MPCK（Mathmatics Pedagogical Content Knowledge）是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)稱，它是建立在美國(guó)學(xué)者舒爾曼提出的學(xué)科教學(xué)知識(shí)（即PCK）基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)提出的概念。MPCK是數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（MK）、一般教學(xué)法知識(shí)（PK）以及有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)（CK）的綜合，它是衡量數(shù)學(xué)教師專業(yè)知識(shí)的重要標(biāo)準(zhǔn)，也是促進(jìn)數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的重要基礎(chǔ)。

多數(shù)小學(xué)數(shù)學(xué)新手教師（教齡在三年以內(nèi)的教師）往往比較重視教學(xué)技能的提升，而忽視自身數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)的積累。新手教師尚處于專業(yè)發(fā)展的初始階段，這是專業(yè)發(fā)展的關(guān)鍵期，此時(shí)應(yīng)努力豐富自己的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)。那么，該如何有效發(fā)展小學(xué)數(shù)學(xué)新手教師的MPCK呢？本文以人教版教材五年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形的面積”一課的教學(xué)為例，通過(guò)對(duì)比新手教師和熟手教師（教齡在十年以上、經(jīng)驗(yàn)豐富的教師）在課堂教學(xué)中所呈現(xiàn)出的不同水平的MPCK，提煉出新手教師MPCK發(fā)展的若干策略，以期促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)新手教師專業(yè)的穩(wěn)步發(fā)展。

一、高站位——對(duì)比數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握，深度解讀MK

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有連貫性和系統(tǒng)性，數(shù)學(xué)知識(shí)不是各種知識(shí)的總和，而是一個(gè)緊密聯(lián)系、螺旋上升的整體。多數(shù)新手教師頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)缺乏聯(lián)系性、系統(tǒng)性，這就要求他們?cè)诮庾x教材時(shí)，應(yīng)站在整體、系統(tǒng)的角度審視教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)，這樣才能更加準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。在解讀數(shù)學(xué)知識(shí)上，新手教師與熟手教師對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握情況區(qū)別很大，因此呈現(xiàn)出來(lái)的課堂教學(xué)效果也迥然不同。

新手教師的教學(xué)片段：

師：同學(xué)們，之前學(xué)習(xí)計(jì)算長(zhǎng)方形面積時(shí)，我們用的什么方法？

生：數(shù)格子的方法。

師：那平行四邊形的面積，能不能也像長(zhǎng)方形這樣探究呢？

全體學(xué)生借助方格紙數(shù)出平行四邊形的面積。

師：所有平行四邊形的面積都要這樣數(shù)一數(shù)才知道嗎？還有其他方法嗎？

生：割補(bǔ)法。

生：底乘高。

師：接下來(lái)，咱們動(dòng)手剪拼，探索平行四邊形的面積計(jì)算公式。

熟手教師的教學(xué)片段：

在方格紙中出示一個(gè)長(zhǎng)方形，圖略。

師：什么是面積？你會(huì)算這個(gè)長(zhǎng)方形的面積嗎？說(shuō)說(shuō)你的想法。

生1：物體表面或封閉圖形的大小就是它的面積。

生2：長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬，也就是4×3＝12（平方厘米）。

生3：你們看，這里的4表示每行有4個(gè)1平方厘米，有3個(gè)這樣的4相加。

在方格紙中繼續(xù)出示一個(gè)平行四邊形（如圖1）。

師：那么，平行四邊形的面積該怎么求呢？

生4：我通過(guò)數(shù)格子，不滿1格按半格來(lái)算，2個(gè)半格是1格，數(shù)出了這個(gè)平行四邊形的面積。

生3：這樣數(shù)比較麻煩，而且不滿1格算半格的方法也不夠精確。

生5：我用平移的方法，在平行四邊形的左邊沿著高剪下一個(gè)三角形，平移到右邊，這樣就拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形，就可以數(shù)出完整的格子數(shù)。

