學(xué)生學(xué)習(xí)了2、5的倍數(shù)特征之后，雖然記住了知識(shí)結(jié)論并能熟練地進(jìn)行判斷，但仍然不能解釋為什么只要看個(gè)位就可以了。學(xué)習(xí)了3的倍數(shù)特征之后更是疑惑為什么判斷方法與判斷2、5的倍數(shù)的方法“完全不同”。如果只是記住了事實(shí)，即使形成了熟練的操作程序，這樣學(xué)習(xí)的知識(shí)也往往是不扎實(shí)的，只有互相關(guān)聯(lián)且建立在概念和原理基礎(chǔ)上的知識(shí)，才能夠比較容易地被用于新的情境[1]。

教學(xué)2、5的倍數(shù)特征時(shí)，如果能充分地展開(kāi)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，以根據(jù)概念推理和計(jì)算實(shí)驗(yàn)獲得的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)作為推理的出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生有條理地講道理，給合情推理形成的猜想打上演繹推理的補(bǔ)丁，不僅可以使獲得結(jié)論的過(guò)程更加嚴(yán)謹(jǐn)，使數(shù)學(xué)結(jié)論更加可靠，而且能培養(yǎng)學(xué)生重論據(jù)、有邏輯的思維品質(zhì)，發(fā)展科學(xué)態(tài)度與理性精神。

關(guān)于推理與證明，《美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》指出：3～5年級(jí)，學(xué)生應(yīng)在數(shù)學(xué)推理方面進(jìn)行重要的思維轉(zhuǎn)變，認(rèn)識(shí)到推理和證明是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。學(xué)生應(yīng)該認(rèn)識(shí)到只通過(guò)幾個(gè)例子說(shuō)明猜想正確是不夠的，并認(rèn)識(shí)到可以用反例來(lái)反駁一個(gè)猜想。他們應(yīng)該學(xué)習(xí)通過(guò)考慮一系列例子，能夠?qū)σ话阈再|(zhì)以及他們發(fā)現(xiàn)的聯(lián)系進(jìn)行推理。

一、積累基本的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)

在小學(xué)，除了學(xué)習(xí)整數(shù)的運(yùn)算，還要研究整數(shù)的性質(zhì)。探索2、5的倍數(shù)的特征同時(shí)聯(lián)系了這兩個(gè)方面。從學(xué)習(xí)帶余除法這一初等概念開(kāi)始，學(xué)生將從一個(gè)完全不同的角度來(lái)考察自然數(shù)：它們不再只是計(jì)算的工具，而是一個(gè)具有內(nèi)在意義的對(duì)象[2]。

整除是整數(shù)理論的核心，是研究整數(shù)性質(zhì)的基石。對(duì)于整數(shù)a和整數(shù)b，如果存在一個(gè)整數(shù)k，使得a=b×k，那么就說(shuō)a能被b整除，記作b|a。它的含義是a恰好能被b除盡，且商是整數(shù)[3]。整除的一個(gè)引理（也稱(chēng)整除性質(zhì)定理）是：設(shè)A、B、C是整數(shù)并滿(mǎn)足A=B+C，假設(shè)一個(gè)不等于0的整數(shù)x整除A、B、C中的兩個(gè)數(shù)，那么x必定同時(shí)整除第三個(gè)數(shù)[2]。

雖然小學(xué)生并不直接學(xué)習(xí)整除性質(zhì)定理，但是基于一些基本概念和運(yùn)算推理，容易歸納得到一些相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)。例如，因?yàn)?0=2×5，2=2×1，10與2都是2的倍數(shù)，所以20（10×2）與12（10+2）也是2的倍數(shù)。這個(gè)結(jié)論可以通過(guò)計(jì)算實(shí)驗(yàn)得到驗(yàn)證。其中，12是2的倍數(shù)推理的依據(jù)是：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的和與差，仍為該數(shù)的倍數(shù)。這個(gè)定理的證明過(guò)程略。

