【課前思考】

在古埃及，將一切分?jǐn)?shù)拆分為分子是1的分?jǐn)?shù)（2/3是例外。古埃及人為何承認(rèn)2/3至今仍是“千古之謎”），后人將分子是1的分?jǐn)?shù)稱為埃及分?jǐn)?shù)（或單位分?jǐn)?shù)、單分?jǐn)?shù)）。例如，萊茵德（H.Rhind）紙草書首先用相當(dāng)大的篇幅，用表格形式寫出2/n型分?jǐn)?shù)（分母為從5到101的奇數(shù)）分解成單位分?jǐn)?shù)的結(jié)果（沒有加號(hào)，從上下文可以看出加的含義）[1]，例如，2/29=1/24+1/58+1/174+1/232。利用這張表，可把7/29這樣的分?jǐn)?shù)表達(dá)成單位分?jǐn)?shù)之和，例如，7/29=1/6+1/24+1/58+1/87+1/232。古埃及人利用單位分?jǐn)?shù)就可以對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行四則計(jì)算，但如此之繁復(fù)導(dǎo)致他們未能把算術(shù)和代數(shù)發(fā)展到高水平[2]?？此品彪s、笨拙的分解方法卻吸引了很多數(shù)學(xué)家進(jìn)一步探究，例如，斐波那契運(yùn)用貪心法（每次平均分得到最大分?jǐn)?shù)，貪心法也是現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)中的一種算法）能將任意一個(gè)分?jǐn)?shù)拆分為埃及分?jǐn)?shù)但沒有證明，直到1880年英國(guó)數(shù)學(xué)家西爾維斯特首次嚴(yán)格證明了貪心法的正確性。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中也有很多老師從“如何將某些特殊分?jǐn)?shù)分解為埃及分?jǐn)?shù)之和”的角度設(shè)計(jì)了有趣的學(xué)習(xí)活動(dòng)，初步培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維或探究發(fā)現(xiàn)能力[3-4]。事實(shí)上，如何將一個(gè)分?jǐn)?shù)分解為埃及分?jǐn)?shù)對(duì)很多學(xué)生來說都有難度：一方面直接分解就有困難，另一方面有的分?jǐn)?shù)有不同的分解方法，再探究發(fā)現(xiàn)其規(guī)律更難。例如，筆者花了半天時(shí)間試圖根據(jù)2/29的埃及分解式推導(dǎo)出7/29的如上分解式，但未能成功，但筆者利用貪心法，很容易就找到7/29=1/5+1/29+1/145。除此之外，埃及分?jǐn)?shù)還有哪些現(xiàn)代育人價(jià)值呢？如何用好貪心法呢？

進(jìn)一步查閱資料以及學(xué)習(xí)2022年版課標(biāo)，我們找到了答案——利用埃及分?jǐn)?shù)凸顯分?jǐn)?shù)單位的價(jià)值。2022年版課標(biāo)的一大特點(diǎn)是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程的整體性與發(fā)展性。整體性主要表現(xiàn)為“一致性、結(jié)構(gòu)性”，例如，強(qiáng)調(diào)“數(shù)與運(yùn)算的一致性”，其核心是計(jì)數(shù)單位。利用埃及分?jǐn)?shù)感悟分?jǐn)?shù)單位的價(jià)值有助于落實(shí)“把握數(shù)概念的一致性”這一目標(biāo)，計(jì)數(shù)單位是理解數(shù)的意義、提高運(yùn)算能力的根本。

再進(jìn)一步思考可知，這種不同體現(xiàn)在兩種不同分物過程中：一曰現(xiàn)代分法，二曰古埃及分法。例如，將3個(gè)面包平均分給4個(gè)人，現(xiàn)代分法是“將1個(gè)面包平均分4份，每人獲得1/4個(gè)；重復(fù)2次，每人獲得3個(gè)1/4，也就是3/4個(gè)面包”（當(dāng)然，“更現(xiàn)代”的分法是將3個(gè)面包作為整體“1”）。古埃及人的分物思路有其“更現(xiàn)實(shí)”的一面：每次分到“最大塊”；將剩余的繼續(xù)分，但每次仍得到最大塊；如此繼續(xù)下去。顯然，古埃及人每次得到的是最大的分?jǐn)?shù)（單位）。因此，雖然“單位分?jǐn)?shù)”與“分?jǐn)?shù)單位”的形式相同但功能不同：埃及分?jǐn)?shù)雖然也具有“計(jì)量單位”的價(jià)值，但只計(jì)量一次；而后者可以“計(jì)數(shù)、計(jì)量”多次，從而能產(chǎn)生所有的分?jǐn)?shù)。

