研究緣由

長(zhǎng)方體、正方體體積的計(jì)算，是學(xué)生形成體積概念、掌握體積的計(jì)量單位和計(jì)算各種幾何體體積的基礎(chǔ)。長(zhǎng)方體是小學(xué)階段第一次深入學(xué)習(xí)的立體圖形，如果對(duì)其體積計(jì)算公式過(guò)早地形式化，就會(huì)淡化學(xué)生對(duì)體積概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

在對(duì)學(xué)生進(jìn)行訪談時(shí)，發(fā)現(xiàn)在正式學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體的體積之前，一個(gè)班大約有三分之一左右的學(xué)生知道長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式是“長(zhǎng)×寬×高”，但僅僅知道這個(gè)事實(shí)，而不知道為何這樣計(jì)算。那么，如何讓學(xué)生了解長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式的來(lái)龍去脈，經(jīng)歷猜想、操作、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證的思考過(guò)程，把握體積度量的本質(zhì)呢？

為此，我們以“長(zhǎng)方體的體積”一課為例，以北師大版教材五年級(jí)下冊(cè)上的“情境和問(wèn)題串”為媒介，選擇了樣本學(xué)生30名，參與此次調(diào)研活動(dòng)。為了更好地了解學(xué)生的具體變化，我們共選擇了16位老師，每位老師負(fù)責(zé)觀察2名學(xué)生，記錄學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的表現(xiàn)，特別觀察：學(xué)生有困難的地方有哪些？教師提供了怎樣的學(xué)習(xí)支持？在這種支持下，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度如何？拉長(zhǎng)學(xué)生思考的路徑，對(duì)教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況是有一定幫助的。

案例片段一：三組比較圖真有用

教師出示教材上的問(wèn)題1：長(zhǎng)方形的面積與長(zhǎng)和寬有關(guān)，長(zhǎng)方體的體積可能與什么有關(guān)？先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后交流，并提示觀察教師關(guān)注學(xué)生的困難在哪里。

師：請(qǐng)大家想一想，長(zhǎng)方形的面積與長(zhǎng)和寬有關(guān)，長(zhǎng)方體的體積可能與什么有關(guān)？寫(xiě)一寫(xiě)，并與同伴交流。

這個(gè)問(wèn)題主要喚醒學(xué)生對(duì)相關(guān)舊知識(shí)的回憶，溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系，促進(jìn)新知識(shí)的學(xué)習(xí)，考查學(xué)生能否從計(jì)量面積經(jīng)驗(yàn)中產(chǎn)生正遷移，幫助學(xué)生建立起物體的體積就是看體積單位的數(shù)量的認(rèn)識(shí)。

在被調(diào)查的30名學(xué)生中，有6名認(rèn)為和長(zhǎng)方體的表面積有關(guān)；有4名不是太確定，一方面認(rèn)為和長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高有關(guān)，另一方面覺(jué)得把表面積、容積寫(xiě)出來(lái)比較保險(xiǎn)；有20名認(rèn)為長(zhǎng)方體的體積與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高有關(guān)。在基本交流統(tǒng)計(jì)后，老師拋出第二個(gè)問(wèn)題。

師：觀察下面各圖（如圖1），再想一想長(zhǎng)方體的體積可能與什么有關(guān)。寫(xiě)一寫(xiě)，并與同學(xué)交流。

學(xué)生自主觀察三組比較圖，并與觀察的老師進(jìn)行交流，而后進(jìn)行全班交流。

學(xué)生的描述主要有以下幾種。

（1）把圖①、圖②、圖③與原圖進(jìn)行比較，觀察長(zhǎng)、寬、高三個(gè)量誰(shuí)變了，誰(shuí)沒(méi)有變，體積是如何變化的。由此，得出長(zhǎng)方體的體積可能與長(zhǎng)、寬、高三個(gè)量都有關(guān)系（如圖2）。

（2）把圖①、圖②、圖③與原圖進(jìn)行比較時(shí)，描述出體積是原圖的幾分之幾。這個(gè)時(shí)候?qū)W生的思維不僅僅在于體積發(fā)生了變化，而且思考發(fā)生了什么樣的變化（如圖3）。