以上述基本的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)為出發(fā)點(diǎn)，可以歸納得到22（rUMJrLIL1r+YOsX+hfu0SNzwMxzWWeUzXh1EY2lGaOU=10×2+2）、32（15×2+2）、42（20×2+2）等個(gè)位上是2的數(shù)都是2的倍數(shù)。進(jìn)一步，通過(guò)類(lèi)比推理得到：個(gè)位上是2的倍數(shù)的數(shù)就是2的倍數(shù)。

邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì)。但是，在強(qiáng)調(diào)推理證明的同時(shí)，也不能忽視計(jì)算實(shí)驗(yàn)。以下教學(xué)案例，通過(guò)計(jì)算實(shí)驗(yàn)與推理證明相結(jié)合的方式獲得基本經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，并以此作為進(jìn)一步推理與證明的出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)歸納推理與類(lèi)比推理獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)積累起研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

1.提問(wèn)。

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了因數(shù)、倍數(shù)，今天學(xué)習(xí)2、5的倍數(shù)的特征?？戳诉@個(gè)課題，有什么問(wèn)題想問(wèn)的？

生：為什么要研究2、5的倍數(shù)？

生：2、5的倍數(shù)有什么特征呢？

生：怎樣才能一眼看出這個(gè)數(shù)是不是2、5的倍數(shù)？

生：它們有沒(méi)有相同的倍數(shù)？

師：你們提出了很好的問(wèn)題，其中最關(guān)鍵的問(wèn)題是2、5的倍數(shù)有什么特征。我們先研究2的倍數(shù)有什么特征?？梢栽趺囱芯磕?？從哪里起步？

生：我們可以找一些2的倍數(shù)來(lái)分析分析。

2.列舉。

師：好，誰(shuí)來(lái)找一些2的倍數(shù)？

生：2、4、6、8、10、12、…。

師：2的倍數(shù)有很多，你是怎么找到2的這些倍數(shù)的？

生：我是利用2的乘法口訣。

師：如果從中選擇幾個(gè)最簡(jiǎn)單的，你會(huì)選什么？

生：10、20，這些是整十?dāng)?shù)。

生：2、12、22，個(gè)位上都是2。

3.計(jì)算。

師：我們從最簡(jiǎn)單的開(kāi)始。2是2的倍數(shù)，10是2的倍數(shù)，把這兩個(gè)數(shù)加起來(lái)得到12，是2的倍數(shù)嗎？

生：12除以2等于6，它是2的倍數(shù)。

生：可以把12分成10和2，10是2的倍數(shù)，2是2的倍數(shù)，12就是2的倍數(shù)。

師：用拆分的方法來(lái)解釋?zhuān)l(shuí)聽(tīng)懂了？

生：把12分成10和2，10里面有5個(gè)2，2里面有1個(gè)2，合起來(lái)12里面就有6個(gè)2，12是2的倍數(shù)。

生：10除以2是5，10是2的倍數(shù)，2除以2是1，2也是2的倍數(shù)，它們的和12就是2的倍數(shù)。

師：你們都解釋得很好，現(xiàn)在如果在12的前面再加一個(gè)數(shù)字3，得到312，它是不是2的倍數(shù)？

生：最簡(jiǎn)單的方法，就是把312除以2，看看是不是整數(shù)，算出來(lái)商是156，是整數(shù)，所以312是2的倍數(shù)。

生：還可以把312進(jìn)行拆分，分成300和12，300除以2等于150，12除以2等于6。這兩個(gè)數(shù)除以2的結(jié)果都是整數(shù)，所以312是2的倍數(shù)。

師：40312還是2的倍數(shù)嗎？你怎么想？

生：40312是2的倍數(shù)。我們可以把40312分成40000和312，用這兩個(gè)數(shù)分別除以2，得出來(lái)都是整數(shù)，所以40312是2的倍數(shù)。

4.歸類(lèi)。

師：觀察比較2、12、312、40312這些數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：個(gè)位上都是2，它們都是2的倍數(shù)。

