2022年版課標(biāo)指出：“數(shù)據(jù)意識(shí)主要是指對(duì)數(shù)據(jù)的意義和隨機(jī)性的感悟……知道同一組數(shù)據(jù)可以用不同方式表達(dá)，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方式?！睌?shù)據(jù)意識(shí)的主要作用是促進(jìn)學(xué)生逐步養(yǎng)成用數(shù)據(jù)說話的習(xí)慣。平均數(shù)是小學(xué)階段要學(xué)習(xí)的重要統(tǒng)計(jì)量，深刻認(rèn)識(shí)其本質(zhì)，理解其統(tǒng)計(jì)意義，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)格外重要[1]。

平均數(shù)的本質(zhì)是刻畫一組數(shù)據(jù)的整體水平，反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)[1]。小學(xué)生對(duì)平均數(shù)的理解有三個(gè)水平：算法水平，即會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；概念水平，即知道平均數(shù)是代表一組數(shù)據(jù)整體水平的量值、平均數(shù)的大小易受極端數(shù)據(jù)影響等特性；統(tǒng)計(jì)水平，即在前兩個(gè)水平的基礎(chǔ)上，能夠解釋并體會(huì)平均數(shù)作為代表的合理性[2]。代表性是建構(gòu)平均數(shù)概念的重要基礎(chǔ)，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)首先要理解代表性[3]，即在解決現(xiàn)實(shí)問題時(shí)，要意識(shí)到需要用1個(gè)數(shù)來代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。

一、課堂實(shí)錄與賞析

（一）開門見山，引入新課。

教師出示問題“得分是多少”。

師：看到今天的問題，你有什么想說的？

生：求的是什么的得分？

生：這個(gè)得分該怎么求？

師：是的。這個(gè)得分是關(guān)于什么的？怎么求這個(gè)得分呢？

【賞析】直接出示問題，引發(fā)學(xué)生思考，理解情境，埋下需要思考如何代表一個(gè)人的得分的伏筆。

（二）合作探索，理解概念。

1.自主探究，感受代表。

教師出示任務(wù)1。

學(xué)校舉行歌唱比賽，滿分為15分，以下是評(píng)委給1號(hào)選手打的分?jǐn)?shù)（如表1）。

師：你得到了哪些信息？

生：學(xué)校舉行歌唱比賽，滿分為15分。

生：分?jǐn)?shù)是5位評(píng)委分別打的。評(píng)委1打了12分……

師：5個(gè)分?jǐn)?shù)是給不同的人打的嗎？

生：不是，都是給1號(hào)選手打的。

師：為什么有5位評(píng)委呢？

生：每個(gè)人對(duì)別人表演的看法是不一樣的，所以要得出每個(gè)人的想法。

師：為什么要有這么多不同的想法呢？

生：因?yàn)檫@樣更準(zhǔn)確，可以綜合更多人的想法。

師：他講的關(guān)鍵詞是哪個(gè)？

生：準(zhǔn)確。

師：5個(gè)人打分為什么更準(zhǔn)確？

生：因?yàn)槊總€(gè)人的看法不同，有的人認(rèn)為這樣好，有的人認(rèn)為那樣好，所以看法越多，結(jié)果越客觀。

師：如果只有1位評(píng)委呢？

生：這樣不夠客觀。

師：現(xiàn)在是5位評(píng)委打分，但最后只能用1個(gè)分?jǐn)?shù)。到底給多少分呢？所以要思考得分是多少。

【賞析】先引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別情境，再提出問題：明明只有1個(gè)選手，為什么要由5位評(píng)委來打分？學(xué)生感受到這組數(shù)據(jù)是有意義的、有價(jià)值的，進(jìn)而體會(huì)到用1個(gè)數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的必要性。

師：請(qǐng)大家在方格紙上表示出每位評(píng)委打的分?jǐn)?shù)。

師：你認(rèn)為1號(hào)選手的最終得分是多少？最終得分是什么意思？

生：就是1號(hào)選手最后獲得的分?jǐn)?shù)。

師：能隨便給嗎？

生：不能隨便給，要根據(jù)這5位評(píng)委打的分來給。

師：請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳蠈⒛阏J(rèn)為的得分用橫線畫出來。要能說明畫在這里的理由。