認(rèn)識(shí)到這兩種分法都能在直觀分物的活動(dòng)中認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位、感知分?jǐn)?shù)單位的相對(duì)大小；初步感悟任何一個(gè)分?jǐn)?shù)都可以由“分?jǐn)?shù)單位累加”而成：既可以是同一個(gè)分?jǐn)?shù)單位的多次累加，也可以是不同分?jǐn)?shù)單位的累加；所有的分?jǐn)?shù)單位可以像自然數(shù)一樣“排出大小順序”、也蘊(yùn)含著規(guī)律。因此，我們決定在四年級(jí)或五年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義之前增加一節(jié)分?jǐn)?shù)的拓展活動(dòng)課。在“分餅活動(dòng)”中讓學(xué)生經(jīng)歷兩種不同方法，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；通過古今方法對(duì)比更有助于學(xué)生感知分?jǐn)?shù)單位的大小，感悟分?jǐn)?shù)的意義，發(fā)展數(shù)感。

基于以上思考，我們將本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)定為：

1.通過分餅活動(dòng)，感悟分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，認(rèn)識(shí)并理解埃及分?jǐn)?shù)的意義，通過分?jǐn)?shù)墻，溝通分?jǐn)?shù)與整數(shù)之間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)概念的一致性。

2.在分物的過程中，積累分物的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)分物時(shí)分?jǐn)?shù)單位越大越方便，感悟埃及分?jǐn)?shù)的現(xiàn)實(shí)價(jià)值，直觀感悟單位分?jǐn)?shù)的大小及排列規(guī)律，培養(yǎng)數(shù)感。

3.感受古埃及人的智慧及數(shù)學(xué)文化的價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與探究欲望。

【教學(xué)過程】

一、第一次“分餅活動(dòng)”中了解埃及分?jǐn)?shù)的含義

1.問題激趣，嘗試解決問題。

創(chuàng)設(shè)吃早餐時(shí)遇到問題的情境，教師問：你們?cè)敢鈳椭覇幔空?qǐng)看下面的任務(wù)及活動(dòng)要求。

任務(wù)一：將3張同樣大的餅平均分給4人，每人得到多少?gòu)堬灒?/p>

活動(dòng)要求：用你喜歡的方式將分的過程簡(jiǎn)潔地記錄在學(xué)習(xí)單上。分的時(shí)候可以折一折、剪一剪、畫一畫、寫一寫。

學(xué)生獨(dú)立完成后小組交流，而后進(jìn)行全班分享。

生1：我把每張餅平均分成4份，每份就是1/4張，每人取每張餅的1/4，分到了3份，就是3個(gè)1/4張餅。（如圖1）

教師追問：把1張餅平均分成4份，1份是幾張呢？（在示意圖中涂色1份）沒錯(cuò)，1份就是1/4張餅，1個(gè)1/4張。2個(gè)1/4張，3個(gè)1/4張，一共是幾個(gè)1/4張？

學(xué)生習(xí)慣性地將分?jǐn)?shù)表述為“這張餅的1/4”，教師在黑板左邊適時(shí)板書“3個(gè)1/4=3/4”，強(qiáng)調(diào)可以用分?jǐn)?shù)表述“數(shù)量”：四分之幾張餅。

生2：我想先把其中的2張餅，每張餅平均分成2份，一共有4份，每人可以分得1/2張；再將剩下的1張餅平均分成4份，每人又可以分得1/4張。兩次剛好分完，每人分得的餅是（1/2+1/4）張。（如圖2）

在前面板書“3個(gè)1/4=3/4”的后面，教師繼續(xù)板書：1/2+1/4。

2.對(duì)比理解，初步感悟兩種分法的不同。

教師追問：兩種分法，每人分到的餅有什么特點(diǎn)？

生：第一種分法，每人得到3小塊；第二種分法，每人得到1大塊1小塊，是半張?jiān)偌影霃埖囊话搿?/p>

師：這兩種分法得到的結(jié)果一樣大嗎？可以怎么驗(yàn)證？（學(xué)生移動(dòng)貼在黑板上的“餅圖”）你真有辦法，借助模型通過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)：3/4張餅等于1/2張餅加1/4張餅。如果倒過來，那（1/2+1/4）張餅是不是也等于3/4張？

