教學(xué)內(nèi)容：

北師大版教材六年級(jí)下冊(cè)第39～44頁(yè)。

教學(xué)過(guò)程：

一、自主探究，整體感知兩個(gè)變量之間的關(guān)系

師：在大自然和日常生活中有很多變化的量，有時(shí)候，一個(gè)量會(huì)隨著另一個(gè)量的變化而變化。下面的圖表中都存在著兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，請(qǐng)你試著完成“學(xué)習(xí)任務(wù)”。

出示學(xué)習(xí)任務(wù)：

1.填一填：觀察下面的表格和圖，想一想，每組中的兩個(gè)量是怎樣變化的？在這兩個(gè)量的變化過(guò)程中什么是保持不變的？（若沒(méi)有“不變的量”，就填“無(wú)”）

2.比一比：每組中兩個(gè)量的變化情況有什么相同點(diǎn)？有什么不同點(diǎn)？

①文具店有一種12星座盲盒中性筆，銷售的數(shù)量與總價(jià)的關(guān)系如表1：

觀察上表可以發(fā)現(xiàn)，銷售的數(shù)量與（ ）是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，銷售數(shù)量增加，總價(jià)也隨著（ ）；在變化過(guò)程中，（ ）保持不變。

觀察圖1可以發(fā)現(xiàn)，妞妞6歲前的年齡和（ ）是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，年齡增加，（ ）也隨著（ ）；在變化過(guò)程中，（ ）保持不變。

觀察圖2可以發(fā)現(xiàn)，月份和（ ）是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，（ ）隨著月份的變化而變化，在變化過(guò)程中，（ ）保持不變。

④奇思讀一本80頁(yè)的書，已讀頁(yè)數(shù)與剩下的頁(yè)數(shù)的情況如表2：

觀察表2，表中（ ）和（ ）是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，隨著（ ）的增加，剩下的頁(yè)數(shù)也隨著（ ）；在變化過(guò)程中，（ ）保持不變。

二、分類討論，認(rèn)識(shí)成正比例的量

1.小組討論學(xué)習(xí)單內(nèi)容，然后全班交流。

生1：表1中銷售的數(shù)量與總價(jià)是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，銷售數(shù)量增加，總價(jià)也隨著增加。我發(fā)現(xiàn)4÷1=4，8÷2=4，12÷3=4……總價(jià)除以數(shù)量的商都等于4。

師：隨著銷售數(shù)量的增加，總價(jià)也增加，也就是說(shuō)數(shù)量與總價(jià)的變化方向相同，我們可以用箭頭表示這種變化特點(diǎn)。（板書：[↑][ ↑]）總價(jià)÷數(shù)量的商不變，也就是總價(jià)和數(shù)量的比值保持不變，可以把這個(gè)關(guān)系表示為[總價(jià)數(shù)量 =]4（板書），這個(gè)比值4的含義是什么呀？

生1：?jiǎn)蝺r(jià)。

生2：看圖1，妞妞6歲前的年齡和體重是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，體重隨著年齡的變化而變化，年齡增加，體重也隨著增加。

師：也就是說(shuō)體重和年齡的變化方向也是相同的。（板書：[↑][ ↑]）在變化過(guò)程中有沒(méi)有保持不變的量？

生2：沒(méi)有不變的量。

生3：圖2中平均氣溫和月份是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，平均氣溫隨著月份的變化而變化，在變化過(guò)程中也沒(méi)有不變的量。

師：平均氣溫隨著月份的變化是怎樣變化的？

生3：月份增加，平均氣溫先升高再降低。

師：平均氣溫和月份的變化方向先相同后相反。（板書：[↑] ）在變化中沒(méi)有保持不變的量。

生4：表2中剩下的頁(yè)數(shù)和已讀的頁(yè)數(shù)是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，隨著已讀頁(yè)數(shù)的增加，剩下的頁(yè)數(shù)隨著減少。

生：剩下的頁(yè)數(shù)和已讀的頁(yè)數(shù)的變化方向相反，不論兩個(gè)量怎么變化，剩下的頁(yè)數(shù)與已讀頁(yè)數(shù)的和是不變的。（板書：[↑↓]）

師：比較這幾組變量，它們有什么相同的地方？

生：都是一個(gè)量變化，另一個(gè)量也隨著變化。

師：一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，這樣的兩個(gè)量叫作相關(guān)聯(lián)的量（板書：兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量），它們又有什么不同點(diǎn)呢？

生：表1和圖1中兩個(gè)變量的變化方向相同，表2中兩個(gè)變量的變化方向相反，圖2中兩個(gè)變量的變化方向先相同后相反。

生：表1中兩個(gè)變量的比值不變，表2中兩個(gè)變量的和不變，圖1和圖2中沒(méi)有不變的量。

師歸納：像表1中數(shù)量和總價(jià)這樣的兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，數(shù)量增加，總價(jià)也隨著增加，而且總價(jià)與數(shù)量的比值（也就是單價(jià)）保持不變，可以把這種關(guān)系表示為[總價(jià)數(shù)量=單價(jià)（不變）]，總價(jià)和數(shù)量就叫作成正比例的量，它們的關(guān)系叫作正比例關(guān)系。

