2022年版課標在小學階段新增尺規(guī)作圖內容，不僅對教師的教與學生的學提出了新的要求與挑戰(zhàn)，也是新一輪小學數(shù)學教科書修訂的關鍵內容之一。作為小學階段新增熱點，新版教科書的編寫必須明晰尺規(guī)作圖在促進學生數(shù)學思考的嚴謹性、理解圖形特征、探索幾何規(guī)律、發(fā)展推理意識等方面的重要價值，還要在教科書中體現(xiàn)尺規(guī)作圖的教學路徑、學理意蘊。法國是世界數(shù)學強國之一，這與其出色的數(shù)學教育有關?；诖耍覀冞x擇法國伊斯塔（ISTRA）版小學數(shù)學教科書（以下簡稱IS版教科書），探討其尺規(guī)作圖內容的編寫特點，以期對我國教科書中相應內容的編寫及教學提供啟示與借鑒。

一、IS版教科書中尺規(guī)作圖內容的編寫結構

（一）法國《數(shù)學課程大綱（2021年版）》尺規(guī)作圖的內容要求。

法國《數(shù)學課程大綱（2021年版）》以促進學生問題解決能力發(fā)展為宗旨，強調問題解決是數(shù)學活動的核心，并提出聚焦能力的六大課程目標：探索、建模、表征、推理、計算、交流。法國《數(shù)學課程大綱（2021年版）》將小學一至五年級劃分成兩個學段：其中一至三年級為基礎學段，關注學生學習的基礎性與漸進性，其主要任務是使學生掌握必要的基礎知識和基本技能；四至五年級為鞏固學段，具有雙重任031fb563f043c4a547eca34259e6494c務，一是鞏固前一學段的知識，二是實現(xiàn)小學和中學的順利銜接。該課程大綱為法國小學數(shù)學課程提供了方向指引。

法國小學數(shù)學共有三大學習領域——數(shù)與計算、量與測量、空間與幾何，其中與尺規(guī)作圖相關聯(lián)的內容編排在空間與幾何領域。表1呈現(xiàn)的是小學兩個學段中與尺規(guī)作圖相關聯(lián)的表述：

第一學段，不僅強調學生要學會使用作圖工具，也重視學生對幾何圖形和幾何工具之間關系的理解，并不局限于圖形的認識。同時法國《數(shù)學課程大綱（2021年版）》還明確提出“用帶刻度的直尺或圓規(guī)將已知線段畫到一條直線上”，以及“用直尺和圓規(guī)作等長線段并比較”，意在用直尺和圓規(guī)作一條與給定線段長度相等的線段，讓學生了解圓規(guī)定長的本質，為尺規(guī)作圖的深層次學習奠定基礎。

第二學段，明確提出從五年級開始，學生應能夠對圖形的特征與圖形的關系進行推理，如“使用直尺和圓規(guī)作三角形”的學業(yè)要求，其實際內容包括利用圓規(guī)和無刻度直尺作三角形以及菱形的內容，對學生尺規(guī)作圖的學習提出了更高的要求。同時要求學生能夠“執(zhí)行、補全或寫出作圖的構思程序”，這既要求學生會作圖，又要求學生能寫出作圖過程，以此提高學生的操作能力和促進其幾何語言的發(fā)展。

（二）IS版教科書中尺規(guī)作圖內容的編寫結構。

法國小學是五年制，一個學年上、下學期使用一本教科書。IS版教科書中有關尺規(guī)作圖的內容編排在第一學段的三年級和第二學段的五年級，具體如表2：

IS版教科書中有關尺規(guī)作圖內容的編排特征非常明顯，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

第一，尺規(guī)作圖的內容編排集中在三年級和五年級。其中五年級編排的內容是比較多的，包括利用尺規(guī)作出三角形以及菱形的內容。教科書以知識模塊的形式將相關內容編排在一起，形成大單元學習內容，能更加集中且有結構地編寫相關內容，增強對學科知識內容本質的關聯(lián)。另外，在知識點數(shù)量、任務難度上五年級與三年級是銜接的，且體現(xiàn)為螺旋式上升。

第二，尺規(guī)作圖內容編排的側重點是作三角形。在五年級，教科書專門編排了作三角形和作直角三角形的章節(jié)，學生通過兩整章的內容，學習用尺規(guī)作三角形，體會三角形形成的過程，以及三角形邊與邊之間的關系，感受圓規(guī)畫弧的重要價值。這部分內容的編寫指向提高學生的動手能力，發(fā)展幾何直觀、想象力和推理意識。