教師引導(dǎo)學(xué)生說出兩種分法各自的優(yōu)勢(shì)。

3.追本溯源，揭示埃及分?jǐn)?shù)。

師：這兩種分法，你更喜歡哪一種？

生：我更喜歡第一種，因?yàn)檫@種分法我比較容易想到，分給幾個(gè)人，就將每張餅分成幾小塊。

生：我更喜歡第二種，因?yàn)榉值降娘灥膲K數(shù)比較整。

師：第二種分法分餅的結(jié)果有什么特點(diǎn)呢？

生：分到的餅中有更大的一塊。

師：這種分法就是古埃及人最早的分物方法，他們的想法很樸素，就是想每次分到的餅都盡可能大。

師：我們一起再說一說埃及分法的過程。（課件操作演示埃及分法）有人也把這種分法稱為貪心法，誰(shuí)知道貪心在哪兒呢？

生：因?yàn)槊看嗡枷敕值米畲蟆?/p>

師：貪心法出自萊茵德紙草書，書中詳細(xì)記載了分?jǐn)?shù)最初的樣子。我們一起看看，你們能看懂這些符號(hào)是什么意思嗎？（課件呈現(xiàn)萊茵德紙草書圖片、古埃及表示分?jǐn)?shù)的象形文字，圖略）

生：他們是用豎線表示數(shù)，有幾條豎線就表示是幾。

生：我覺得它們的分子是一樣的，因?yàn)樗鼈兩厦娑际菣E圓形的。

師：正像你們所說的，古埃及人用一個(gè)橢圓形符號(hào)表示這個(gè)數(shù)是分?jǐn)?shù)，在這個(gè)橢圓形符號(hào)下畫幾條豎線，就表示分母是幾，比如這個(gè)數(shù)就表示1/2，這個(gè)就是1/3，1/4，1/8……（圖略）

師：觀察這些埃及分?jǐn)?shù)，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：古埃及人發(fā)明的分?jǐn)?shù)，分子都是1。

師：你們知道為什么埃及分?jǐn)?shù)分子都是1嗎？

生：因?yàn)槊看嗡麄兌际瞧骄帧?/p>

生：因?yàn)槊看嗡麄兌挤值?份。

師：老師特意查閱了分?jǐn)?shù)的發(fā)展史，史書上是這樣說的：古埃及人在平均分獵物的時(shí)候，總是先保證每人分到1份，而且要盡可能大，這樣比較公平。如果有剩余，再一輪一輪地分下去，直到分完為止，所以他們發(fā)明的分?jǐn)?shù)，分子都是1。像這樣分子是1的分?jǐn)?shù)，就叫埃及分?jǐn)?shù)。（板書題目：埃及分?jǐn)?shù)）你們覺得這兩個(gè)埃及分?jǐn)?shù)1/2和1/4誰(shuí)更大??？

生：1/2更大，因?yàn)樗前霃垼?/4是半張的一半。

[評(píng)析]以“分餅”作為情境，為分?jǐn)?shù)的引入提供最基礎(chǔ)也是最重要的現(xiàn)實(shí)背景，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，主動(dòng)參與探究任務(wù)。通過語(yǔ)言表征、算式表征、圖形表征解決實(shí)際問題，理解分?jǐn)?shù)的“量”的含義，初步感悟分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，加深學(xué)生對(duì)于埃及分法及埃及分?jǐn)?shù)的理解，同時(shí)溝通兩種分法之間的聯(lián)系，初步感悟分?jǐn)?shù)單位。

二、鞏固“貪心法”，體驗(yàn)“分?jǐn)?shù)由不同單位分?jǐn)?shù)累加得到”

1.增加餅和人的數(shù)量：5張餅平均分給6人。

教師課件出示任務(wù)二：嘗試用貪心法將5張同樣大的餅平均分給6人，每人分到多少?gòu)垼?/p>

馬上有學(xué)生回答：因?yàn)橐纸o6人，所以我想把每張餅都平均分成6份，每份就是1/16張，每人取每張餅中的1/16張，分到了5份，就是5/6張。

教師板書并讓其他學(xué)生再說一下。

師追問：古埃及人會(huì)怎么分呢？帶著剛剛的經(jīng)驗(yàn)，用貪心法分一分。

學(xué)生獨(dú)立思考并簡(jiǎn)單畫示意圖后，先小組交流，再全班交流。

教師收集三幅典型作品并同時(shí)呈現(xiàn)在黑板上。學(xué)生先獨(dú)立讀懂這些作品，并做比較，然后交流匯報(bào)。

生1：我讀懂了第一幅作品（如圖3），先分3張餅，將每張餅平均分成2份，一共有6份，每人可以分到1/2張；再將剩下的2張餅都平均分成3份，每人又可以分到1/3張。兩次剛好分完，每人分得的餅是（1/2+1/3）張。