學(xué)生在方格紙上畫線。

師：有一位同學(xué)畫在10這里（如圖1），請(qǐng)說說你的理由。

生：我弄錯(cuò)了，我準(zhǔn)備把15分掉，結(jié)果分錯(cuò)了。

師：你為什么要把15分掉？

生：因?yàn)橛?位評(píng)委，要取綜合數(shù)，他們都一致才行。

師：這位同學(xué)想把15分掉。他畫在10這里，是否合適？為什么？

生：10分是這幾位評(píng)委給出的最低分，其他評(píng)委打的分都比10分高，它們綜合下來，不可能是10分。

師：還有一位同學(xué)畫在15這里，你們有什么要說的？

生：15分太高了。

師：通過剛才的討論，我們發(fā)現(xiàn)10分太低了，15分又太高了。我發(fā)現(xiàn)一位同學(xué)畫在13這里，請(qǐng)說說你的理由。

生：13差不多是它們的中間數(shù)。

師：要選1個(gè)不太大也不太小的數(shù)，這個(gè)感覺有道理。但我看到更多的同學(xué)畫在12這里，誰來說說自己的理由？

生：這里有2個(gè)12，所以我選了12。

師：哪些同學(xué)關(guān)注到了這里有2個(gè)12？你們覺得選12有沒有道理？有一半的同學(xué)和他的理由一樣，真好！有沒有同學(xué)選12的理由是不一樣的？

生：15比12多3，可以把3里面的1分給11，2分給10，這樣它們就都是12了。

師：誰聽懂了？我們一起來看圖2。15分1給11，分2給10，這樣就都變成了——

生：12。

師：認(rèn)為應(yīng)畫在12這里的同學(xué)，還有不一樣的理由嗎？

生：我把所有的分?jǐn)?shù)加起來，再除以5，等于12。

師：前面的同學(xué)是把多的數(shù)移過來，這位同學(xué)是算出來的，移的結(jié)果和算的結(jié)果是一樣的。這個(gè)12其實(shí)就是什么？

生：平均數(shù)。

師：平均數(shù)是怎么得到的？

生：第一種方法是把多的移給少的，第二種方法是先算出總數(shù)，再除以個(gè)數(shù)。

師：是的，求平均數(shù)時(shí)，可以移多補(bǔ)少，也可以先求和再均分，但都是把數(shù)變成一樣的。我們之所以選擇12，并不是因?yàn)樗瞧骄鶖?shù)，而是因?yàn)槲覀儼l(fā)現(xiàn)可以把這些數(shù)都變成12，這樣就可以代表所有的分?jǐn)?shù)。

【賞析】學(xué)生先嘗試在條形統(tǒng)計(jì)圖上畫橫線來表示最終得分，接著，在匯報(bào)和討論時(shí)借助統(tǒng)計(jì)圖的直觀、形象，討論最小數(shù)10、最大數(shù)15、中間數(shù)13等是否適合代表所有的數(shù)，逐步找出合適的代表量——變成大小一樣的數(shù)12，即平均數(shù)，最后體會(huì)選擇12并不是因?yàn)樗瞧骄鶖?shù)，而是因?yàn)檫@些數(shù)都可以變成一樣的數(shù)，從而可以用這個(gè)數(shù)代表所有的數(shù)。如此處理，改變以往學(xué)生簡(jiǎn)單套用平均數(shù)概念、就概念說概念的頑疾，注重有根有據(jù)地說理，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生真正理解平均數(shù)的意義。

2.層層推進(jìn)，理解代表。

教師出示任務(wù)2。

評(píng)委給2號(hào)選手打的分?jǐn)?shù)如表2所示：

師：你認(rèn)為2號(hào)選手的最終得分是多少？請(qǐng)說出理由。

生：我覺得14比較合適，因?yàn)橛?個(gè)14。

師：現(xiàn)在來看這幅圖（如圖3），14應(yīng)該畫在哪里？你有不同的想法嗎？

生：如果選14，相對(duì)11和12，分別相差3和2，所以14這條線太高了。

師：有道理。還有不同的想法嗎？

生：我覺得應(yīng)該選13。把評(píng)委打的分?jǐn)?shù)全部加起來，然后除以評(píng)委的人數(shù)，得出2號(hào)選手的平均分。