第三，尺規(guī)作圖內容的編排體現(xiàn)出圖形的關聯(lián)與進階。以圓的內容為例，IS版教科書中關于圓的作圖內容分布在兩個年級。三年級開始編寫對圓的初步認識，先是從生活實物中感知圓，然后認識抽象出來的圓；接著就進入圓作圖的學習，第一步不借助工具直接用手畫圓，然后過渡到使用圓規(guī)畫圓，使用圓規(guī)畫圓時，剛開始不給圓心，任意畫，然后給定圓心畫圓。到了五年級，圓的內容首先編寫“圓心到圓上任意一點的距離相等”這一性質，在此基礎上，利用尺規(guī)作圖探索菱形四邊等長的特征。這樣的編寫體現(xiàn)出圖形之間的關聯(lián)，以及作圖知識與技能的進階。

第四，尺規(guī)作圖內容的編排注重作圖流程的構思與表達。如五年級涉及的作圖內容：一是根據文字要求按給定的構思流程作圖，這時的作圖通常將不同圖形組合起來，具有一定的復雜性，對學生的作圖技能要求較高，如圖1；二是反過來，要求寫出作圖構思的流程，每一步都要用文字準確表達并寫出來，如圖2。這樣編寫尺規(guī)作圖步驟和流程的操作，使學生能從正向思維和逆向思維兩個方面感受作圖，有利于學生加強對作圖原理的探究、對作圖方法的探索，能培養(yǎng)學生的程序化思維和嚴密的邏輯推理能力。

二、IS版教科書中尺規(guī)作圖內容的編寫特征

（一）尺規(guī)作圖“痕跡化”——厘清尺規(guī)作圖的操作路徑。

在尺規(guī)作圖的過程中，學生需要進行更復雜的思考，從而逐步理解幾何圖形的性質，為此，IS版教科書通過呈現(xiàn)出完整的作圖過程并對其進行解釋，讓學生理解作圖背后的含義，以此促進學生幾何直觀能力的發(fā)展。小學生使用圓規(guī)和直尺進行作圖時，往往會發(fā)生“不知道下一步需要干什么”的情況，所以IS版教科書給出尺規(guī)作圖的具體構思流程，并給出具體的說明，這對小學生學習尺規(guī)作圖具有指導性，也反映出IS版教科書對這個內容的處理理念：強調學生對尺規(guī)作圖步驟的系統(tǒng)掌握，運用文字與作圖可視化呈現(xiàn)形式，把尺規(guī)作圖的構思與操作具體流程完整再現(xiàn)，關照到了小學生作圖的認知水平，為學生掌握尺規(guī)作圖的技能提供支架。

如圖3所示，IS版五年級教科書中編排了“用尺規(guī)作出三角形”的內容，并要求找出三角形的高。IS版教科書將“畫出三角形”分成了六個步驟，采用圖文的形式呈現(xiàn)具體操作流程，包括：第一步引導學生畫出線段，第二、三步要求學生使用圓規(guī)分別畫出兩條圓弧，第四步要求學生連接點得到三角形的另外兩邊，第五、六步為指導學生畫出三角形高的過程。文字說明與具體操作流程相結合的呈現(xiàn)方式，使得整個流程有跡可循，學生在模仿操作過程中也可做到有理有據，為學生自主學習作圖技能提供學習資料。

（二）尺規(guī)作圖“做中學”——問題驅動學習與思考。

IS版教科書編寫體現(xiàn)出以問題為導向、以任務為驅動，激發(fā)學生對尺規(guī)作圖的興趣，增強學生對尺規(guī)作圖的求知欲。尺規(guī)作圖作為一種操作性知識，本身具有在做中學的特質，對發(fā)展學生學習的主動性、培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性以及加深學生對圖形本質的理解都有重要作用。法國課程大綱把問題解決作為數(shù)學的核心，IS版教科書以問題為導向編寫，在尺規(guī)作圖內容的編寫中通過提出問題，引導學生動手操作，在“做”的過程中直觀感受圖形的運動，并進行抽象的邏輯思考。

在利用尺規(guī)作出菱形的內容中，IS版教科書將作圖與學習菱形的特征聯(lián)系起來，采用提出問題與布置任務的呈現(xiàn)方式，讓學生基于作圖感受圖形的本質特征。如圖4，第一步，教科書給學生呈現(xiàn)尺規(guī)作菱形的流程；第二步，提出問題讓學生思考，探索菱形的特征；第三步，檢查呈現(xiàn)的圖形是否完全根據說明作出的，并按照此流程重新作出圖形；最后，引導學生探索菱形對角線的特征。學生在“做”中探索學習菱形的特征，加深對圖形特征的理解，同時通過問題驅動探索圖形的本質。

