一、設計思考

“三角形三邊關系”這節(jié)課研究的是三角形三條邊長度之間的關系，它是三角形特征教學中的一項重要內(nèi)容，人教版教材安排在四年級下冊。本課教學主要從以下兩個方面開展了新的探索。

根據(jù)“兩點之間線段最短”這一基本事實進行推理，得出三角形三條邊長度之間的關系。

教材安排學生通過操作實驗來探索“三角形三邊關系”。如人教版教材，要求學生剪出4組不同長度的紙條（如圖1，教學實踐中，通常由教師直接給學生提供剪好的小棒），通過動手圍三角形，發(fā)現(xiàn)有的能圍成三角形，有的不能。然后聚焦“為什么圍不成”，通過交流和討論，得出當“較短兩邊之和小于第三邊”時，無法圍成三角形。在此基礎上，揭示三角形三條邊長度之間的關系“任意兩邊之和大于第三邊”。

上述教學中，有兩個問題常常讓老師們感到困惑。一是通過操作實驗，學生得出的結論只能是“較短兩邊之和大于第三邊”，離“任意兩邊之和大于第三邊”雖僅一步之遙，但很難跨越。二是對“4、5、9”這組紙條，不少學生通過操作實驗會認為能圍成三角形，正因“眼見為實”，學生對“兩邊之和等于第三邊”時能不能圍成三角形心存疑惑，成為教學難點。

如何解決上述教學中的問題呢？對此，2022年版課標提出了新的教學思路和要求：經(jīng)歷根據(jù)“兩點間線段最短”的基本事實說明三角形三邊關系的過程，形成推理意識。本節(jié)課教學中，我嘗試基于“兩點間線段最短”這一基本事實，引導學生通過推理得出三邊關系。教學時，先創(chuàng)設情境，讓學生感悟到“兩點之間線段最短”；接著引導學生聯(lián)系這一基本事實，研究三角形三條邊長度之間的關系，通過推理得出“任意兩邊之和大于第三邊”這一規(guī)律。在這一過程中，培養(yǎng)和發(fā)展學生的推理意識。

借助圓規(guī)畫指定邊長的三角形，理解為什么“較短兩邊之和小于（或等于）第三邊”時，不能圍成三角形。

在基于“兩點之間線段最短”推理得出三邊關系后，引導學生判斷給出的三條線段能否圍成三角形。接著要讓學生“眼見為實”，讓學生嘗試用直尺畫出指定邊長的三角形，在學生發(fā)現(xiàn)“用直尺畫指定邊長的三角形較為困難”時，教師再引導學生借助圓規(guī)來畫。這也是2022年版課標的新要求：要引導學生經(jīng)歷基于給定線段用直尺和圓規(guī)畫三角形的過程，探索三角形任意兩邊之和大于第三邊。最后，讓學生畫一畫“較短兩邊之和小于（或等于）第三邊”的情況，發(fā)現(xiàn)都無法找到三角形的第三個頂點（兩條弧沒有交點，或交點落在原線段上），從而確認不能圍成三角形。在這一過程中，借助想象和操作，培養(yǎng)和發(fā)展學生的幾何直觀。

