學(xué)中用得恰當(dāng)，會(huì)讓學(xué)生感受到數(shù)的一致性，即獲得“大概念”。

筆者以累加與細(xì)分方法梳理課為例，溝通累加與細(xì)分之間的聯(lián)系。

一、初建結(jié)構(gòu)：從“數(shù)”到“數(shù)”，探尋數(shù)數(shù)的神秘性

初建結(jié)構(gòu)看似無(wú)心，實(shí)則有意。意在從人人可想、人人會(huì)想的知識(shí)出發(fā)，引發(fā)聯(lián)想，勾連出相關(guān)知識(shí)鏈條，初成體系。

【課堂鏈接】

師：圖1中有多少個(gè)泡泡？你是如何知道的？

生1：我數(shù)1個(gè)珠子便寫上1個(gè)數(shù)，數(shù)到最后1個(gè)數(shù)是幾就有多少個(gè)。

生2：我是3個(gè)3個(gè)地圈，一共圈了5個(gè)圈，三五十五，所以有15個(gè)。

生3：我把這些泡泡分成兩邊，然后數(shù)出左邊有7個(gè)，右邊有8個(gè)，一共是15個(gè)。

師：在數(shù)的過(guò)程中哪個(gè)數(shù)最重要？

生：在數(shù)的過(guò)程中，最重要的數(shù)是1，有了1就可得到2、3、4……

生：對(duì)，可以得到無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)。

師：這個(gè)“1”就是整數(shù)最基本的計(jì)數(shù)單位。所有的數(shù)都是通過(guò)數(shù)得到的，即把計(jì)數(shù)單位進(jìn)行累加便可得到無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)。

接著，教師請(qǐng)學(xué)生列舉學(xué)過(guò)的數(shù)，并說(shuō)說(shuō)它們各自的計(jì)數(shù)單位。

這樣的設(shè)計(jì)，基于數(shù)泡泡的情境，讓學(xué)生結(jié)構(gòu)化理解“數(shù)的意義”。

二、建立結(jié)構(gòu)：在數(shù)線上找尋數(shù)，體會(huì)數(shù)與形的一致性

要使結(jié)構(gòu)不散，貴在能放善收。探尋數(shù)的根源后，我出示一條沒(méi)有任何標(biāo)記的直線，讓學(xué)生在數(shù)線上找尋數(shù)。

【課堂鏈接】

師：別小看這條線，它里面可藏著千軍萬(wàn)馬呢！想一想，數(shù)線里可能隱藏著什么知識(shí)？

這是一個(gè)開(kāi)口大、聯(lián)想空間大的題目。學(xué)生七嘴八舌，興趣盎然。

生：它可以表示一段路程。

生：這條路上的起點(diǎn)站一個(gè)人，隔一段距離又站一個(gè)人，可以站好多人。

生：它可能有1分米長(zhǎng)吧。

設(shè)問(wèn)、疑問(wèn)、反問(wèn)，學(xué)生展開(kāi)想象的翅膀，討論、質(zhì)疑、達(dá)成共識(shí)。學(xué)生的思維得到深化，發(fā)散思維能力得到升華。這時(shí)的學(xué)生處在“憤”和“悱”的狀態(tài)，教師趁機(jī)拋出問(wèn)題。

出示學(xué)生作品，如圖2。

師：這位同學(xué)找的是0.6，他找對(duì)了嗎？

生1：不對(duì)，這個(gè)不是0.6，要平均分的。

生2：我先找到第一個(gè)點(diǎn)（手指指向0后面的第一條小豎線位置），然后繼續(xù)這樣找到第六個(gè)點(diǎn)。

師：你找到的第一條小豎線表示什么？（生2：0.1）嗯，你是先找到你認(rèn)為的0.1，再繼續(xù)，直到找到6個(gè)0.1。怎么確定0后面的第一條豎線表示的就是0.1呢？

生2：我隨手畫的豎線，不太確定。

生4：因?yàn)橛辛恕八鼈儭保庞辛烁嗟摹八鼈儭薄?/p>

生5：它們都是計(jì)數(shù)單位，把計(jì)數(shù)單位加起來(lái)可以得到很多數(shù)。

學(xué)生剛開(kāi)始是碎片化思維，把數(shù)和形割裂開(kāi)思考，這時(shí)學(xué)生找到數(shù)形結(jié)合的方向，把散點(diǎn)知識(shí)再次結(jié)構(gòu)化，問(wèn)題得到順利解決。讓學(xué)生再次體會(huì)：凡數(shù)源于數(shù)，所有數(shù)都是計(jì)數(shù)單位的累加。數(shù)的來(lái)源結(jié)構(gòu)化初步浮出表面。