師：現(xiàn)在我們得到的結(jié)論是什么？個(gè)位上是2的數(shù)——

生：都是2的倍數(shù)。

通過(guò)列舉、計(jì)算、歸類(lèi)等活動(dòng)得到初步的猜想，這些活動(dòng)都與具體的例子相聯(lián)系。已經(jīng)考察的例子分成兩類(lèi)：一類(lèi)是作出推測(cè)之前的例子，由學(xué)生舉出，它提示了推測(cè)；另一類(lèi)是作出推測(cè)之后的例子，由教師設(shè)計(jì)，它印證了推測(cè)。一個(gè)猜想性的一般命題，假如在新的特例中得以證實(shí)，那么它就變得更可信了[4]。特別地，討論2、12、312等這些有聯(lián)系的例子，使得推理依據(jù)的是表征的結(jié)構(gòu)，而不是隨意和特例。

二、充分展開(kāi)推理的過(guò)程

小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不可能完整地經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程，也不太可能像數(shù)學(xué)家那樣通過(guò)嚴(yán)格的證明來(lái)獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。但是，從他們已有的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)出發(fā)，經(jīng)由一個(gè)命題到另一個(gè)命題的推理，既是他們獲得數(shù)學(xué)知識(shí)與結(jié)論的途徑，也是他們形成推理意識(shí)與證明能力的載體。

1.對(duì)比，歸納出初步的結(jié)論。

師：為什么個(gè)位上是2的數(shù)都是2的倍數(shù)呢？

生：我們以最大的40312為例。它可以拆成40000+300+10+2，40000、300、10都是2的倍數(shù)，2也是2的倍數(shù)，所以40312是2的倍數(shù)。

師：如果a代表0～9的數(shù)，下面哪些數(shù)是2的倍數(shù)？5a312、3a512、31a25、13a52、52a13。

生：5a312、3a512、13a52都是2的倍數(shù)，31a25、52a13不是2的倍數(shù)。

師：你是怎么想的？

生：我們以5a312為例。它可以拆成50000+a×1000+300+10+2，前面的整十?dāng)?shù)、整百數(shù)、整千數(shù)、整萬(wàn)數(shù)等都是2的倍數(shù)，2也是2的倍數(shù)，所以5a312是2的倍數(shù)。

師：52a13不是2的倍數(shù)，又怎么解釋?zhuān)?/p>

生：一樣的道理，52a13可以拆成50000+2000+a×100+10+3，前面的加數(shù)都是2的倍數(shù)，關(guān)鍵是看最后的加數(shù)3，3不是2的倍數(shù)，所以52a13不是2的倍數(shù)。

師：綜合他們兩人的想法，我們可以怎么判斷一個(gè)數(shù)是不是2的倍數(shù)？

生：看個(gè)位就可以了。

2.類(lèi)化，概括出最終的結(jié)論。

師：5312a是2的倍數(shù)嗎？

生：不一定，如果a代表的數(shù)是7，它就不是2的倍數(shù)；如果a代表的數(shù)是8，它就是2的倍數(shù)。

生：如果a是2的倍數(shù)，5312a就是2的倍數(shù)；如果a不是2的倍數(shù)，5312a就不是2的倍數(shù)。

生：我覺(jué)得一個(gè)數(shù)是2的倍數(shù)和不是2的倍數(shù)可能性是一樣大的，都有5種情況。

師：這是什么意思，誰(shuí)聽(tīng)懂了？

生：他的意思是說(shuō)，如果a代表2、4、6、8、0，它就是2的倍數(shù)；如果a代表1、3、5、7、9，它就不是2的倍數(shù)。

師：現(xiàn)在知道2的倍數(shù)長(zhǎng)什么樣嗎？有什么特征？

生：個(gè)位上是2、4、6、8、0的數(shù)是2的倍數(shù)。

生：個(gè)位上是2的倍數(shù)的數(shù)是2的倍數(shù)。

生：個(gè)位上是偶數(shù)的數(shù)是2的倍數(shù)。

3.說(shuō)理，有條理地講道理。

師：為什么判斷一個(gè)數(shù)是不是2的倍數(shù)，只看個(gè)位就可以了？這個(gè)道理你能講清楚嗎？同桌一人講一人聽(tīng)，講的人要講得有條理，聽(tīng)的人要聽(tīng)出有沒(méi)有道理。