生2：第二幅作品（如圖4）是先分3張餅，將每張餅平均分成2份，一共有6份，每人可以分到1/2張；再將剩下的2張餅每張平均分成6份，每人又可以分到2個(gè)1/16張。兩次剛好分完，每人分得的餅是（1/2+1/16+1/16）張。

生3：第三幅作品（如圖5），先分3張餅，將每張餅平均分成2份，一共有6份，每人可以分到1/2張；再將剩下的2張餅平均分成4份，每人又可以分到1/4張。還剩下半張，再將剩下的半張餅平均分成6份，這時(shí)候每人分到的是1/12張。三次分完，每人分得的餅是（1/2+1/4+1/12）張。

教師引導(dǎo)學(xué)生在互評(píng)的過程中，總結(jié)貪心法的原則，發(fā)現(xiàn)圖5雖然能夠解決問題，但是不夠貪心。學(xué)生借助“餅?zāi)Ｐ汀敝庇^驗(yàn)證不同分法得到的餅的大小相等。

2.繼續(xù)增加餅和人的數(shù)量：9張餅平均分給10人。

教師出示萊茵德紙草書中有關(guān)分餅問題：將9張同樣大的餅平均分給10人，每人分到多少?gòu)垼?/p>

學(xué)生很快想到用現(xiàn)代分法解決：把每張餅都平均分成10份……但馬上有學(xué)生反對(duì)：每份快成“碎渣渣”了。

教師邊用課件演示，邊讓學(xué)生說出古埃及人是如何操作的。

生：先把前面5張餅每張都平均分成2 份，每人分到1/2張，接著把后面4張餅每張平均分成3份，每人分到1/3張。

師：還剩下2/3張餅，平均分成10份，該怎么分呢？

生：可以借助圖來思考，把2/3張餅，平均分成10份，就相當(dāng)于把1/3張餅再平均分成5份，也就是把整張餅平均分成15份，所以每人又都分到了1份，也就是1/15張餅。

師：誰(shuí)能用一個(gè)算式把分的過程說一說？到底是多少?gòu)埬兀浚ò鍟?/2+1/3+1/15）

師：你們知道嗎？在萊茵德紙草書中，古埃及人真正的分法是這樣的：每人分到了（2/3+1/5+1/30）張餅，這個(gè)2/3是唯一一個(gè)分子不是1的埃及分?jǐn)?shù)。但為什么這么分，至今仍是個(gè)未解之謎，等待著同學(xué)們?nèi)ヌ骄俊?/p>

3.對(duì)比感悟，感受“分?jǐn)?shù)由單位分?jǐn)?shù)累加得到”。

教師再次引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比兩種方法，啟發(fā)學(xué)生辯證地看待現(xiàn)代分法與埃及分法。

師：和現(xiàn)代分法相比，你們覺得埃及分法怎么樣？

生：我覺得埃及分法分到的餅比較大，但有點(diǎn)麻煩，必須動(dòng)手實(shí)際操作才能得到結(jié)果。而現(xiàn)代分法得到的餅太小，都成碎渣了，還不方便數(shù)。

生：我喜歡現(xiàn)代分法，因?yàn)槲冶容^容易想到，一下子就能得到結(jié)果。

教師總結(jié)：現(xiàn)代分法只產(chǎn)生一個(gè)單位分?jǐn)?shù)，數(shù)幾次分子就是幾；埃及分法產(chǎn)生了幾個(gè)單位分?jǐn)?shù)，這幾個(gè)單位分?jǐn)?shù)合起來就是現(xiàn)代分?jǐn)?shù)。看來單位分?jǐn)?shù)太重要了。

[評(píng)析]通過增加餅和人的數(shù)量，繼續(xù)研究分餅問題，借助前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，嘗試用貪心法分餅。在分物的過程中，積累分物的經(jīng)驗(yàn)，通過多次對(duì)比分餅的不同方法，辯證地看待兩種分法的優(yōu)劣，體會(huì)分物時(shí)單位分?jǐn)?shù)越大越方便，感受古人智慧，感悟埃及分?jǐn)?shù)的現(xiàn)實(shí)價(jià)值，同時(shí)體會(huì)現(xiàn)代分法的優(yōu)勢(shì)。不管哪種分法，單位分?jǐn)?shù)都起到重要作用。