師：結(jié)合你的描述，說(shuō)說(shuō)你是怎么想的。

生：我覺(jué)得圖①與原來(lái)的長(zhǎng)方體相比，長(zhǎng)變短了，高和寬沒(méi)有變化，圖①的體積是原來(lái)的1/3。

師：圖①的體積為何是原來(lái)長(zhǎng)方體的1/3？

生：我大概目測(cè)了一下，覺(jué)得長(zhǎng)變短了，大概是原來(lái)的1/3。圖②是長(zhǎng)和寬變了，高沒(méi)有變，圖②的體積是原圖的1/2。

師：再仔細(xì)觀察一下，圖②的長(zhǎng)、寬、高與原圖相比，誰(shuí)發(fā)生了變化，誰(shuí)沒(méi)有變化？

生：（思考一小會(huì)兒）應(yīng)該是長(zhǎng)和高沒(méi)有變化，寬為原來(lái)的1/2，所以體積是原來(lái)的1/2。

師：你再描述一下圖③的變化。

生：就像我寫(xiě)的那樣，圖③的高變了，為原來(lái)的2/3，長(zhǎng)和寬沒(méi)有變，體積就是原來(lái)的2/3。所以，我覺(jué)得長(zhǎng)方體的體積與長(zhǎng)、寬、高都有關(guān)系。

（3）這一種（如圖4）代表了班級(jí)約1/5學(xué)生的思路，開(kāi)始的時(shí)候是看不懂圖的，在老師的引導(dǎo)下，理解了這幅圖是什么意思，從而解決了問(wèn)題。當(dāng)時(shí)在觀察老師的要求下，學(xué)生標(biāo)注出了“看不出來(lái)”字樣，表示開(kāi)始時(shí)是看不懂圖的。

師：這幅圖你能看懂嗎？你有什么困難？

生：我看不懂這幅圖是什么意思，不知道長(zhǎng)方體發(fā)生了什么樣的變化。

師：我們先來(lái)一起看圖①。圖①與原來(lái)的長(zhǎng)方體相比，發(fā)生了什么樣的變化？

生：我還是看不出來(lái)，這里的虛線表示什么？

師：這里的虛線表示減少的部分。

生：那我知道了，圖①的體積變小了。

師：我們要看一看，圖①的長(zhǎng)、寬、高與原來(lái)的長(zhǎng)方體相比，發(fā)生了怎樣的變化？

學(xué)生對(duì)比還是有困難，教師引導(dǎo)學(xué)生一一去對(duì)應(yīng)。

生：對(duì)應(yīng)著來(lái)看的話，長(zhǎng)變小了，高沒(méi)有變，寬也沒(méi)有變，所以體積變小了。

師：非常好的思路，根據(jù)剛才看圖的經(jīng)驗(yàn)，你再觀察一下圖②和圖③，與原來(lái)的長(zhǎng)方體相比，是如何變化的？

生：（思考一會(huì)兒）圖②是長(zhǎng)方體的寬變小了，體積變小了；圖③是長(zhǎng)方體的高變小了，體積變小了。

師：通過(guò)觀察這幅圖，你有什么感受？

生：（思考一會(huì)兒）我發(fā)現(xiàn)只要長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高其中一個(gè)發(fā)生變化，它的體積就會(huì)發(fā)生變化。所以我認(rèn)為，長(zhǎng)方體的體積與長(zhǎng)、寬、高一定有關(guān)系。

在調(diào)研中我們發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生看圖是有困難的，需要教師的指導(dǎo)。一旦圖①看懂了，圖②和圖③的問(wèn)題就迎刃而解了，對(duì)學(xué)生理解長(zhǎng)方體的體積與它的長(zhǎng)、寬、高有關(guān)有很大的幫助。

案例片段二：數(shù)一數(shù)的方法真不錯(cuò)