三、應(yīng)用結(jié)構(gòu)：在數(shù)線上找數(shù)、找算式，體會(huì)數(shù)與運(yùn)算的一致性

通過(guò)數(shù)數(shù)與找數(shù)的活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷了無(wú)意建構(gòu)與建立結(jié)構(gòu)的過(guò)程，積累了一定的結(jié)構(gòu)化活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生應(yīng)用此結(jié)構(gòu)在數(shù)線上找尋算式。

【課堂鏈接】

師：（出示下面這道題）請(qǐng)你試一試，并說(shuō)說(shuō)你的方法。

生1指著數(shù)線上1對(duì)應(yīng)的位置說(shuō)：就是“1”這里。

師：你怎么知道是這里？

師：題目要求表示計(jì)算過(guò)程，你的“過(guò)程”表示在哪呢？

師：找到結(jié)果了嗎？

生2摸著頭沉思，沒(méi)回答。

師：你遇到什么困難了嗎？

生2：不知怎么合起來(lái)。

從學(xué)生的回答可知，學(xué)生只關(guān)注靜態(tài)的結(jié)果，直接找到“1”，而不知其所以然，無(wú)法把算式計(jì)算的動(dòng)態(tài)過(guò)程在線上表示出來(lái)。通過(guò)爭(zhēng)辯、思考、引導(dǎo)，學(xué)生豁然開(kāi)朗，明白結(jié)果與過(guò)程的區(qū)別，明白不但一個(gè)數(shù)可以數(shù)出來(lái)，計(jì)算過(guò)程中也在數(shù)，結(jié)果也是數(shù)出來(lái)的。這樣，不僅讓學(xué)生明白原來(lái)數(shù)和數(shù)的加法是一家，而且進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)加法算式與數(shù)的同源結(jié)構(gòu)的理解。接著，教師出示減法算式，讓學(xué)生研究與探討，然后各小組匯報(bào)研究結(jié)果。

生4：我覺(jué)得減法也可以像加法一樣。

生：老師，這道題不夠減，我們還沒(méi)學(xué)過(guò)。

生：我會(huì)，不夠減時(shí)結(jié)果是個(gè)負(fù)數(shù)。

師：雖沒(méi)學(xué)過(guò)，相信你們能突破。試試吧！

學(xué)生進(jìn)行研究與探討，而后匯報(bào)。

學(xué)生從加減法在數(shù)線上的方法結(jié)構(gòu)的一致性悟到“減法其實(shí)是倒著數(shù)，即逆向累加”。不是刻板地模仿，而是在變化中感悟結(jié)構(gòu)的變與不變。

有了前面在數(shù)線上找“數(shù)與加減算式”的過(guò)程與方法建構(gòu)，學(xué)生感受到結(jié)構(gòu)的力量，主動(dòng)提出要探討數(shù)線上乘法和除法的奧秘，如0.4×8，學(xué)生總結(jié)出“先以0.1為一小步開(kāi)始向右數(shù)出4小步，到達(dá)0.4，而后以0.4為一大步再向右走7大步，一共走8大步來(lái)到3.2這個(gè)點(diǎn)，即是目標(biāo)”。（如圖5）

從初建結(jié)構(gòu)到建立結(jié)構(gòu)再到應(yīng)用結(jié)構(gòu)，是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的一個(gè)飛躍，旨在讓學(xué)生嘗試把數(shù)和運(yùn)算與數(shù)線聯(lián)系起來(lái)，把過(guò)程和結(jié)果關(guān)聯(lián)起來(lái)，不再分割，讓多元表征形成一個(gè)整體，在應(yīng)用結(jié)構(gòu)中，思考用結(jié)構(gòu)化思維解決問(wèn)題，培養(yǎng)推理意識(shí)，提升運(yùn)算能力。

四、延展結(jié)構(gòu)：在數(shù)線上尋找更多運(yùn)算，體會(huì)數(shù)與運(yùn)算的結(jié)構(gòu)性

學(xué)生充分體會(huì)到加、減、乘結(jié)構(gòu)的一致性，都可以數(shù)出來(lái)，都是計(jì)數(shù)單位的累加，那么除法又是怎么樣的？學(xué)生帶著好奇心，走進(jìn)除法世界。

【課堂鏈接】

師：請(qǐng)用你掌握的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，在數(shù)線上表示出3.75÷3的過(guò)程和結(jié)果，并說(shuō)說(shuō)與加、減、乘的區(qū)別與聯(lián)系。