二、教學實踐

（一）情境導入，感悟“兩點之間線段最短”。

1.課件呈現(xiàn)問題情境：圖2中的直線表示一條小河，點A、B表示兩個村莊。在何處架橋才能使A村到B村的路程最短？（在黑板上畫下圖2）

（1）先讓學生獨立思考、想象，然后指名學生在黑板上畫出路程最短的路線。

生：連接A、B之間的線段，在交點處架橋。

（2）教師質疑：一定要在這個交點處架橋嗎？往上移一點行不行？為什么？

生：你這樣彎折一下，肯定要長一些。

生：雖然點A到橋的距離近了，但點B到橋的距離遠了很多。

師：你們的意思是這兩條線段之和，比這條線段長。（教師板書：兩點之間線段最短）

2.課件呈現(xiàn)現(xiàn)實生活中的例子（如圖3），進一步引導學生認識到“兩點之間線段最短”。

（1）呈現(xiàn)小明上學的情境，判斷“小明上學走哪條路最近”。

（2）呈現(xiàn)小狗吃肉骨頭的情境，想一想“小狗看到肉骨頭會怎樣做”。

通過這個情境讓學生明白“兩點之間線段最短”這個道理“連小狗都知道”，這是一個“基本事實”（補充板書）。

（二）展開探究，掌握“三角形三邊關系”。

1.揭示課題。

師：借助這個基本事實，我們可以來研究三角形的有關知識（板書課題：三角形三條邊長度之間的關系）。

2.要求學生任意畫一個三角形，并用a、b、c分別表示三條邊的長度。

3.課件呈現(xiàn)研究步驟和要求，并組織探究：聯(lián)系“兩點之間線段最短”這一基本事實，研究三條邊長度之間的關系。

（1）獨立探究后組織開展四人小組交流。

（2）組織全班反饋交流。

生：在我畫的這個三角形中，c是最長的邊。

師：在所有同學畫的三角形中，c都是最長的邊嗎？（生：不是）看來這不是一個規(guī)律。

生：我畫的是一個等腰三角形，a和b的長度相等。

師：在所有同學畫的三角形中，a和b的長度都相等嗎？（生：不是）看來這也不是一個規(guī)律。

生：我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是三角形較短兩條邊加起來，比最長的那條邊長。

師：你們覺得這是一個規(guī)律嗎？

生：是一個規(guī)律，所有三角形較短兩條邊加起來，都比最長的那條邊長。

師：如果我們把a和b看作較短兩條邊，為什么能確定（a＋b）一定大于c？

生：因為剛才我們已經(jīng)知道了“兩點之間線段最短”，（a＋b）相當于彎了一下，肯定比直著過去要長。

師：（指著架橋的情境圖）如果我們把最長的這條邊看作c，根據(jù)“兩點之間線段最短”，不用測量，就能確定（a＋b）一定大于c。

師：a和b不一定是較短兩邊，而是任意兩邊，我們也能確定（a＋b）一定大于c嗎？

生：也能確定。因為只要彎了一下，都會比直著走長。

生：兩條較短的邊加起來都比最長的長了，如果a和b里面有一條是最長的邊，那么（a＋b）一定大于c。

教師板書：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

4.運用規(guī)律。

師：知道了“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這個規(guī)律，有什么用呢？

課件呈現(xiàn)：判斷下面每組中三條線段（如圖4，單位：cm）能否圍成三角形。

（1）獨立思考，判斷并思考判斷理由。

（2）反饋。

生：8、5、2不能圍成三角形，因為5＋2＜8。

生：8、5、3不能圍成三角形，因為5＋3＝8。

生：8、5、4能圍成三角形，因為5＋4＞8。

生：8、5、4能圍成三角形，因為5＋4＞8，5＋8＞4，4＋8＞5。

師：第三組，有同學認為只要寫一個算式就能確定能否圍成，也有同學認為應該寫三個。大家認為該寫幾個呢？

生5：寫一個就夠了。只要把較短的兩條邊加起來，和大于第三條邊，就能確定“任意兩邊之和大于第三邊”了。

師：看來，在判斷時，我們只要看是不是“較短兩邊之和＞第三邊”（板書）就可以了。

5.畫三角形。

（1）師：8、5、4真的能圍成三角形嗎？你們能把這個三角形畫出來嗎？

學生嘗試畫三角形，發(fā)現(xiàn)只用刻度尺很難畫準確。

（2）反饋。

師：很多同學在畫的時候遇到困難了，說說困難是什么。

生：我先畫了一條8厘米長的線段，再畫一條5厘米長的線段后，發(fā)現(xiàn)第三條線段太長了。我往下壓了點，發(fā)現(xiàn)還是太長了。又往下壓了點，發(fā)現(xiàn)又太短了。

師：我們來梳理一下這個同學遇到的困難，先畫一條8厘米長的線段，這沒有困難；再畫一條5厘米長的線段，這也沒有困難。但將這兩條線段的端點連起來形成的第三條線段要正好是4厘米，很不容易。

