【課前思考】

“分?jǐn)?shù)與除法”是人教版教材五年級下冊“分?jǐn)?shù)的意義”單元的教學(xué)內(nèi)容。學(xué)生在三年級學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”時是從“部分與整體”的關(guān)系初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)的，在此基礎(chǔ)上，本單元繼續(xù)引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識和理解分?jǐn)?shù)。本節(jié)課作為“分?jǐn)?shù)的意義”的一個部分，意在從除法運算的需求這一角度，讓學(xué)生初步感悟：分?jǐn)?shù)可以解決整數(shù)除法中不能除的問題。日常學(xué)習(xí)中，常見結(jié)合平均分物的具體情境，在解決問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)、溝通關(guān)系、歸納概括。學(xué)生看似掌握了二者之間的關(guān)系，然而，深入分析就會發(fā)現(xiàn)學(xué)生只是從表面上理解了二者之間的關(guān)系，卻不知道為什么用分?jǐn)?shù)表示除法運算的商，缺乏本質(zhì)上的理解。

分?jǐn)?shù)本質(zhì)上就是一個數(shù)，如何幫助學(xué)生主動回到分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的本源處，理解用分?jǐn)?shù)表示除法運算結(jié)果這一知識本質(zhì)及其合理性，自主建構(gòu)分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系，實現(xiàn)對其意義和價值的深刻理解與體會呢？好的學(xué)習(xí)設(shè)計與思考，不僅要思考知識的本質(zhì)，還要研究學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)狀?；谶@樣的思考，筆者對學(xué)生進(jìn)行了前測，提出：把1個月餅平均分給3人，每人分得多少個？請列式解答。分析前測情況，從學(xué)生的答題情況看，主要存在以下兩個問題：

問題1：學(xué)生不敢列出1÷3的算式（如圖1）。

在過往的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對于整數(shù)除法的經(jīng)驗是大數(shù)除以小數(shù)，對于小數(shù)能否除以大數(shù)，多數(shù)學(xué)生持懷疑的態(tài)度。這也是解決在整數(shù)除法中有些除法不可施行這一問題的關(guān)鍵之處，是沖擊學(xué)生固有思維的地方。

問題2：學(xué)生不敢把分?jǐn)?shù)作為除法運算的結(jié)果（如圖2）。

在學(xué)生的已有認(rèn)知里，除法是要算出結(jié)果的，除法的商用整數(shù)或者小數(shù)來表示，分?jǐn)?shù)雖然是一個數(shù)，但是不能作為運算的結(jié)果存在。所以，寧可滿頭大汗地寫滿整張紙，也不敢用分?jǐn)?shù)表示商。

從前測可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對分?jǐn)?shù)與除法的認(rèn)知是比較片面的，不能或不敢將分?jǐn)?shù)與除法運算的結(jié)果建立起聯(lián)系。如何從分?jǐn)?shù)的意義和除法運算的角度出發(fā)，讓學(xué)生主動溝通兩者之間的關(guān)系，明確分?jǐn)?shù)可以表示除法運算的商，知道怎樣用分?jǐn)?shù)表示除法運算的商，從本質(zhì)處真正理解分?jǐn)?shù)的意義，是本節(jié)課需要厘清的關(guān)鍵，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.結(jié)合具體情境，理解整數(shù)除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，會用分?jǐn)?shù)表示兩數(shù)相除的商，理解分?jǐn)?shù)表示商的算理。

2.經(jīng)歷提出問題、解決問題的探究過程，培養(yǎng)說理能力，提升運算能力、推理意識。

3.主動參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，在解決問題的過程中，體驗成功的樂趣，感受數(shù)學(xué)的價值。

