“乘法回頭看”是在六年級總復(fù)習(xí)階段開展乘法運(yùn)算一致性教學(xué)的一次嘗試。本節(jié)課從意義、算理和算法角度進(jìn)行乘法運(yùn)算的整體回頭看。

一是運(yùn)算意義角度?，F(xiàn)行教學(xué)中，對于整數(shù)乘整數(shù)，從相同加數(shù)的和或倍的角度理解其意義；到了小數(shù)乘小數(shù)，并沒有經(jīng)歷意義的學(xué)習(xí)，直接進(jìn)入算理、算法的探究；對于分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，則在相同加數(shù)的和的基礎(chǔ)上，從一個(gè)數(shù)的幾分之幾的角度進(jìn)行理解。因此，有必要對意義進(jìn)行回顧，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到無論整數(shù)乘法、小數(shù)乘法還是分?jǐn)?shù)乘法，都可以從“相同加數(shù)的和”或“一個(gè)數(shù)的多少倍”理解其意義。

二是算理和算法角度。對于小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法，是從不同的角度進(jìn)行算法探究的（對于小數(shù)乘法，將其轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法，進(jìn)而總結(jié)出算法；對于分?jǐn)?shù)乘法，則基于意義通過畫圖實(shí)現(xiàn)算法的探究），但都可以看成“計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘得到新的計(jì)數(shù)單位，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘得到新計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)”。

通過“回頭看”，幫助學(xué)生感悟乘法運(yùn)算的一致性，體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系。

一、預(yù)學(xué)反饋，理解乘法意義的一致性

在課前，教師布置了“以20×30、0.2×0.3、

在建立三類乘法意義之間的聯(lián)系時(shí)，有的學(xué)生從不同的角度分別闡述整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的意義（如圖1）；有的學(xué)生則嘗試從“幾個(gè)幾”或“幾倍”的角度闡述三類乘法的意義（如圖2）。

在尋找三類乘法算理、算法之間的聯(lián)系時(shí)，多數(shù)學(xué)生能夠借助直觀圖講述乘法的算理，部分學(xué)生意識(shí)到三類乘法“都在算2×3”（如圖3），并且在尋找的過程中，有的學(xué)生對算法與算理之間的聯(lián)系表現(xiàn)出了一定的好奇。

同時(shí)，在學(xué)生的自主梳理中也存在一些值得關(guān)注的問題，如學(xué)生的表現(xiàn)水平不一、對算理和算法的一致性還需進(jìn)一步探討、對算法與算理之間的聯(lián)系表現(xiàn)出一定的好奇等，這些問題的解決有助于學(xué)生感悟乘法運(yùn)算的一致性。

在學(xué)生自主梳理的基礎(chǔ)上，課始，教師組織學(xué)生針對三類乘法的意義進(jìn)行小組討論，互相啟發(fā)，在組內(nèi)達(dá)成初步共識(shí)后，進(jìn)行全班交流。

師：這三類乘法在意義上有怎樣的聯(lián)系呢？誰來說說自己的想法？

師：從倍的角度理解這三類乘法的意義，大家可以接受嗎？

生：可以接受，倍可以是整數(shù)倍，也可以是小數(shù)倍，如誰是誰的1.5倍。

生：我認(rèn)為也可以是分?jǐn)?shù)倍。

生：0.3個(gè)0.2就是在這個(gè)“1”中，先取它的0.2，也就是把這個(gè)正方形平均分成10份，取其中的2份；然后在這個(gè)0.2中再取它的0.3，也就是把0.2再平均分成10份，取其中的3份（如圖4）。

生：我覺得你這樣解釋不是在說0.3個(gè)0.2，而是在說0.2的0.3是多少。應(yīng)該先找到0.2，0.3個(gè)0.2是不夠1個(gè)0.2的，把0.2平均分成10份，取其中的3份，就是0.3個(gè)0.2了。

其他學(xué)生點(diǎn)頭表示贊同。

師：看來，小數(shù)乘法的意義可以理解成相同加數(shù)的和，也可以理解為一個(gè)數(shù)的多少倍。

【設(shè)計(jì)意圖】以三個(gè)例子為媒介，回顧它們的意義，發(fā)現(xiàn)三類乘法在意義上的共同之處。其中整數(shù)乘法的意義最易理解，是理解其他乘法運(yùn)算意義的基礎(chǔ)；對于小數(shù)乘法的意義，需要將其轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)，借助分?jǐn)?shù)的意義理解。在現(xiàn)行教學(xué)中，小數(shù)乘法的意義學(xué)生并沒有討論過，因此這個(gè)環(huán)節(jié)的關(guān)鍵是理解“0.3個(gè)0.2”是什么意思，鼓勵(lì)學(xué)生借助畫圖，通過分?jǐn)?shù)的意義加以理解。

二、交流提升，理解算理、算法的一致性

理解算理、算法的一致性是本節(jié)課的核心內(nèi)容，法離不開理，理支撐著法，二者密不可分。在組內(nèi)交流的基礎(chǔ)上進(jìn)行全班反饋，共同探討這三類乘法在算理、算法上的聯(lián)系。

1.闡述算法背后的算理。

在回顧算法后，學(xué)生借助直觀圖講述三類乘法算法背后的算理（如圖5）。通過在直觀圖上進(jìn)行圈畫，發(fā)現(xiàn)三類乘法都是在計(jì)算6個(gè)格子有多大，區(qū)別在于格子的大小是不同的。在討論中全班逐步達(dá)成共識(shí)，為理解算理的一致性做好鋪墊。

生：20表示2個(gè)十，30表示3個(gè)十，2乘3算的是共有6個(gè)大方格，每個(gè)大方格都是10乘10共100個(gè)小方格，也就是6乘100，結(jié)果就是600。