IS版教科書還非常重視習題的編寫，通過一定量的習題幫助學生熟練掌握尺規(guī)作圖的技能。這也符合尺規(guī)作圖操作性強的特點，學生必須進行多次重復的專門練習才能達到掌握水平。教科書匹配了一定量的尺規(guī)作圖習題，在每一節(jié)之后都會編排對應相同的知識點但難易程度不同的習題供學生練習使用。習題分成A、B兩欄，A欄的問題較為基礎，與新知呈現(xiàn)的問題同屬一個難易程度水平；而B欄的問題較為復雜，需要學生在掌握A欄問題解決方法的基礎上進行探索完成，屬于探究性的學習任務。這種編排方式保證了學生掌握尺規(guī)作圖所必需的練習量，但又不局限于機械重復的練習，兼顧基礎與拓展的功能。如圖5所示，作出直角三角形并進行測量，A欄編排了作出一個直角三角形，B欄則編排作出由兩個或三個直角三角形組合而成的圖形。這種關聯(lián)進階的編排能進一步促使學生探究圖形之間的關系，體會到尺規(guī)作圖不僅是一項技能，還能通過作圖探索圖形的特征、關系和規(guī)律。

（三）尺規(guī)作圖“豐富化”——內生興趣的萌芽。

教科書是培養(yǎng)學生學習興趣、促進學生養(yǎng)成良好習慣的重要文本材料。IS版教科書注重通過所給的文本材料，引導教師在實際教學中，不僅期望學生能理解尺規(guī)作圖的特征及相關概念，掌握作圖的技巧，還重視培養(yǎng)學生對尺規(guī)作圖的學習興趣。尺規(guī)作圖對小學生的抽象思維與動手能力有著很高的要求，三年級學生處于前運算階段，五年級學生剛剛進入形式化運算階段，如何平衡學生的認知心理發(fā)展與尺規(guī)作圖的操作嚴謹性呢？IS版教科書在編排尺規(guī)作圖相關內容時，通過引入歷史趣事及豐富的圖形內容來吸引學生，讓學生在探索過程中感受圖形的變化美，進而對挑戰(zhàn)性的作圖內容充滿好奇心，內生興趣的萌芽。

在五年級“圓的認識”這一主題中，如圖6所示，IS版教科書通過介紹自行車的歷史，呈現(xiàn)特殊形狀的自行車引入圓的內容，并提出了兩個問題引導學生探索圓的特征。首先，要求學生動手標出輪子的圓心、測量輪子的半徑，引導學生認識圓及其組成部分，發(fā)現(xiàn)圓的所有半徑相等這一特征；其次，將圓放到方格紙中，讓學生數(shù)出將要畫出的圓的半徑；最后，給出畫圓的具體步驟，引導學生畫出圓。通過問題探索發(fā)現(xiàn)圓的特征，同時搭配歷史圖畫作為導入，既能夠激發(fā)學生的興趣，所獲得的直接經驗又能使學生對圓的認知更加深刻。

尺規(guī)作圖是一種操作性知識，操作性知識的特點就是通過重復的練習能夠達到熟練的程度。但是機械性練習不僅不能促進學生學習，反而會淡化學生的學習興趣，因此尺規(guī)作圖的練習應避免單一化。如圖7所示，IS版教科書在保證練習量的同時，編排了不同類型的圖形。首先，這些圖形都是學生學習過的圖形，都需要學生利用尺規(guī)作圖的方法畫出圖形；其次，這些圖形形狀豐富，既能避免學生因重復練習畫出一種圖形感到無趣，又需要學生在“跳一跳”的基礎上完成任務。

三、IS版教科書中尺規(guī)作圖內容編寫啟示

尺規(guī)作圖作為新增加的內容，教師和學生在實際教學過程中難免會遇到困難，我們期望教科書能有高質量的尺規(guī)作圖內容，給教師的教學提供充分指引，給學生提供翔實的學習資源。探討法國IS版教科書中尺規(guī)作圖內容編寫的特色，結合我國小學數(shù)學課程尺規(guī)作圖內容的要求，獲得以下思考與啟示。

（一）以“做”為基礎，以“創(chuàng)”為延伸。

IS版教科書中尺規(guī)作圖內容編寫充分體現(xiàn)了以“做”為基礎，注重通過學習資料引導學生對尺規(guī)作圖的操作性理解，讓學生在實踐中掌握尺規(guī)作圖的操作性技巧。尺規(guī)作圖作為一種操作性知識，本身帶有在做中學的特質，所以，讓學生在做的過程中獲得知識與技能是非常重要的。通過動手操作獲取直接經驗，親身經歷思考驗證的探索過程，發(fā)展學習的主動性與自主性。IS版教科書以問題為導向編寫尺規(guī)作圖的內容，體現(xiàn)引導學生探究尺規(guī)作圖的深層意蘊，能夠加深學生對圖形本質的理解，感悟數(shù)學的嚴謹性。因此，教科書在尺規(guī)作圖的編寫中要創(chuàng)設可以實踐操作、自主探究的問題情境，讓學生在發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、動手操作的過程中完成作圖任務。