師：13還可以怎么得到呢？

生：用移多補(bǔ)少的方法求，結(jié)果也是13。

師：移多補(bǔ)少，現(xiàn)在要移誰？

生：移14，從1個(gè)14中拿出1給12，從另外2個(gè)14中各拿出1給11。

師：大家認(rèn)為現(xiàn)在比較合理，因?yàn)槎甲兂闪?3（如圖3）。我們回頭看一看，如果哪個(gè)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)多就選它，那么2號(hào)選手得14分。剛才同學(xué)們認(rèn)為這種方法不太公平、不太客觀，因?yàn)榻o2號(hào)選手打14分太高了。我們用平均數(shù)表示，移多補(bǔ)少，那5位評(píng)委給2號(hào)選手打的分?jǐn)?shù)都變成了13。為什么選13？5位評(píng)委打的分中可沒有出現(xiàn)13啊。

生：因?yàn)槲覀內(nèi)〉氖瞧骄鶖?shù)，就是所有的數(shù)加起來再除以5，這是最公平的方法。

師：雖然沒有評(píng)委打13分，但是綜合5位評(píng)委打的分?jǐn)?shù)之后，我們選擇了13。

【賞析】選擇1個(gè)數(shù)代表一組數(shù)時(shí)，即使選相同的數(shù)，理由也各不相同。通過辨析，學(xué)生感受到用出現(xiàn)次數(shù)多的數(shù)代表5位評(píng)委打的分?jǐn)?shù)不合適，用平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的整體水平更合適，同時(shí)初步理解平均數(shù)的虛擬性。

3.比較聯(lián)系，提升認(rèn)識(shí)。

教師出示任務(wù)3。

你覺得1號(hào)選手和2號(hào)選手誰的成績(jī)更好？

生：1號(hào)選手的最終得分是12分，2號(hào)選手的最終得分是13分。所以2號(hào)選手的成績(jī)更好。

師：12和13是怎么得來的？

生：平均得來的。

生：綜合之后，每位評(píng)委打的分一樣。

師：綜合考慮5位評(píng)委打的分，我們認(rèn)為2號(hào)選手的成績(jī)更好。在這個(gè)過程中，哪個(gè)數(shù)起重要作用？

生：平均數(shù)。

教師出示：平均數(shù)可以代表一組數(shù)的整體水平。

師：你們認(rèn)為這句話中哪些詞重要？

生：我覺得“一組數(shù)”重要。如果這些評(píng)委不是給同一個(gè)人打分，就不能用平均數(shù)代表。

生：我覺得應(yīng)該是“整體水平”。要用1個(gè)數(shù)代表一組數(shù)，肯定得公平，要考慮所有評(píng)委打的分。

生：“代表”很重要。

師：選手的分?jǐn)?shù)不能用5個(gè)數(shù)表示，只能用1個(gè)數(shù)代表。所以這節(jié)課的課題是“代表量和平均數(shù)”。前面講到5位評(píng)委打分更公平，需要用1個(gè)數(shù)代表這5位評(píng)委的打分情況，這就叫代表量。在這種情況下，平均數(shù)可以作為代表量。

【賞析】經(jīng)過對(duì)比分析，學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，由較為膚淺的描述到會(huì)用嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的數(shù)學(xué)語言表達(dá)。

（三）問題解決，深化理解。

1.以下是兩個(gè)小組數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)，哪個(gè)小組考得好？

第1組：94、80、97、98、100、95。

第2組：93、96、97、99、90。

學(xué)生先獨(dú)立完成，再同桌之間交流。

師：這兩組數(shù)據(jù)有什么不同？

生：人數(shù)不一樣。

師：人數(shù)不一樣能比嗎？怎么比呢？

生：可以比平均數(shù)或總數(shù)。

師：比總數(shù)可以嗎？為什么？

生：不可以。第1組人多，肯定第1組贏。

師：比平均數(shù)可以嗎？

生：可以。

師：為什么？

生：因?yàn)槠骄鶖?shù)代表一組數(shù)據(jù)的平均水平。

師：誰來匯報(bào)？

生：第1組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是94，第2組的平均數(shù)是95，所以第2組的成績(jī)更好。

師：第1組同學(xué)的平均分是94分，最重要的原因是——

生：有1位同學(xué)只得了80分。

師：其他人都要補(bǔ)給他，所以平均分就被拉低了。

【賞析】學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中，再次體會(huì)到用平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的整體水平是合適的，是公平的。同時(shí)通過對(duì)“80分”的討論，初步感受平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)的影響。