生：把大正方形看作“1”，平均分成10行，每行是0.1，2個(gè)0.1就是0.2；再平均分成10列，取其中的3列，0.2×0.3計(jì)算的就是這6個(gè)格子的大小，每個(gè)格子都是0.1×0.1=0.01，所以結(jié)果是0.06。

2.感悟計(jì)數(shù)單位的作用。

師：如果用算式把整數(shù)乘法的算理記錄下來，應(yīng)該怎么做呢？

教師邊引導(dǎo)討論邊在黑板上板書：（2×10）×（3×10）=（2×3）×（10×10）=6×100。

學(xué)生板演（如圖6）：

師：好好觀察這三個(gè)橫式，想一想，它們的第一步都是怎么得到的呢？

生：把每個(gè)數(shù)都寫成了“幾×計(jì)數(shù)單位”的形式。

師：是的，我們所學(xué)的整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)都離不開計(jì)數(shù)單位。從第一步得到第二步，是什么在支撐著我們這樣做？

生：是乘法的交換律和結(jié)合律。

師：誰來解釋一下整數(shù)乘法的算式？

生：20表示2個(gè)十，30表示3個(gè)十，我們之所以在2×3的結(jié)果，也就是6的后面添上2個(gè)0，是因?yàn)?0×10會(huì)得到新的計(jì)數(shù)單位——百。

隨著學(xué)生的回答，教師運(yùn)用板書幫助他們理解，如圖7。

師：誰能也像這樣，連一連線來說一說小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算的道理？

學(xué)生板演（圖略）。通過連線，學(xué)生將豎式與橫式建立聯(lián)系，即建立算法與算理之間的關(guān)聯(lián)，感悟法是理之顯，理是法之源。

師：你們發(fā)現(xiàn)三類乘法之間的共同點(diǎn)了嗎？

同伴進(jìn)行交流，然后全班反饋。

生：我發(fā)現(xiàn)無論整數(shù)乘法、小數(shù)乘法還是分?jǐn)?shù)乘法，都在計(jì)算計(jì)數(shù)單位乘計(jì)數(shù)單位得到的新計(jì)數(shù)單位是多少，以及個(gè)數(shù)乘個(gè)數(shù)得到的新計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)是幾。

師：原來看似不同的乘法，其背后蘊(yùn)含的道理是一致的，都要先確定計(jì)數(shù)單位×計(jì)數(shù)單位得到的新計(jì)數(shù)單位是多少，再通過個(gè)數(shù)×個(gè)數(shù)得到新計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)環(huán)節(jié)重點(diǎn)解決兩個(gè)問題：（1）以橫式表達(dá)算理，通過縱向?qū)Ρ?，發(fā)現(xiàn)乘法算理的一致性；（2）橫向觀察，進(jìn)一步理解“法蘊(yùn)含理，理支撐法”，以及運(yùn)算律的重要作用。

三、拓展延伸，在理解的基礎(chǔ)上展開聯(lián)想

教師呈現(xiàn)一個(gè)整數(shù)乘法典型的豎式錯(cuò)例（如圖8），借助計(jì)數(shù)單位幫助學(xué)生辨析錯(cuò)因并加以改正。

在此基礎(chǔ)上，教師提供香港一本教材中的小數(shù)乘法豎式（如圖9），請學(xué)生講述這樣寫豎式的道理，將豎式補(bǔ)充完整，并尋找這個(gè)豎式與我們熟悉的豎式之間的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。

生：我們的豎式是先算數(shù)量，然后把數(shù)量加起來，最后看計(jì)數(shù)單位是多少。而這個(gè)豎式是先看計(jì)數(shù)單位，最后把數(shù)量加起來，做到了數(shù)位對齊。無論怎么算，都要注意結(jié)果的計(jì)數(shù)單位是多少，有多少個(gè)計(jì)數(shù)單位。

在此基礎(chǔ)上，教師鼓勵(lì)學(xué)生暢談收獲，展開聯(lián)想。

師：這節(jié)課我們一起回顧了曾經(jīng)學(xué)過的三類乘法，你有哪些收獲？

生：我知道了所有乘法的結(jié)果都是有聯(lián)系的。

生：通過這節(jié)課，我真正理解了為什么要這樣算，而不是單單算出來。

生：我知道了計(jì)數(shù)單位乘計(jì)數(shù)單位會(huì)得到新的計(jì)數(shù)單位。

生：我知道了我們的豎式為什么要這樣寫。

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你是否聯(lián)想到一些新的問題？

生：整數(shù)乘法、小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法都是在算新計(jì)數(shù)單位是多少，以及有多少個(gè)新計(jì)數(shù)單位，我提出的新問題是：除法是不是也是這樣的呢？

生：我們以后可能還會(huì)學(xué)習(xí)其他數(shù)的乘法，是不是也離不開計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過表述這個(gè)“不同以往”的豎式的算理，再次鞏固對算理、算法一致性的理解，并將這個(gè)豎式與現(xiàn)行教材中的豎式進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)行教材中的豎式“先按整數(shù)算出積，再來確定小數(shù)點(diǎn)的位置”的算法背后，蘊(yùn)含著“先計(jì)算新計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，再用個(gè)數(shù)乘新計(jì)數(shù)單位”的道理。在學(xué)生總結(jié)這節(jié)課的收獲之后，提出“是否聯(lián)想到一些新的問題”的數(shù)學(xué)思考，目的是幫助學(xué)生打開思路，從整數(shù)乘法、小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法這三類乘法的圈子里跳出來，將思考遷移到全新領(lǐng)域中。