生：任何一個(gè)多位數(shù)，都可以拆分成整萬(wàn)、整千、整百、整十的數(shù)再加個(gè)位數(shù)，前面整萬(wàn)、整千、整百、整十的數(shù)一定是2的倍數(shù)，所以如果個(gè)位上的數(shù)是2的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是2的倍數(shù)，如果個(gè)位上的數(shù)不是2的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就不是2的倍數(shù)。

生：不用那么復(fù)雜。任何一個(gè)多位數(shù)，都可以拆成前面的數(shù)乘10再加上個(gè)位上的數(shù)，一個(gè)數(shù)乘10后末位上是0，肯定是2的倍數(shù)，再看個(gè)位上是不是2的倍數(shù)就可以了。

師：這兩種解釋有什么相同與不同？

生：拆分的方法不一樣，但思路是相同的，都是把一個(gè)多位數(shù)拆分成10的倍數(shù)加上個(gè)位數(shù)。10的倍數(shù)肯定是2的倍數(shù)，所以只要看個(gè)位上的數(shù)就知道它是不是2的倍數(shù)了。

在這個(gè)構(gòu)造一般結(jié)論的過(guò)程中，學(xué)生懂得了通過(guò)簡(jiǎn)單的歸納與類(lèi)比，可以猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論，知道從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則可以推出其他命題，初步感悟邏輯推理過(guò)程及其發(fā)現(xiàn)知識(shí)的意義。特別地，當(dāng)他們經(jīng)常有機(jī)會(huì)通過(guò)各種模式去確認(rèn)一個(gè)一般結(jié)論時(shí)，推理就會(huì)成為他們判斷一個(gè)結(jié)論正確與否的標(biāo)準(zhǔn)，而不是依賴(lài)權(quán)威的判斷或者特殊的檢驗(yàn)[5]。

三、形成靈活的遷移應(yīng)用

在數(shù)學(xué)上，人們通過(guò)推理形成各種命題、定理和運(yùn)算法則，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。在學(xué)習(xí)中，學(xué)生積累了發(fā)現(xiàn)或得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，既要依賴(lài)于對(duì)例子的考察，也要依賴(lài)于有邏輯的推理。通過(guò)推理獲得知識(shí)的價(jià)值是顯而易見(jiàn)的，可以發(fā)展學(xué)生的思維，幫助學(xué)生養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與敢于質(zhì)疑的理性精神。

任何一個(gè)多位數(shù)都可以寫(xiě)成a×10+n的形式（a、n都是整數(shù)），其中n表示個(gè)位上的數(shù)。因?yàn)?0=2×5，所以a×10既是2的倍數(shù)也是5的倍數(shù)。因此，2的倍數(shù)特征與5的倍數(shù)特征是相似的，解釋說(shuō)理的方法也是同構(gòu)的?；?的倍數(shù)特征的探索，5的倍數(shù)特征也就“不證自明”了。

1.類(lèi)比遷移。

師：我們已經(jīng)知道了2的倍數(shù)的特征，回想一下，我們經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程？是怎么得到數(shù)學(xué)結(jié)論的？同桌討論一下。

生：先舉了一些例子，然后猜測(cè)，接著我們進(jìn)行驗(yàn)證，利用直接除或分解法，最后得出結(jié)論：個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)，你們同意嗎？