在用單位度量的學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)歷過(guò)長(zhǎng)度、面積單位的學(xué)習(xí)，數(shù)單位個(gè)數(shù)的方法，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生，但如何遷移到數(shù)體積單位的個(gè)數(shù)，鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)歷探究長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式的全過(guò)程呢？

借助教材問(wèn)題2的學(xué)習(xí)，我們希望在擺一擺、數(shù)一數(shù)的活動(dòng)中，學(xué)生能深入思考：數(shù)什么？數(shù)數(shù)能得到什么？數(shù)的過(guò)程中是否藏著規(guī)律？在不斷的思考和追問(wèn)中得出長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式，體會(huì)長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式的本質(zhì)：數(shù)“體積單位塊”的個(gè)數(shù)。這一探究的過(guò)程，與周長(zhǎng)、面積是一脈相承的。

師：在剛才的活動(dòng)中，我們猜想長(zhǎng)方體的體積可能與長(zhǎng)、寬、高有關(guān)，那么，具體是什么關(guān)系呢？你來(lái)猜一猜。

生：我知道長(zhǎng)方體的體積與長(zhǎng)、寬、高有關(guān)，但猜不出來(lái)是什么關(guān)系。

生：我覺(jué)得是相乘的關(guān)系，就是長(zhǎng)×寬×高，因?yàn)榍竺娣e就是相乘的關(guān)系。

生：但是求表面積的時(shí)候還要相加呢，不一定是相乘的關(guān)系吧。

……

在統(tǒng)計(jì)中，我們發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生不清楚具體的關(guān)系是什么，約有1/3（9名）的學(xué)生猜想是相乘的關(guān)系。

師：你認(rèn)為長(zhǎng)方體的體積是長(zhǎng)×寬×高，你是如何知道的？

生：我是猜的，我覺(jué)得求面積的時(shí)候是相乘的關(guān)系，求體積也是相乘的關(guān)系。

生：我在課外班學(xué)習(xí)的。

生：我看書(shū)了，書(shū)上是這樣寫(xiě)的。

師：你知道為什么長(zhǎng)方體的體積是長(zhǎng)×寬×高嗎？

生：不知道，課外班老師說(shuō)記住長(zhǎng)方體的體積是長(zhǎng)×寬×高就行了。

生：我看不太明白，為何是相乘的關(guān)系？

……

在對(duì)這9名學(xué)生進(jìn)行訪談的過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)雖然學(xué)生知道長(zhǎng)方體的體積是長(zhǎng)、寬、高三者相乘，只知道“事實(shí)”，卻不明白原因，這就回到了我們研究這個(gè)問(wèn)題的緣由，如何在探究長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式的活動(dòng)中，激發(fā)學(xué)生真正思考，鼓勵(lì)學(xué)生探究長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式的來(lái)龍去脈，理解其本質(zhì)，顯得尤為重要。所以，我們認(rèn)為借助棱長(zhǎng)是1cm的小正方體擺一擺、數(shù)一數(shù)，體會(huì)長(zhǎng)方體的體積就是數(shù)“體積單位塊”的個(gè)數(shù)這個(gè)過(guò)程很有必要。

為此，我們給學(xué)生近10分鐘的時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生用一些相同的小正方體（棱長(zhǎng)為1㎝）擺出3個(gè)不同的長(zhǎng)方體，記錄它們的長(zhǎng)、寬、高，完成下表（如圖5），驗(yàn)證自己的猜想。

我們?yōu)閷W(xué)生提供了近40個(gè)棱長(zhǎng)為1㎝的小正方體，拼擺的時(shí)候?qū)W生自主選擇使用的小正方體的個(gè)數(shù)。在調(diào)研時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生拼擺的第一個(gè)選擇是長(zhǎng)3、寬1、高2，得出拼擺圖形的小正方體數(shù)量為6個(gè)，體積也是6，認(rèn)為長(zhǎng)、寬、高是相加的關(guān)系，而后又進(jìn)行調(diào)整（如圖5）。