2.在上面的歌唱比賽中，多了1位評(píng)委打分（如表3），你覺得哪位選手的成績(jī)更好？

師：兩位選手的平均成績(jī)有沒有改變？怎么改變的？

生：1號(hào)選手的平均成績(jī)不變，前面5位評(píng)委打的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)是12，評(píng)委6打的分?jǐn)?shù)也是12。2號(hào)選手的平均成績(jī)會(huì)變低，因?yàn)樵u(píng)委6只打了1分，會(huì)把前面5位評(píng)委的平均分拉低。

師：對(duì)這樣的數(shù)據(jù)和結(jié)果，你有什么想說的？

生：評(píng)委6打的分很不公平，1分太低了。

生：我覺得評(píng)委6可能沒有偏見，只是覺得2號(hào)選手的表現(xiàn)不好，不符合自己的看法。

師：那么這件事情對(duì)誰是不公平的？

生：2號(hào)選手。

師：你們覺得怎么處理比較合理？

生：把1分這個(gè)極端分去掉。

師：我們知道平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的整體水平，但是每個(gè)數(shù)對(duì)其他數(shù)都會(huì)產(chǎn)生影響，特別是極端數(shù)據(jù)影響更大。所以我們有時(shí)會(huì)將少數(shù)極端數(shù)據(jù)去掉，只計(jì)算余下數(shù)據(jù)的平均數(shù)，以避免極端數(shù)據(jù)造成的不良影響。

師：回到剛才的題目（即數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)這道題），能不能把這兩個(gè)小組的最高分和最低分去掉再算平均分？

生：可以。

師：如果你是那個(gè)考80分的同學(xué)，直接把你的成績(jī)?nèi)サ?，你覺得可以嗎？

生：好像可以，第1組有1位同學(xué)只得了80分，這對(duì)他們不公平。

師：有不同的意見嗎？

生：不對(duì)！這個(gè)80分不可以去掉，因?yàn)檫@個(gè)分?jǐn)?shù)是真實(shí)的。

師：很好。這個(gè)分?jǐn)?shù)不是我們對(duì)這個(gè)人的看法，而是它已經(jīng)在那里了，就算再低，算平均分時(shí)也要把它算進(jìn)去。所以班里有的同學(xué)成績(jī)不太好，我們不能說“你會(huì)影響平均分，就不要來參加考試了”。

【賞析】這個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了兩道題，第1題要求比較人數(shù)不同的兩個(gè)小組的成績(jī)，學(xué)生可以進(jìn)一步感受平均數(shù)在特殊情況下的代表作用。第2題是在主情境里增加1位評(píng)委，突出極端數(shù)據(jù)的影響，學(xué)生從中可以理解去掉最高分和最低分這一規(guī)則的緣由。更進(jìn)一步，學(xué)生思考是否可以將班級(jí)同學(xué)的分?jǐn)?shù)去掉，思考數(shù)據(jù)在不同情境中的現(xiàn)實(shí)意義，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人。

二、對(duì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)教學(xué)的啟示

（一）聚焦統(tǒng)計(jì)量理解，發(fā)展數(shù)據(jù)意識(shí)。

統(tǒng)計(jì)量的教學(xué)，要從現(xiàn)實(shí)生活中的問題入手，運(yùn)用學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)情境，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生感受統(tǒng)計(jì)量對(duì)于問題解決的重要性[1]。平均數(shù)的教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)了合唱比賽中5位評(píng)委給不同選手打分的情境，通過“得分是多少”這個(gè)問題，引發(fā)學(xué)生意識(shí)到需要用1個(gè)數(shù)據(jù)代表一組數(shù)據(jù)的整體水平，以更好地體現(xiàn)平均數(shù)作為代表量的描述功能。