（教師板書(shū)：“觀察例子，形成猜想，計(jì)算驗(yàn)證，概括結(jié)論”）

師：5的倍數(shù)有什么樣的特征呢？請(qǐng)?jiān)谛〗M內(nèi)討論，完成探究學(xué)習(xí)單。我舉的例子（ ），我們的猜想（ ），計(jì)算與驗(yàn)證（ ），我們的結(jié)論（ ）。

師：哪個(gè)小組上來(lái)交流一下？

生：個(gè)位上是2的數(shù)是2的倍數(shù)，我們猜想個(gè)位上是5的數(shù)是5的倍數(shù)。舉的例子是35，一種思路是35除以5等于7，商是整數(shù)，說(shuō)明35是5的倍數(shù)；另一種思路是把35拆成30加5，5是5的倍數(shù)，30也是5的倍數(shù)，所以35是5的倍數(shù)。我們的結(jié)論是個(gè)位上是5的數(shù)是5的倍數(shù)。

生：我們組的猜想是個(gè)位上是0或5的數(shù)是5的倍數(shù)。舉的一個(gè)例子是720，驗(yàn)證的方法是把720分成700和20，700是5的倍數(shù)，20也是5的倍數(shù)，因此，720是5的倍數(shù)。還有一種驗(yàn)證的方法是720除以5是144，也可以證明720是5的倍數(shù)。另一個(gè)例子是685……我們得出的結(jié)論是個(gè)位上是0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)。

師：聽(tīng)懂他的解釋了嗎？有沒(méi)有疑問(wèn)或補(bǔ)充？

生：我們也可以說(shuō)個(gè)位上的數(shù)是5的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是5的倍數(shù)。

生：2的倍數(shù)與5的倍數(shù)，解釋的方法是一樣的。前面的數(shù)都是整萬(wàn)、整千、整百、整十的數(shù)，它們都是2、5的倍數(shù)。關(guān)鍵是看個(gè)位，個(gè)位上的數(shù)是2的倍數(shù)，那么它就是2的倍數(shù)，個(gè)位上的數(shù)是5的倍數(shù)，那么它就是5的倍數(shù)。

2.聯(lián)系溝通。

師：我們把學(xué)到的知識(shí)整理一下，填到下面的圈里。（如圖1）

師：兩個(gè)圈共同的部分應(yīng)該填什么？

生：填0。

師：表示什么意思？

生：個(gè)位上是0的數(shù)，既是2的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)。

師：為什么？

生：因?yàn)閭€(gè)位上是2、4、6、8、0的數(shù)是2的倍數(shù)，個(gè)位上是5、0的數(shù)是5的倍數(shù)，它們都有0。

生：個(gè)位上是0的數(shù)，它可以寫(xiě)成一個(gè)數(shù)乘10的形式，10等于2乘5，這個(gè)數(shù)一定有因數(shù)2和5，所以它既是2的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)。

師：先用1、2、5、a四個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)，再判斷它是不是2的倍數(shù)，是不是5的倍數(shù)。

師：如果是2的倍數(shù)，個(gè)位上是幾？如果是5的倍數(shù)呢？

生：2的倍數(shù)個(gè)位上是2，如15a2、1a52、51a2……5的倍數(shù)，個(gè)位上是5……

師：如果個(gè)位上是a呢？

生：當(dāng)a代表2、4、6、8的時(shí)候是2的倍數(shù)；當(dāng)a代表5的時(shí)候是5的倍數(shù)；當(dāng)a代表0的時(shí)候，它既是2的倍數(shù)也是5的倍數(shù)；當(dāng)a代表1、3、7、9的時(shí)候，既不是2的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)。

師：當(dāng)一個(gè)問(wèn)題中有不確定的因素時(shí)，要分類(lèi)討論可能出現(xiàn)的情況，用這種方法可以把問(wèn)題想得更全面，在中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里經(jīng)常用到這樣的方法。