全體學(xué)生在帶有方格的平行四邊形中剪拼出長(zhǎng)方形，通過(guò)數(shù)方格或計(jì)算，求出平行四邊形的面積。

師：為什么求長(zhǎng)方形和平行四邊形的面積都可以用數(shù)方格的方法呢？

生5：已知一個(gè)方格的面積，數(shù)一數(shù)有幾個(gè)這樣的方格就行。

緊接著，教師出示一個(gè)沒(méi)有方格的平行四邊形，圖略。

師：如果是一個(gè)沒(méi)有方格的平行四邊形，你們還會(huì)求它的面積嗎？

生6：按照生5的方法，平移后，量出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，就可以根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式，計(jì)算出平行四邊形的面積。

生3：這里，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別對(duì)應(yīng)原來(lái)平行四邊形的底和高。

生4：只要知道平行四邊形的底和高，就能算出平行四邊形的面積。

全體學(xué)生經(jīng)歷第二次操作，把沒(méi)有方格的平行四邊形剪拼成長(zhǎng)方形，通過(guò)轉(zhuǎn)化探索出平行四邊形的面積計(jì)算公式。

師：學(xué)習(xí)了本節(jié)課，你覺(jué)得還可以解決哪些圖形的面積計(jì)算？

生：三角形、梯形……

師：是的，其實(shí)知識(shí)是相通的，方法也是可以遷移的，只要把未知的圖形轉(zhuǎn)化成已知的圖形，就可以計(jì)算出它們的面積。

對(duì)比新手教師與熟手教師的教學(xué)片段，不難發(fā)現(xiàn)，新手教師雖然能借助方格紙喚醒學(xué)生對(duì)面積含義的認(rèn)知，但由于新手教師自身對(duì)面積知識(shí)的理解不夠全面，導(dǎo)致教學(xué)中數(shù)方格只能成為一個(gè)單一的教學(xué)環(huán)節(jié)，沒(méi)能從面積單位的數(shù)學(xué)本質(zhì)角度進(jìn)行知識(shí)關(guān)聯(lián)，學(xué)生無(wú)法真正體會(huì)“計(jì)算平行四邊形的面積”與“計(jì)算長(zhǎng)方形的面積”具有高度的一致性。而熟手教師則立足于面積本質(zhì)解讀本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)方格、拼方格、隱方格等逐步抽象出平行四邊形面積計(jì)算公式的全過(guò)程，讓學(xué)生感受面積實(shí)質(zhì)上就是面積單位的累加，甚至聯(lián)想到后續(xù)要學(xué)習(xí)的三角形、梯形、圓等平面圖形，體會(huì)平面圖形的面積這一數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系性和統(tǒng)一性。從數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度構(gòu)建系統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，能有效促進(jìn)新手教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的解讀，豐富新手教師的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（MK）水平，為促進(jìn)新手教師數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)的發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的學(xué)科知識(shí)基礎(chǔ)。

二、巧設(shè)計(jì)——對(duì)比問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，巧妙運(yùn)用PK

一般教學(xué)法知識(shí)（PK）主要包括數(shù)學(xué)內(nèi)容最佳呈現(xiàn)、表征方式等知識(shí)。新手教師對(duì)于結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容選擇何種教育教學(xué)方法更為適切的認(rèn)識(shí)并不深刻，導(dǎo)致在他們的課堂上呈現(xiàn)與表征數(shù)學(xué)內(nèi)容的方式較為單一、生硬，大多是直接將教材本身的呈現(xiàn)方式沿用到教學(xué)中。而熟手教師擁有較為豐富的一般教學(xué)法的理論與實(shí)踐知識(shí)，能清晰地認(rèn)識(shí)到針對(duì)某一具體的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該采用何種教育教學(xué)方法更加有效。

新手教師的教學(xué)片段：

出示學(xué)校秋實(shí)園的土地照片，照片略。

師：同學(xué)們，請(qǐng)看大屏幕，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：長(zhǎng)方形草地和平行四邊形草地。