從圖中我們還發(fā)現(xiàn)，這個(gè)學(xué)生拼擺的第三個(gè)長(zhǎng)方體與第一個(gè)是一致的，在觀察教師的引導(dǎo)下，該生進(jìn)行了修改，并且認(rèn)為拼擺一個(gè)比較大的長(zhǎng)方體，可能更容易發(fā)現(xiàn)拼擺的長(zhǎng)方體中隱藏著的規(guī)律。

我們?cè)賮?lái)看下面這名學(xué)生的作品（如圖6），這個(gè)學(xué)生的作品代表了班級(jí)部分學(xué)生的想法，他認(rèn)為拼擺的時(shí)候不要有1的出現(xiàn)，更有利于發(fā)現(xiàn)隱藏的規(guī)律。

由此，他在描述拼擺出的長(zhǎng)方體中隱藏的規(guī)律時(shí)，是這樣描述的（如圖7）。并由此得出長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高。

那么，在拼擺的過(guò)程中，學(xué)生的表現(xiàn)如何呢？我們針對(duì)每名學(xué)生的作業(yè)及觀察教師的觀察記錄，進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表1。

從統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)中我們發(fā)現(xiàn)，90%的學(xué)生能借助工具進(jìn)行拼擺，并正確填寫(xiě)拼擺的長(zhǎng)方體用到的小正方體的數(shù)量，及體積是多少，并嘗試尋找它們之間的聯(lián)系，其中共22人能從中發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體體積為長(zhǎng)×寬×高，約占73.3%。

有趣的是，在討論“你認(rèn)為所有的長(zhǎng)方體的體積都可以這樣計(jì)算嗎”這個(gè)問(wèn)題時(shí)，1名學(xué)生無(wú)法表達(dá)自己的想法，5名學(xué)生認(rèn)為正方體是特殊的長(zhǎng)方體，不一定適用長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式。25名學(xué)生認(rèn)為是可行的，且想法豐富，并且能借助前面拼擺的過(guò)程解釋為何可行。

師：你認(rèn)為所有的長(zhǎng)方體的體積都可以這樣計(jì)算嗎？

生1：我認(rèn)為是的，通過(guò)舉例子發(fā)現(xiàn)是可行的。

生2：因?yàn)殚L(zhǎng)方體的形狀都是一樣的，只是長(zhǎng)、寬、高不同而已，所以都可以用長(zhǎng)×寬×高來(lái)計(jì)算。

生3：我覺(jué)得可以，因?yàn)殚L(zhǎng)×寬算的是底層的正方體個(gè)數(shù)，再乘高就是算了幾層的正方體個(gè)數(shù)，也就是長(zhǎng)方體的體積。

生4：我同意生3的意見(jiàn)，因?yàn)殚L(zhǎng)×寬就是一個(gè)面，高就像是這樣的幾層，幾個(gè)這樣的面疊在一起就是體積了，所以都可以用長(zhǎng)×寬×高進(jìn)行計(jì)算。如圖8一樣，5×2算的是最下面的一層，有這樣的3層就是5×2×3=30，30就是這個(gè)長(zhǎng)方體的體積。

生5：所有的長(zhǎng)方體的體積都可以分割成組成的它的小正方體的數(shù)量，這樣就可以用長(zhǎng)×寬×高來(lái)計(jì)算，就如圖8一樣。

……

在不斷的交流分享中，借助拼擺長(zhǎng)方體的活動(dòng)，學(xué)生慢慢理解了長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式的基本推導(dǎo)過(guò)程，并能舉例做出解釋。在此過(guò)程中，學(xué)生感受到“數(shù)數(shù)法”是最基本的方法，不僅鞏固了公式，又培養(yǎng)了推理能力，感受到數(shù)學(xué)是講道理的。

在討論中，自然而然地推進(jìn)了學(xué)生對(duì)正方體體積計(jì)算公式的學(xué)習(xí)和思考，得到正方體是特殊的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高三者相等，所以正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)=棱長(zhǎng)3，用字母表示就是a3。

【本文系2022年度河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項(xiàng)目“基于‘問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)習(xí)’的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐研究”（編號(hào)：JCJYC2204zy002）的研究成果之一】

（作者單位：河南省第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)小學(xué)部）