以“創(chuàng)”為延伸，注重發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維，創(chuàng)生對圖形的新思考。創(chuàng)中學是做中學的進一步發(fā)展，是學生在掌握尺規(guī)作圖基本技巧的基礎上，打破思維定式，有創(chuàng)意的學習方式。尺規(guī)作圖本身就是一種推理性活動，本身就具有“創(chuàng)”中學的特征，比如大多數(shù)學生對圓規(guī)的認識局限于畫圓，而圓規(guī)的本質特征是定長，所以讓學生探索圓規(guī)的其他功能或創(chuàng)造畫圓的其他方式，能夠促進學生創(chuàng)造性思維的發(fā)展。教科書在尺規(guī)作圖內容編寫的過程中，也應該編排情境式、挑戰(zhàn)性、跨學科的內容供學生探索，讓學生掌握解決問題的萬能之鑰，比如除了讓學生通過木棒、繩子等實物發(fā)現(xiàn)三角形三邊關系，還可以引導學生利用尺規(guī)作圖的方法進行探索；或者在學生學習完尺規(guī)作三角形之后，讓學生創(chuàng)造更多組合圖形。

（二）操作路徑直觀化，作圖過程可視化。

尺規(guī)作圖作為小學階段新增加的知識點，具有操作性和抽象化的特點，往往會造成學生難理解、不會操作，因此教科書在呈現(xiàn)相關知識時應直觀呈現(xiàn)操作路徑，完整保留作圖痕跡，展現(xiàn)尺規(guī)作圖的全貌，并呈現(xiàn)出必要的操作步驟。IS版教科書在編排尺規(guī)作圖的內容時，簡化復雜的操作，重點關注細節(jié)，并著重放大一些細微操作，使學生的尺規(guī)作圖有跡可循?？梢暬牟僮髁鞒滩粏沃附炭茣某尸F(xiàn)直觀化，還應該包括學生作圖過程的痕跡化。學生的作圖痕跡能直觀地呈現(xiàn)出學生在操作過程中的思考路徑，使其具體操作流程一目了然，既有利于同學之間交流，又有利于教師幫助學生改正錯誤作圖操作。

小學生正處于形象思維時期，因此教科書在呈現(xiàn)程序性、操作化的知識時不宜過度書面化，期望我國新版小學數(shù)學教科書在編寫尺規(guī)作圖的內容時，能夠注重作圖痕跡的呈現(xiàn)，必要時采取不同顏色標注，放大細微操作，關注細節(jié)編寫以及呈現(xiàn)真實照片等處理方式，為學生學習尺規(guī)作圖厘清思路。此外，信息技術的發(fā)展為呈現(xiàn)尺規(guī)作圖的內容提供了新的路徑，應充分考慮這些技術的支持，積極探索作圖軟件、視圖編程等教學工具發(fā)揮的作用。

（三）注重關聯(lián)與構思，關照作圖過程表達。

IS版教科書中尺規(guī)作圖的內容并不是簡單指向作圖活動與技能，而是將作圖與圖形的認識和特征探索相關聯(lián)，通過作圖加強學生對幾何圖形的認知，強化知識間的內在關聯(lián)。IS版教科書中尺規(guī)作圖內容的結構化處理，給我們當下所關注的結構化教學設計也帶來啟示，不能簡單地把尺規(guī)作圖內容處理成操作活動與作圖技能訓練，要把2022年版課標中尺規(guī)作圖三個內容與相應的圖形認識結合起來。比如，學生在學習圓的內容時，先前的經驗“會用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段”有利于學生掌握“圓心到圓上任意一點的距離相等”這一性質，以及“用直尺和圓規(guī)將三角形的三條邊畫到一條直線上”能夠幫助學生理解三角形的周長等。在此過程中，引導學生理解尺規(guī)作圖的學理意蘊，同時要處理好小學與初中的銜接。

另外，IS版教科書強調尺規(guī)作圖的流程和步驟，注重作圖過程的文字化表達，這也為我們的教學帶來啟示，即在教學中指導學生規(guī)范作圖需要強化程序，這也是培養(yǎng)學生計算思維的一個良好契機，學生把作圖步驟用口頭或文字表達出來，能幫助學生深度感知尺規(guī)作圖的嚴謹性，反過來，根據文字要求按給定的構思流程作圖，能讓學生嘗試更有挑戰(zhàn)性的作圖內容，促進學生發(fā)展高階的尺規(guī)作圖技能。