分?jǐn)?shù)乘法與整數(shù)乘法、小數(shù)乘法運(yùn)算之間有密切的聯(lián)系，在運(yùn)算意義、算理和算法上具有一致性，是學(xué)生對(duì)乘法意義理解的又一次豐富和擴(kuò)充。正如2022年版課標(biāo)指出的，小學(xué)階段在感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性的基礎(chǔ)上，還要“感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)”。筆者團(tuán)隊(duì)整體構(gòu)建了分?jǐn)?shù)乘法單元，鼓勵(lì)學(xué)生自主規(guī)劃單元學(xué)習(xí)，以探索分?jǐn)?shù)乘法通法為主線，引導(dǎo)學(xué)生首先想辦法解決分?jǐn)?shù)乘法如何計(jì)算，在此基礎(chǔ)上溝通方法之間的聯(lián)系，感悟運(yùn)算的一致性。

下面重點(diǎn)介紹“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的教學(xué)過程及思考。本節(jié)課共有三個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)：一是規(guī)劃研究素材，確定研究順序；二是借助直觀，探索分?jǐn)?shù)單位×分?jǐn)?shù)單位如何計(jì)算；三是由分?jǐn)?shù)單位×分?jǐn)?shù)單位的研究出發(fā)，研究更多分?jǐn)?shù)乘法算式，如真分?jǐn)?shù)×真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)×假分?jǐn)?shù)等，明晰分?jǐn)?shù)乘法的通法及其道理。

一、規(guī)劃研究素材，確定研究順序

上課伊始，通過播放本單元前面課時(shí)學(xué)習(xí)過程的小視頻，幫助學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過程中研究的問題、進(jìn)行的思考和初步的研究成果，引領(lǐng)學(xué)生確定這節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)：尋找分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)計(jì)算的通法。需要說明的是，通過前面的討論，學(xué)生已經(jīng)明確了什么是通法：能解決所有分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算問題，同時(shí)要簡(jiǎn)潔一些。

研究目標(biāo)確定后，就研究素材問題，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：選擇哪些有代表性的算式進(jìn)行研究呢？研究順序是什么？在問題的引領(lǐng)下，學(xué)生獨(dú)立思考、全班分享寫的算式及背后的想法。

師：看來他倆在算式的處理上有點(diǎn)兒不同，第一位同學(xué)的方法和研究思路是一小步一小步地往前走，而第二位同學(xué)稍微調(diào)整了一下，但他倆的思考有共同之處——都想從簡(jiǎn)單的分子是1的分?jǐn)?shù)開始研究，然后是真分?jǐn)?shù)×真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)×假分?jǐn)?shù)，大家同意嗎？

此時(shí)不少學(xué)生并沒有感覺到第一個(gè)算式實(shí)際上體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)單位的計(jì)算，只是覺得它簡(jiǎn)單，教師沒有干預(yù)，而是順應(yīng)學(xué)生的想法。

生：（齊）同意。

【設(shè)計(jì)意圖】通過前期研究過程的回顧，喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，明確本節(jié)課的研究目標(biāo)。對(duì)研究素材的規(guī)劃，以及從分?jǐn)?shù)單位入手由易到難研究順序的確定，不僅發(fā)展了學(xué)生自主規(guī)劃的能力，也為感悟計(jì)數(shù)單位的價(jià)值埋下了伏筆。

二、借助直觀，研究分?jǐn)?shù)單位的乘法

1.引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考。

師：可以畫一畫、算一算或者寫一寫，說明你的想法。

學(xué)生獨(dú)立研究，教師巡視并進(jìn)行指導(dǎo)。

2.組織全班交流。

師：在交流的過程中，不僅要說清楚怎么計(jì)算，更要把計(jì)算方法背后的想法說明白。

在學(xué)生有了想法后，小組內(nèi)交流，然后教師組織全班交流。

師：誰來說說自己的想法？

生2：我建議在第二次分的時(shí)候把豎著的線畫通，這樣可以直觀地看出長(zhǎng)方形被分成了幾個(gè)格子，每個(gè)格子是幾分之一（如圖2）。

生3：先平均分成了4份，再把每份又平均分成了5份，所以一共平均分成了4×5=20（份）。

師：想一想，我們把剛剛兩位同學(xué)分的過程用算式表達(dá)出來的話，應(yīng)該怎么寫呢？

生1：我們把整體“1”先平均分成4份，取其中的1份，然后又把那1份平均分成5份，取其中的1份。所以發(fā)現(xiàn)計(jì)算時(shí)只要用分母×分母就能算出來了。