生：此問(wèn)題好像和前面的方法不一樣。

雖然學(xué)生能很快在算式上計(jì)算出結(jié)果是1.25，但把每一步在數(shù)線上表示出來(lái)時(shí)卻遇到困難，這也正好說(shuō)明運(yùn)用SOLO分層理論分析時(shí)所發(fā)現(xiàn)的：學(xué)生的思維層處在多點(diǎn)結(jié)構(gòu)，未能把多種表征進(jìn)行關(guān)聯(lián)和對(duì)應(yīng)。

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)算式編一個(gè)故事吧。

生：假如現(xiàn)在有3元7角5分錢，要平均分給3個(gè)人，先把3元平均分成3份，每人1元，剛好把3元分完。

生：第二步分的是7角，仍平均分成3份，每人2角，還剩下1角。第三步分5分錢加上1角，一共15分，平均分成3份，每人剛好是5分錢。

生：最后加起來(lái)就是1元2角5分。

師：這里的3元、1元、7角等，在這個(gè)算式中能找到它們的原型嗎？

生：2角就是小數(shù)點(diǎn)后的那個(gè)2，是0.2；5就是商的小數(shù)點(diǎn)后面的第二位，它是0.05。

生：（如圖6）第三步分的是第二步剩下來(lái)的1個(gè)0.1（10個(gè)0.01）加上5個(gè)0.01（0.05），共是15個(gè)0.01，平均分成3份，每份是5個(gè)0.01，剛好分完，最后把1、0.2、0.05這三部分合起來(lái)，即1+0.2+0.05=1.25。

除法的計(jì)算與表達(dá)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)均是難點(diǎn)，但由于知識(shí)的結(jié)構(gòu)、方法的類似，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)關(guān)聯(lián)，為“斷層”搭建腳手架，體會(huì)到除法是乘法的逆運(yùn)算，其中共有結(jié)構(gòu)的關(guān)系：以“和”為首，減法與加法互逆，乘法是特殊加法的簡(jiǎn)便表達(dá)，而除法是乘法的逆運(yùn)算，具有高度的一致性。除法與眾不同：加、減、乘是計(jì)數(shù)單位的累加，而除法是對(duì)多個(gè)單位的細(xì)分，一個(gè)累加一個(gè)細(xì)分，構(gòu)成了數(shù)與四則運(yùn)算豐富且獨(dú)特的數(shù)線世界。

五、鞏固結(jié)構(gòu)：從數(shù)與運(yùn)算想開(kāi)去，體會(huì)“累加與細(xì)分”的延展性

結(jié)構(gòu)已構(gòu)建，思維已打開(kāi)，斷層處已接駁，此時(shí)學(xué)生只需更大膽地從“想”到“展”，在已有結(jié)構(gòu)里尋找類似，并進(jìn)行遷移、聯(lián)想。

【課堂鏈接】

師：難道僅有數(shù)和四則運(yùn)算才有累加與細(xì)分嗎？

生1：錢也可以累加與細(xì)分，比如，1元錢是由100個(gè)1分累加得到的。

生2：厘米也可以累加，9厘米就是由9個(gè)1厘米累加得來(lái)的。

生3：面積也可以累加，還有體積。

生4：角度應(yīng)該也可以累加，就是1度、2度、3度，變成很大的角。

師：可否舉個(gè)細(xì)分的例子？

生5：反過(guò)來(lái)就是細(xì)分了。

生6：比如9厘米，平均分成9份就又回到了1厘米。

生：對(duì)喲！一步步倒回來(lái)就是細(xì)分了。

生：累加是積小步成多步至千里，積少成多；細(xì)分是從大步變小步了，由多變少。

師：還有其他想法或疑問(wèn)嗎？如果在圖7的各幅圖中，我把各個(gè)單位去掉，右邊的圖形表示“1”，那左邊的圖形分別表示多少呢？

生1：第一幅圖中短線段表示十分之一，因?yàn)殚L(zhǎng)線段被平均分成了10份。

……

“無(wú)結(jié)構(gòu)不教學(xué)”，這節(jié)課，緊緊圍繞計(jì)數(shù)單位的“累加與細(xì)分”，通過(guò)“五構(gòu)”法梳理、建立數(shù)與運(yùn)算的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)，即都是“數(shù)”出來(lái)的，知識(shí)的世界變幻莫測(cè)，但結(jié)構(gòu)的教學(xué)穩(wěn)定而深遠(yuǎn)。知識(shí)結(jié)構(gòu)化讓零散的知識(shí)串聯(lián)，通過(guò)手拉手形成體系和網(wǎng)絡(luò)。知識(shí)的結(jié)構(gòu)化帶動(dòng)方法的結(jié)構(gòu)化，不斷找尋知識(shí)鏈接，以內(nèi)在關(guān)聯(lián)促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展，從而形成結(jié)構(gòu)化思維。