設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)，要考慮數(shù)據(jù)的大小、個(gè)數(shù)、分布等因素，為師生開展深度對(duì)話提供豐富的素材。例如，任務(wù)1中那組數(shù)據(jù)的平均數(shù)12在這組數(shù)據(jù)中，且與眾數(shù)相同，任務(wù)2中那組數(shù)據(jù)的平均數(shù)13與所有數(shù)據(jù)都不相同。這樣設(shè)計(jì)，體現(xiàn)出概念理解的不同層次。學(xué)生基于多樣的數(shù)據(jù)n8Sv83IeZzon/PHpmDVoOM2+rX60OHh9Ozxmu8ceTxU=和直觀圖，在關(guān)鍵問題“為什么可以用平均數(shù)表示”的引領(lǐng)下，在分析與比較中逐漸達(dá)成共識(shí)：我們之所以選擇12，并不是因?yàn)樗瞧骄鶖?shù)，而是因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)可以都變成12，這樣就可以代表所有的分?jǐn)?shù)，從而讀懂?dāng)?shù)據(jù)、理解數(shù)據(jù)，以此重新構(gòu)建平均數(shù)概念的意義，而不是千方百計(jì)地解釋現(xiàn)有概念[4]。這樣可以更好地幫助學(xué)生意識(shí)到用平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)整體水平的合理性，達(dá)到對(duì)平均數(shù)這一概念的意義建構(gòu)，體會(huì)統(tǒng)計(jì)量的意義和價(jià)值，發(fā)展數(shù)據(jù)意識(shí)。

（二）賦予數(shù)據(jù)現(xiàn)實(shí)意義，達(dá)成統(tǒng)計(jì)育人。

統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)建立在對(duì)數(shù)據(jù)的感悟之上，甚至是對(duì)一堆看似雜亂無章的數(shù)據(jù)的理解與表達(dá)?！澳愕玫搅四男┬畔?？”“為什么有5位評(píng)委呢？”經(jīng)過生生交流，冰冷的數(shù)據(jù)有了溫度和價(jià)值。“對(duì)這樣的數(shù)據(jù)和結(jié)果，你有什么想說的？”教師不斷追問，幫助學(xué)生理解情境，讀懂?dāng)?shù)據(jù)背后的信息，意識(shí)到在解決實(shí)際問題時(shí)平均數(shù)作為重要代表量的價(jià)值。

教師注重引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)據(jù)說理，學(xué)生結(jié)合選擇的數(shù)據(jù)，在說理的過程中，深刻理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。同時(shí)，學(xué)生在用數(shù)據(jù)解決問題的過程中，意識(shí)到要有依據(jù)地表達(dá)自己的想法，并認(rèn)識(shí)到平均數(shù)能代表一組數(shù)據(jù)整體水平的合理性與局限性。比如，在歌唱比賽中，可以去掉極端數(shù)據(jù)求得平均數(shù)，避免極端數(shù)據(jù)產(chǎn)生不良影響；而在同一小組不同學(xué)生成績(jī)的統(tǒng)計(jì)中，刪去極端數(shù)據(jù)是不合理的。學(xué)生在學(xué)習(xí)中，能夠從數(shù)據(jù)中獲得信息，并能體會(huì)數(shù)據(jù)背后的人文意義，真正達(dá)成統(tǒng)計(jì)育人。

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中，曹一鳴.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]劉加霞.“平均數(shù)”的本質(zhì)及小學(xué)生理解水平解析[J].湖北教育（教育教學(xué)），2021（2）.

[3]章勤瓊，達(dá)尼·本茲威.統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)：小學(xué)階段“統(tǒng)計(jì)教學(xué)”關(guān)注的重點(diǎn)[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2016（12）.

[4]史寧中，娜仁格日樂.小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的比及其教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（2）.

【本文系基金項(xiàng)目（福建德旺基礎(chǔ)教育研究院資助）——福建省教育科學(xué)規(guī)劃2022年基礎(chǔ)教育高質(zhì)量發(fā)展重點(diǎn)專項(xiàng)課題“高質(zhì)量發(fā)展視域下課堂教學(xué)的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系構(gòu)建研究”（編號(hào)：FJGHZD22-06）、2022年度廣東省教育研究院教育研究課題“基于表現(xiàn)性評(píng)價(jià)的小學(xué)數(shù)學(xué)精準(zhǔn)教學(xué)實(shí)踐的研究”（編號(hào)：GDJY-2022-M-b25）的研究成果】

（作者單位：章勤瓊，福建師范大學(xué)教育學(xué)院；劉賢虎、陽海林，廣東東莞市松山湖中心小學(xué)；王圣昌，清華大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校）