教師結(jié)合學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行階段性小結(jié)：兩個(gè)分?jǐn)?shù)單位相乘，結(jié)果還是分?jǐn)?shù)單位，而且這個(gè)新的分?jǐn)?shù)單位的分母是由原來兩個(gè)分?jǐn)?shù)單位的分母相乘得到的。

【設(shè)計(jì)意圖】由分?jǐn)?shù)單位的乘法入手進(jìn)行研究，既順應(yīng)學(xué)生自主研究的探索路徑，又為突破探索分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法提供了研究支架。

三、探索更多的乘法算式，明晰通法及其道理

學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，圍繞以下三個(gè)問題，在小組內(nèi)進(jìn)行初步的交流：

（1）想計(jì)算哪個(gè)算式？你怎么想到要計(jì)算它呢？

（2）在介紹算式時(shí)，不僅要說你是怎么算的，關(guān)鍵是要說出你背后的想法及為什么這么算。

經(jīng)過同伴的互相啟發(fā)，全班分享想法。

1.真分?jǐn)?shù)×真分?jǐn)?shù)。

組2：我們借助單位來說明（如圖4）。

師：你們計(jì)算的每一步的依據(jù)是什么？

學(xué)生在獨(dú)立思考、小組內(nèi)分享的基礎(chǔ)上，進(jìn)行全班交流。

師：誰來說說自己的想法？

學(xué)生雖然主動(dòng)從單位的角度進(jìn)行了探索，但對(duì)感覺“畫不出來的圖”仍然想要研究，于是教師聚焦“卡點(diǎn)”，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步思考。

師：想一想，畫不出來的關(guān)鍵“卡”在哪兒了？

生2：假分?jǐn)?shù)怎么在圖中表示呢？

此時(shí)，教師帶領(lǐng)學(xué)生完整回憶整個(gè)研究的過程，并引發(fā)對(duì)通法背后道理的思考。

師：回頭看一下，你們的“膽子”越來越大了，由剛開始想到要解決分母沒發(fā)生變化的真分?jǐn)?shù)×真分?jǐn)?shù)，到最后研究貌似“完全不搭邊”的假分?jǐn)?shù)×假分?jǐn)?shù)。在這一連串的算式計(jì)算過程中，你覺得雖然算式不同，但相同的地方是什么？誰幫我們找單位呢？個(gè)數(shù)又怎么找呢？

生：在計(jì)算時(shí)，都在思考新的分?jǐn)?shù)單位是什么，有幾個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。我發(fā)現(xiàn)分母×分母算的就是產(chǎn)生的新分?jǐn)?shù)單位的分母是多少，分子×分子則算出了有幾個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。

大家鼓掌表示贊同。

【設(shè)計(jì)意圖】由分?jǐn)?shù)單位的乘法出發(fā)展開聯(lián)想活動(dòng)，從開始學(xué)生想到要解決分母沒發(fā)生變化的真分?jǐn)?shù)×真分?jǐn)?shù)的問題，直至解決假分?jǐn)?shù)×假分?jǐn)?shù)的問題。在這一連串的問題解決過程中，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)“理”的一致性。

本節(jié)課中，在核心問題“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)計(jì)算的通法是什么”的驅(qū)動(dòng)下，鼓勵(lì)學(xué)生自主思考，在對(duì)“法”的理解和尋找的過程中，從分?jǐn)?shù)單位×分?jǐn)?shù)單位，到真分?jǐn)?shù)×真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)×假分?jǐn)?shù)，學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)通法及其背后的道理，感悟分?jǐn)?shù)單位的價(jià)值，為進(jìn)一步尋求乘法運(yùn)算的一致性奠定了良好的基礎(chǔ)。