師：如果用x、y表示兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，成正比例關(guān)系可以怎樣表示？

隨著學(xué)生回答，教師小結(jié)并板書：[yx=k][（k≠0）]，y和x為成正比例的量。

【思考】聚焦具體情境，在比較相同點(diǎn)和不同點(diǎn)的過(guò)程中，需要對(duì)這4組變量的變化關(guān)系進(jìn)行尋找、描述和整體審視。通過(guò)討論交流進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)兩個(gè)量的變化規(guī)律——變化中含有“比值不變”，這是成正比例關(guān)系概念建立的關(guān)鍵。

2.選一選：下列表格中的兩個(gè)變量成正比例關(guān)系的是（ ）。

生：表5中的兩個(gè)量成正比例關(guān)系，因?yàn)閇901]=[1802]=[2703]=90，比值不變。

課件顯示：將表5中的x和y分別替換為“時(shí)間/h”和“路程/km”。（如表6）

師：路程和時(shí)間是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，時(shí)間增加，路程也隨著增加，而且[路程時(shí)間]=90（一定），路程和時(shí)間是成正比例的量。這里的90表示什么含義呢？

生：速度。

課件顯示：將表3中的x和y分別替換為“正方形的邊長(zhǎng)/cm”和“面積/cm2”。

師：正方形的邊長(zhǎng)和面積是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，邊長(zhǎng)增加，面積也隨著增加。但是，[正方形的面積邊長(zhǎng)]=邊長(zhǎng)，比值不確定，所以它們不成正比例。

課件顯示：將表4中的x和y替換為“淘氣的年齡/歲”和“媽媽的年齡/歲”。

師：淘氣的年齡和媽媽的年齡是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，但是它們是“年齡差一定”，并不是“比值一定”，所以也不成正比例。

師：回顧一下，我們是怎樣判斷兩個(gè)量成正比例關(guān)系的？

師生共同歸納：一看（兩個(gè)量是否相關(guān)聯(lián)），二算（是否比值不變），三判斷（是否成正比例關(guān)系）。

【思考】?jī)H僅記住概念是不夠的，唯有運(yùn)用概念解決問(wèn)題才能對(duì)概念的本質(zhì)理解得更加透徹。正例有利于豐富概念的內(nèi)涵，讓成正比例關(guān)系的數(shù)學(xué)模型回歸現(xiàn)實(shí)原型，加深對(duì)成正比例關(guān)系概念的認(rèn)識(shí)；而典型反例的恰當(dāng)提供，以反襯正，以反激正，有利于凸顯成正比例的量的特征，進(jìn)一步明晰概念。

三、數(shù)形結(jié)合，認(rèn)識(shí)成正比例關(guān)系的圖象

1.比較辨析，猜想成正比例關(guān)系的圖象特征。

師：仔細(xì)觀察，下面哪幅圖能表示路程和時(shí)間成正比例關(guān)系？

生：因?yàn)闀r(shí)間增加，行駛的路程也會(huì)隨著一直增加，不會(huì)是時(shí)間增加，路程卻不變，除非是車壞了（眾生笑），也不會(huì)是先增加后減少，應(yīng)該選圖4。

師：怎樣驗(yàn)證我們的想法？

生：可以把圖畫出來(lái)看看。

2.驗(yàn)證猜想，根據(jù)數(shù)據(jù)畫出成正比例關(guān)系的圖象。

師：先根據(jù)表6中的數(shù)據(jù)描點(diǎn)，再順次連接各點(diǎn)驗(yàn)證我們的猜想。

學(xué)生獨(dú)立描點(diǎn)、連線，畫出成正比例關(guān)系的圖象，教師巡視指導(dǎo)。

師：果然是圖4正確。觀察成正比例關(guān)系的圖象，你發(fā)現(xiàn)它有什么特點(diǎn)？

生：所有的點(diǎn)都在一條直線上。

師：是的，成正比例關(guān)系的圖象是一條直線（板書），直線上的每一個(gè)點(diǎn)都可以找到相對(duì)應(yīng)的時(shí)間和路程。

3.分析圖象，在解決問(wèn)題中深化理解。

師：淘氣認(rèn)為點(diǎn)（6，540）也在這條直線上，他說(shuō)的話對(duì)嗎？為什么？

生：對(duì)，因?yàn)閇5406]=90，所以在這條直線上。

師：這一點(diǎn)表示什么含義？

生：表示6小時(shí)行駛了540千米。

師：不計(jì)算，根據(jù)圖象判斷，如果行駛4小時(shí)，行駛了多少千米？

生：行駛了360千米。

師：從圖象中可以看出，對(duì)于時(shí)間變量中的每一個(gè)數(shù)，在路程變量中都有一個(gè)數(shù)與它相對(duì)應(yīng)，時(shí)間發(fā)生變化，路程也隨之發(fā)生變化，但它們的比值是不變的。

【思考】數(shù)形結(jié)合，利用直觀圖象解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，促使學(xué)生對(duì)成正比例關(guān)系形成形象鮮明的表象，發(fā)展幾何直觀，感悟函數(shù)思想。

四、課堂總結(jié)（略）

（作者單位：北京亦莊實(shí)驗(yàn)小學(xué)）