從教學(xué)知識(shí)的分類(lèi)來(lái)看，2、5的倍數(shù)特征屬于命題教學(xué)的范疇。數(shù)學(xué)命題的教學(xué)要注重過(guò)程，包括命題產(chǎn)生過(guò)程和推理證明過(guò)程。無(wú)論推理還是證明，都需要使用正確的命題、合理的推理形式和適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)形式。在這里，雖然推理的出發(fā)點(diǎn)是學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，而不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定理，但推理的方法和結(jié)論都是正確的，表達(dá)的形式也是他們可以理解的。

根據(jù)數(shù)的意義，把多位數(shù)寫(xiě)成各個(gè)數(shù)位上的數(shù)乘10n的和的形式，“數(shù)字”就成了“所有量”的占位符，學(xué)生可以通過(guò)“數(shù)字”來(lái)說(shuō)明對(duì)象的數(shù)量結(jié)構(gòu)，而不必具體展示這個(gè)對(duì)象。這種基于表征的推理證明，是小學(xué)階段構(gòu)造一般結(jié)論的有效途徑，而且這樣做可以為以后的證明思維提供基礎(chǔ)[5]。如3750=3×1000+7×100+5×10+0×1，由于100=4×25，在這個(gè)展開(kāi)式中整千、整百數(shù)一定是4和25的倍數(shù)，因此，判斷一個(gè)數(shù)是不是4或25的倍數(shù)，只要看展開(kāi)式中的整十?dāng)?shù)與一位數(shù)即可，即看一個(gè)多位數(shù)后兩位是不是4或25的倍數(shù)。不僅如此，如果改寫(xiě)以上的展開(kāi)式，表示為3750=（3×999+3）+（7×99+7）+（5×9+5）+（0×9+0），每個(gè)括號(hào)內(nèi)的乘加算式中，乘法項(xiàng)都是3的倍數(shù)，因此判斷3750是不是3的倍數(shù)，只要看加法項(xiàng)的和（即各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和）是不是3的倍數(shù)即可。2、3、4、5、25的倍數(shù)特征是共通的！數(shù)學(xué)的優(yōu)美在于，當(dāng)有趣的結(jié)果出現(xiàn)時(shí)，通常是意想不到的，并且是基于合理的推理。數(shù)學(xué)深處的聯(lián)系，既在意料之外，也在情理之中。

數(shù)學(xué)證明是一種表達(dá)特定推理過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒?，?duì)于數(shù)學(xué)家的工作及他們加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解都是不可或缺的[6]。數(shù)學(xué)家推理的步驟是從前提出發(fā)，基于已經(jīng)確定的定義、事實(shí)和原理，一步一步地到達(dá)結(jié)論[5]。

人們普遍認(rèn)可證明應(yīng)該在所有階段學(xué)生的數(shù)學(xué)教育中發(fā)揮作用[6]。作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)，重要的不是像數(shù)學(xué)家那樣嚴(yán)格地證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，而是經(jīng)歷由已知條件出發(fā)，通過(guò)正確的推理方式得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程。小學(xué)階段的證明，并不等于數(shù)學(xué)家眼中的證明，而是一種廣義的，由一系列“可以接受”的論據(jù)組成的，旨在得到共同體認(rèn)可的構(gòu)造過(guò)程[5]。重推理，有條理地講道理，是促進(jìn)學(xué)生形成概念性理解，利用知識(shí)的邏輯體系探究數(shù)學(xué)命題的重要方式，也是闡釋系統(tǒng)使用數(shù)學(xué)定義與公理的主要手段。

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[5]德斯皮娜·A.斯蒂利亞努，瑪利亞·L.布蘭頓，埃里克·J.克努特.證明的教學(xué)：從幼兒園到大學(xué)的視角[M].周超，鮑建生，譯.上海：上海教育出版社，2015.

[6]蔡金法.數(shù)學(xué)教育研究手冊(cè)（第二冊(cè)）：數(shù)學(xué)內(nèi)容和過(guò)程的教與學(xué)[M].北京：人民教育出版社，2020.

（作者單位：浙江省新思維教育科學(xué)研究院）