三、借助分?jǐn)?shù)墻，理解分?jǐn)?shù)單位的意義，體會(huì)數(shù)概念的一致性

1.發(fā)現(xiàn)規(guī)律，理解分?jǐn)?shù)單位。

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察黑板上的等式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

3/4=1/2+1/4 5/6=1/2+1/3

5/6=1/2+1/4+1/12 9/10=1/2+1/3+1/15

學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)等式中都有1/2，分?jǐn)?shù)可以表示成埃及分?jǐn)?shù)相加的和且存在從大到小排列的規(guī)律。

師：你們?cè)趺粗肋@些埃及分?jǐn)?shù)是由大到小排列的呢？

生：因?yàn)榉诛灥臅r(shí)候，每次分的盡可能大，所以后一次總比前一次小。

師：在這些埃及分?jǐn)?shù)中，誰(shuí)是最大的埃及分?jǐn)?shù)？第二大的埃及分?jǐn)?shù)呢？然后呢？

生：1/2，1/3……

2.溝通聯(lián)系，深化理解。

師：?jiǎn)挝环謹(jǐn)?shù)的大小真是這樣的嗎？

教師動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)出分?jǐn)?shù)墻：先出示第一行，再出示第二行，最終結(jié)果如圖6所示，并引導(dǎo)學(xué)生想象可以繼續(xù)“細(xì)分”下去，“沒完沒了”，學(xué)生再次感悟單位分?jǐn)?shù)的大小，沒有最小的單位分?jǐn)?shù)。

同時(shí)，教師引入我國(guó)古人對(duì)特殊分?jǐn)?shù)的命名：1/2叫“半”，1/3叫“少半”，1/4叫“弱半”，通過名字，就能形象地知道誰(shuí)大誰(shuí)小。學(xué)生初步感受到無論古埃及人還是中國(guó)古人都從各自角度認(rèn)識(shí)并使用分?jǐn)?shù)，感受古代勞動(dòng)人民的智慧。

教師再選1/4，學(xué)生向右繼續(xù)數(shù)：2/4，3/4，4/4，借助想象仍然可以繼續(xù)數(shù)下去。學(xué)生說：分?jǐn)?shù)也可以數(shù)出來！

3.回顧反思，提升思維。

師：沒錯(cuò)，這和我們數(shù)整數(shù)是一樣的，我們?cè)跀?shù)物體個(gè)數(shù)的時(shí)候，誰(shuí)是最小的計(jì)數(shù)單位？

生：1是最小的計(jì)數(shù)單位。

師：比1大的計(jì)數(shù)單位有哪些啊？

生：十、百、千、萬……

師：如果我們把這些埃及分?jǐn)?shù)在數(shù)線上表示出來，它們的位置在哪里呢？1/2，1/3，1/4……

教師通過課件直觀地將前面的“分?jǐn)?shù)墻”壓縮為“數(shù)軸”，通過數(shù)軸再次感受分?jǐn)?shù)單位的大小。

師：通過今天的學(xué)習(xí)，你對(duì)埃及分?jǐn)?shù)有了什么了解？

生：我覺得古埃及人非常聰明，能夠發(fā)明埃及分?jǐn)?shù)。

生：我覺得埃及分?jǐn)?shù)寫起來比較麻煩，用一個(gè)分?jǐn)?shù)表示比較簡(jiǎn)便。

生：我覺得埃及分法很有用，可以用它表示其他分?jǐn)?shù)。

教師從辯證的角度總結(jié)埃及分?jǐn)?shù)，強(qiáng)調(diào)埃及分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)在人類歷史上是一項(xiàng)了不起的成就，里面蘊(yùn)含很多有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生更深層次的思考與探究。

[評(píng)析]引領(lǐng)學(xué)生搭建分?jǐn)?shù)墻，借助分?jǐn)?shù)墻驗(yàn)證埃及分?jǐn)?shù)的大小，直觀感悟單位分?jǐn)?shù)的大小及排列規(guī)律，再由分?jǐn)?shù)墻抽象出數(shù)軸，借助幾何直觀，進(jìn)一步感受分?jǐn)?shù)單位的大小，溝通分?jǐn)?shù)單位和整數(shù)計(jì)數(shù)單位之間的聯(lián)系，體悟數(shù)的概念的一致性，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

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（作者單位：北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)與科學(xué)教育學(xué)院，北京市石景山區(qū)愛樂實(shí)驗(yàn)小學(xué)）