師：想知道哪塊草地更大，怎么辦？

生：要算出它們的面積。

生：長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬。

生：我知道平行四邊形的面積計(jì)算公式是底乘高。

師：為什么是底乘高？今天這節(jié)課我們一起來(lái)研究平行四邊形的面積。

熟手教師的教學(xué)片段：

出示小區(qū)綠化圖片及草皮圖片，照片略。

師：“綠水青山就是金山銀山！”綠化后的小區(qū)不僅美觀而且實(shí)用。你們知道這些草皮是從哪里來(lái)的嗎？

生：草皮是農(nóng)民伯伯種植出來(lái)的。

師：對(duì)，農(nóng)民伯伯需要買草皮苗來(lái)種植。瞧，發(fā)生了什么事？

出示商戶正在賣草皮苗的圖片，如圖2。

師：以下三塊草皮苗都是用24米長(zhǎng)的繩子圍成的，三塊草皮苗的價(jià)格都一樣。

師：如果你是農(nóng)民伯伯，你會(huì)買哪一塊？

生：我會(huì)買長(zhǎng)方形的草皮苗，因?yàn)樗拿娣e最大，是5×7＝35（平方米）。

生：雖然都是24米圍成的，但是面積不一樣。

生：最右邊的平行四邊形面積最小。

師：這些是同學(xué)們的猜測(cè)，到底平行四邊形的面積該怎么得到呢？這節(jié)課我們就來(lái)研究平行四邊形的面積。

從上述的兩個(gè)教學(xué)片段可以看出，在平行四邊形的面積這個(gè)教學(xué)內(nèi)容的問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)方面，新手教師和熟手教師存在一定的差距，熟手教師創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境比新手教師創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境更加有效。熟手教師擁有較豐富的一般教學(xué)法知識(shí)，針對(duì)平行四邊形的面積這一教學(xué)內(nèi)容能創(chuàng)造性地使用教材，創(chuàng)設(shè)“賣草皮苗”的問(wèn)題情境，將周長(zhǎng)相同但形狀不同的一個(gè)長(zhǎng)方形和若干個(gè)平行四邊形融入問(wèn)題情境中，為學(xué)生提供廣闊的探究空間。而教學(xué)經(jīng)驗(yàn)較缺乏、沒(méi)有足夠?qū)嵺`知識(shí)的新手教師則是直接采用教材中的問(wèn)題情境，這樣的問(wèn)題情境在激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、提供探究空間等方面效果弱一些。當(dāng)然，隨著教學(xué)經(jīng)歷的不斷豐富，新手教師自身有意識(shí)地學(xué)習(xí)并逐步積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，一般教學(xué)法知識(shí)也會(huì)得到拓展。

三、深挖掘——對(duì)比學(xué)習(xí)過(guò)程的思辨，深度分析CK

有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)（CK）主要包括學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、學(xué)生觀點(diǎn)預(yù)測(cè)、學(xué)習(xí)疑難點(diǎn)及成因等知識(shí)。教學(xué)中，新手教師應(yīng)深度分析有關(guān)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)，豐富自身對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的認(rèn)識(shí)，創(chuàng)造條件引發(fā)學(xué)生思辨。那么，在學(xué)習(xí)過(guò)程中如何結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容引發(fā)學(xué)生深入思考，厘清知識(shí)間的區(qū)別和聯(lián)系呢？且看新手教師與熟手教師在課堂中對(duì)同一教學(xué)內(nèi)容的不同程度挖掘。

新手教師的教學(xué)片段：

出示原來(lái)的平行四邊形及剪拼后的長(zhǎng)方形，圖略。

師：仔細(xì)觀察轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形和轉(zhuǎn)化前的平行四邊形，它們之間有怎樣的等量關(guān)系？

生1：轉(zhuǎn)化前后，兩者的面積相等。

生2：長(zhǎng)方形的寬對(duì)應(yīng)平行四邊形的高，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)對(duì)應(yīng)平行四邊形的底。

生3：因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

師：誰(shuí)能完整地說(shuō)一說(shuō)平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程？