（3）師：看來只用直尺，要快速、準確地畫出指定邊長的三角形，有很大困難。你們想到什么好辦法了嗎？

生：是不是可以用圓規(guī)（課前讓學生準備了圓規(guī)）？

師：對??！可以借助圓規(guī)來畫。請大家想一想、試一試。

學生嘗試，教師巡視發(fā)現(xiàn)多數(shù)學生不能想到畫法。

（4）師：怎樣用圓規(guī)畫三角形呢？讓我們來看一個微課視頻，你能看懂畫法嗎？

播放微課視頻，呈現(xiàn)用圓規(guī)畫指定邊長三角形的方法：先畫一條8厘米長的線段；接著把圓規(guī)兩腳間的距離調(diào)整為5厘米，畫出一條弧；再把圓規(guī)兩腳間的距離調(diào)整為4厘米，畫出另一條弧，使兩條弧有一個交點；最后連接成一個三角形。

（5）學生練習用圓規(guī)畫三角形。

（6）引導提問：成功畫出三角形后，你們還有什么疑問嗎？

生：為什么找到了這兩條弧的交點，就能畫出三角形呢？

生：因為這個交點與左邊端點的距離是5厘米，與右邊端點的距離是4厘米。（教師用課件演示支撐學生理解）

（7）用圓規(guī)畫第一組和第二組線段，思考這兩組線段為什么不能圍成三角形。

學生先嘗試畫，畫完交流。

生：8、5、2這三條線段，兩條弧沒有交點，所以不能圍成三角形。

生：8、5、3這三條線段，兩條弧的交點就在8厘米這條線段上，所以也不能圍成三角形。

（三）應用拓展。

1.教師提出問題：8、5、2和8、5、3都不能圍成三角形，8、5、4能圍成三角形。4換成幾，也能圍成三角形？長度都取整厘米數(shù)。

教師板書：8，5，（ ）。學生獨立思考，寫出答案后，教師指名口答。

生：5、6、7、8、9、10、11、12，都行。

師：換成13厘米為什么就不行了？

生：因為5＋8＝13。

生：如果用圓規(guī)來畫，兩條弧的交點在13厘米這條線段上了。

2.教師提出問題：4換成5、6、7、8、9、10、11、12后，三角形的形狀會發(fā)生怎樣的變化呢？

學生想象后，教師用課件呈現(xiàn)圖5。

（四）課堂總結。

師：我們一起來回顧這節(jié)課學了什么（課件依次呈現(xiàn)，如圖6）。

師：你有什么收獲呢？

生：我知道了“兩點之間線段最短”這個基本事實。

生：我知道了“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這個規(guī)律。

生：我學會了判斷一組線段能否圍成三角形的方法，只要看較短兩邊之和是否大于第三邊就可以了。

生：我還學會了如何用圓規(guī)畫指定邊長的三角形。

三、課后反思

2022年版課標明確了核心素養(yǎng)的構成，提出要讓學生“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”。本節(jié)課教學聚焦推理意識和幾何直觀這兩個小學階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間觀念。

通過教學，引導學生知道可以從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結論，從而逐步形成推理意識。教學中，教師先創(chuàng)設情境，引導學生感知數(shù)學基本事實“兩點之間線段最短”，然后組織學生通過觀察、討論、交流，推理得出三角形三條邊長度之間的關系。接著引導學生運用三角形的三邊關系，判斷幾組線段能否圍成三角形，并準確表述判斷的理由，知道判斷時只要看“較短兩邊之和是否大于第三邊”。實踐證明，這樣教學能讓學生通過推理得出數(shù)學規(guī)律，而不是操作。這樣教學有助于學生養(yǎng)成講道理、有條理的思維習慣，增強交流能力，發(fā)展推理意識，為形成推理能力打下經(jīng)驗基礎。

通過教學，提升學生的幾何直觀水平。教學中，教師引導學生借助圓規(guī)和直尺畫出指定邊長的三角形，由數(shù)到形，數(shù)形結合，不但讓學生能直觀看到三角形的形狀、大小，而且讓學生深度思考“為什么兩條弧的交點”就是三角形的第三個頂點，從而理解用圓規(guī)畫弧的數(shù)學原理，有利于學生把握問題的本質，明晰思維的路徑，培養(yǎng)和發(fā)展空間觀念。在借助圓規(guī)畫三角形的過程中，讓學生進一步理解了為什么較短兩邊之和小于或等于第三邊時，不能圍成三角形：兩條弧沒有交點或交點在第三條線段上，從而更加直觀、深刻地理解了三角形三邊關系的本質。

（作者單位：浙江嘉興教育學院）