【教學(xué)過程】

一、直面困惑，提出問題

口算：8÷4，1÷4。

師：有困難的請舉手。先把掌聲送給誠實又勇敢的孩子，你們遇到了什么困難？

生：怎么會有小的數(shù)除以大的？

生：被除數(shù)比除數(shù)還要小，怎么除？

師：會算的請匯報結(jié)果。

生：（絕大部分）0.25。

生：0……1。

生：1/4個。

師：對于“1/4個”你們有什么想問他的呢？

生：怎么可以用分?jǐn)?shù)呢？

生：怎么會除出分?jǐn)?shù)呢？

生：這個答案對嗎？

二、經(jīng)歷過程，探究推理

1.初步探究。

師：我們先研究“1÷4”的商等于1/4有沒有道理。

（1）獨立思考。

師：有的小朋友已經(jīng)有答案了，有的還在思考，我為大家準(zhǔn)備好學(xué)習(xí)單了，把你的想法寫一寫。

（2）小組交流。

師：有想法的請舉手。好，手放下來，把你的想法在四人小組里說一說。

（3）對話交流。

生：我們把這個圓當(dāng)作月餅，然后把這個月餅平均分成4份，每個人就能拿到其中的1份，所以答案是1/4個。

（4）回顧反思。

師：剛才我們遇到了什么困難？怎么解決的？有什么收獲？為什么一開始沒想到用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果？

2.深入探究。

師：（出示：3÷4）現(xiàn)在是把幾個月餅分給幾個人呢？每人得到多少個呢？

學(xué)生經(jīng)歷獨立思考和小組交流后，把想法寫在學(xué)習(xí)單上。

生：我們把這個圓當(dāng)作月餅，把每個月餅平均分成4份，總共12份，每個人就能拿到這個月餅中的3份，所以答案是3/4。

師：他們說的有沒有道理？掌聲送給他們。

生：我的想法是有3個月餅，第1個平均分成4份，那么每個人只能分到1份，也就是分到第1個餅的1/4，然后第2個也平均分成4份，每個人分到的也是1/4，第3個是一樣的。所以加起來是3/4，3÷4等于3/4。大家有什么疑問或補充嗎？

生：我覺得除了可以用1個1個地分，也可以把3個月餅全部疊起來，然后一次切成4份，每人得到1份。因為它是3層，1層1份就是1/4，1/4加1/4加1/4等于3/4，大家同意嗎？

師：謝謝你們。不管是1個1個地分，每人先拿到1個1/4，然后是2個1/4、3個1/4，還是那個同學(xué)把3個疊起來分，每人都是拿到幾個1/4？

生：3個1/4。

師：所以，他們的分法不同，但是都得到3個1/4。

3.抽象推理。

師：11÷17呢？能不能做到不畫圖，把你的想法說給大家聽？

生：這里有11瓶水，大家想象一下。然后每個人有1個杯子。第1瓶分出1/17給每個人，第2瓶也同樣操作，一直到第11瓶水也這樣操作。那么我們就有11個1/17，就是11/17。大家聽明白了嗎？（全班掌聲）

4.深化算理。

（1）互相舉例，鞏固算理。

師：舉個例子，然后想一想答案和道理，再來考一考你的同桌。

師：老師好奇的是你們到底舉了什么例子來考你的同桌。

生：999÷1011等于幾？

師：我悄悄問一下，你被你的同桌難住了嗎？

生：沒有。

師：請聽他講道理好不好？來吧。

生：一共有1011個人要分999張餅，第1個人第1次可以分到1/1011張餅，第2次也是這樣……一共可以得到999張這樣的小餅，999個1/1011，就是999/1011。

師：掌聲送給會講道理的你們。

（2）變式理解，深化算理。

師：你們猜，如果是我，我會怎么考我的同桌？想知道嗎？（板書：4÷3）不著急，把你們的想法記錄在學(xué)習(xí)單上。

學(xué)生獨立完成。

師：有自己想法的舉起手。好，把你的想法先在四人小組里進(jìn)行交流。

生：也是4張餅，將第1張餅平均分成3份，然后1份給A，1份給B，1份給C。然后第2張餅也是這樣，第3張餅也是分別給A、B、C，第4張餅也是。所以，每個人是1/3加上1/3，再加1/3，再加1/3，等于4/3。所以每個人可以吃到4/3張餅（如圖3）。

生：我們的情況是第1張餅分給了A，第2張餅分給了B，第3張餅分給了C，那他們每人都有1張了，然后加上第4張餅每人分到的1/3，就是1加上1/3，這種方法也可以。

生：我感覺可以改成1又1/3，因為每個人都有1整張，然后1張餅中又有3份，就是1又1/3。

師：真好，掌聲送給他們，特別棒！你們知道1又1/3是什么分?jǐn)?shù)嗎？

生：帶分?jǐn)?shù)。

三、反思抽象，建立模型

1.自主建構(gòu)。

師：現(xiàn)在大家回過頭再看看這些例子。你有發(fā)現(xiàn)嗎？把你的發(fā)現(xiàn)悄悄跟同桌說一下。

同桌之間交流。

師：誰來說說你們的發(fā)現(xiàn)？

生：我們發(fā)現(xiàn)了，如果是小的數(shù)除以大的數(shù)，可以用被除數(shù)做分子，除數(shù)做分母；如果是大的數(shù)除以小的數(shù)，也是被除數(shù)做分子，除數(shù)做分母。