生：長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是平行四邊形的底，長(zhǎng)方形的寬就是平行四邊形的高。因?yàn)檗D(zhuǎn)化前后，平行四邊形的面積等于長(zhǎng)方形的面積，所以平行四邊形的面積等于底乘高。

熟手教師的教學(xué)片段：

出示原來(lái)的平行四邊形及剪拼后的長(zhǎng)方形，圖略。

師：仔細(xì)觀察轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形和轉(zhuǎn)化前的平行四邊形，誰(shuí)能說(shuō)一說(shuō)平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程？

生：平行四邊形的底是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，平行四邊形的高是長(zhǎng)方形的寬，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e等于長(zhǎng)方形的面積，而長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，即底乘高，所以平行四邊形的面積等于底乘高。

師：（第一次對(duì)比）整個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程，什么不變？什么變了？

生1：高和底的長(zhǎng)度不變，平行四邊形的面積不變。

生2：平行四邊形的周長(zhǎng)變短了。

教師出示例題中鄰邊都是7米和5米的一個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)平行四邊形（如圖2）。

師：（第二次對(duì)比）從左往右觀察這三個(gè)圖形，你又發(fā)現(xiàn)了什么？

生3：這三個(gè)圖形周長(zhǎng)不變，底不變。

生4：高越來(lái)越短，面積越來(lái)越小。

師：為什么會(huì)有這樣的變化？

生5：我發(fā)現(xiàn)在割補(bǔ)的過(guò)程中，平行四邊形的高越短，拼出來(lái)的長(zhǎng)方形的寬也就越短，因此面積就越小。

師：（第三次對(duì)比，如圖3）如果是這樣的三塊平行四邊形草地，你又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生6：這三個(gè)平行四邊形等底等高，面積相等。

生7：周長(zhǎng)不同，底相等，平行四邊形越傾斜，周長(zhǎng)越長(zhǎng)。

師：同學(xué)們能夠透過(guò)現(xiàn)象深入思考，太了不起了！

在上述兩個(gè)教學(xué)片段中，新手教師在學(xué)生動(dòng)手把平行四邊形剪拼成長(zhǎng)方形后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化前后的兩個(gè)圖形進(jìn)行深入辨析，尋找等量關(guān)系，在學(xué)生匯報(bào)過(guò)程中，新手教師十分關(guān)注學(xué)生敘述的完整性，并讓學(xué)生同桌之間互相說(shuō)一說(shuō)，學(xué)生在傾聽(tīng)和表達(dá)過(guò)程中思維越來(lái)越流暢，深刻感受轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，從而推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式。而在熟手教師的課堂中，學(xué)生充分感受割補(bǔ)法化零為整的轉(zhuǎn)化過(guò)程，理解轉(zhuǎn)化前后平行四邊形和長(zhǎng)方形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。不僅如此，在熟手教師的課堂中，學(xué)生甚至經(jīng)歷了更為深刻的思辨過(guò)程，周長(zhǎng)和面積是學(xué)生最容易混淆的知識(shí)點(diǎn)，熟手教師能提前預(yù)判學(xué)生的這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)，將面積的學(xué)習(xí)置于與周長(zhǎng)的逐級(jí)對(duì)比中，學(xué)生在三個(gè)層級(jí)的對(duì)比中，深刻感受平行四邊形面積的變與不變，從而使自己的思維不斷走向更深處。

總之，數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)（MPCK）的本質(zhì)是將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)換成教學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)。在新手教師與熟手教師的這場(chǎng)MK、PK、CK對(duì)比中，我們不難發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)實(shí)踐中，新手教師只有結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，從本質(zhì)角度解讀數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)、靈活運(yùn)用教育教學(xué)方法、深度分析學(xué)生學(xué)習(xí)狀況，并將數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)、一般教學(xué)法知識(shí)、有關(guān)學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)等經(jīng)過(guò)自主整合建構(gòu)后，才能形成屬于自己的較豐富的MPCK，從而促進(jìn)自身專業(yè)的不斷發(fā)展。