生：我有補充，就是大的數(shù)除以小的數(shù)也可以用二年級時學(xué)過的方法得出它的商，余數(shù)也得出來，然后得出來的余數(shù)再除以除數(shù)，再把兩部分加起來。

師：大家能聽懂嗎？（生：懂）舉例說一說。

生：比如7÷4=1……3，3÷4=3/4，7÷4就等于1又3/4，也就是7/4。

師：太了不起了！如果被除數(shù)為a，除數(shù)為b，b不等于0，那么想一想：a÷b等于什么？

生：等于a/b。因為有a張大餅，平均分給b個人，每個人分到a個1/b，也就是a×1/b=a/b（如圖4）。

師：同意嗎？掌聲送給會思考的小朋友。

2.總結(jié)反思。

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么感受想和大家分享嗎？

生：通過這節(jié)課，我學(xué)到了除法的商可以用分?jǐn)?shù)來表示。

生：我知道為什么在除法算式里面被除數(shù)是分子，除數(shù)是分母。

師：他知道里面的道理，對吧？掌聲送給他。

生：我還知道，除法的商有兩種情況：一種是用帶分?jǐn)?shù)表示，另一種是用剛才說的分?jǐn)?shù)表示。

【課后思考】

一、直擊困惑，讓意義得以豐厚

學(xué)生作為課堂學(xué)習(xí)的主體，其已有的認(rèn)知起點和認(rèn)知困惑，是學(xué)習(xí)真實發(fā)生的基本條件。因此，在執(zhí)教“分?jǐn)?shù)與除法”之前，我們首要的是讀懂學(xué)情，明白學(xué)生已有哪些認(rèn)知經(jīng)驗，會有哪些困惑。基于學(xué)情，在教學(xué)“較小數(shù)除以較大數(shù)”的口算中，使學(xué)生直面原有的經(jīng)驗局限，暴露真困惑，直擊認(rèn)知疑難：1÷4可以等于1/4嗎？從課堂實施情況，可以清楚地看到學(xué)生對這個問題存在很大的障礙。但從學(xué)生靜下來認(rèn)真思考的樣子，亦可見學(xué)生基于問題、基于認(rèn)知沖突積極探究與求知的執(zhí)著。比較長時間的獨立思考后，學(xué)生開始嘗試借助生活中的例子來解釋除法算式，并通過畫圖說理等方式，說明“1÷4=1/4”的道理。在這一過程中，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的觀察與思考。隨著說理的逐步深入，逐步厘清并能用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系，明確可以用分?jǐn)?shù)表示商的道理，從而深入到知識的內(nèi)里，從數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需求，于不同角度豐厚對分?jǐn)?shù)意義的理解。

二、直面挑戰(zhàn)，讓素養(yǎng)自然生長

要促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)的發(fā)展，教師就要相信學(xué)生，相信每一個學(xué)生與生俱來的好奇心與探究精神，相信學(xué)生能通過觀察、思考、表達(dá)等學(xué)習(xí)過程，在原有基礎(chǔ)上自主獲得新的生長。

這節(jié)課的學(xué)習(xí)，不僅關(guān)注學(xué)生的短期需求，更關(guān)注學(xué)生的長遠(yuǎn)需求，將知識的探究作為學(xué)生學(xué)習(xí)的載體，使學(xué)生從“1÷4”，到“3÷4”，再到“a÷b（b≠0）”，不斷挑戰(zhàn)自己原有的認(rèn)知，創(chuàng)造性地思考解決問題的途徑與策略。在這樣的學(xué)習(xí)與建構(gòu)中，教師給予充分的等待與信任，使學(xué)生有機會通過大量的獨立思考與交流協(xié)作，在數(shù)學(xué)的推理中，發(fā)展對知識的理解。其間，所形成的運算能力與推理意識不是人為訓(xùn)練出來的，而是學(xué)生基于知識的復(fù)雜性自主建構(gòu)，逐步生長起來的。

（作者單位：福建省教研室）