前測研究：

現(xiàn)行人教版教材，把“連乘問題”教學(xué)放在了三年級下冊第四單元“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”倒數(shù)第2道例題上（最后一道例題是“連除問題”）。“連乘問題”究竟是放在“多位數(shù)乘一位數(shù)”單元還是“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元，區(qū)別不大，因其問題解決的思路和數(shù)的大小無關(guān)。故此，筆者跨越10年，用二年級學(xué)生做對比研究（具體數(shù)據(jù)如圖1），最終堅信了一個觀點：學(xué)情倒逼我們的教學(xué)需要更加統(tǒng)整和通透的視野。

基于教材和學(xué)情的簡單研究，有一點可以明確：如果僅僅按照教材編排及教學(xué)參考書上的目標定位教學(xué)（用一種或兩種思路解決問題），當然可以，但一定有部分學(xué)生吃不飽（且不談高階思維的發(fā)展）。上述對二年級學(xué)生的測驗數(shù)據(jù)足以表明，到了三年級，能用三種策略解決筆者提供的前測問題的學(xué)生人數(shù)一定會有所增加（事實也是如此）。當然，也許會有老師質(zhì)疑，上述數(shù)據(jù)僅僅是杭州一所學(xué)校的，數(shù)據(jù)量不夠大，不能說明問題。對此想法，筆者不敢妄議，倒是建議大家不妨自己去做做實證研究。

教學(xué)實踐：

一、提出問題

1.動態(tài)出示車庫情境圖。（改編自教材第47頁例3情境圖，如圖2。先出示：1行5輛車。再出示：共4行，1個車庫停滿。最后出示：另外2個車庫）

2.引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題：3個車庫一共有多少輛車？

3.出示完整的數(shù)學(xué)問題。

1個車庫有4行，每行停5輛車。3個同樣的車庫，一共停多少輛車？

4.引導(dǎo)學(xué)生閱讀理解題意，圈畫出主要信息（課件配合演示，如圖3）。

設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)設(shè)計意圖有三：一是動態(tài)呈現(xiàn)，除了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的考量，重在讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)問題的現(xiàn)實性；二是簡化數(shù)據(jù)，重在讓學(xué)生強化對連乘問題結(jié)構(gòu)的初步感知；三是圈圈畫畫，重在從技術(shù)層面，讓學(xué)生養(yǎng)成閱讀理解題意的好習(xí)慣。

二、初解問題

1.學(xué)生獨立思考，盡可能用不同的方法解決（鼓勵學(xué)生：如果能想出一種方法，說明自己不錯；如果能想出兩種不同的方法，說明自己很棒；如果能想出三種不同的方法，說明自己太棒啦）。

2.引導(dǎo)學(xué)生自我反思：如何解釋自己的每一種方法？每一步計算求的分別是什么？

3.同桌兩人小聲討論，互幫互學(xué)。

4.全班展示交流。

方法一：5×4×3。（追問：第一步5×4求的是什么？為什么還要再乘3）

生：根據(jù)題意，每個車庫有4行，每行5輛車，5×4是先求出1個車庫共有多少輛車，一共有3個同樣的車庫，所以，最后還要乘3。

師：如此解決思路，先求什么？再求什么？

生：先求1個車庫有多少輛車，再求3個車庫有多少輛車。

師：思路非常清晰，有理有據(jù)，非常好?。ń處熛鄼C把車抽象為點貼出點子圖，讓思維可視）

方法二：5×3×4。（追問：第一步求的是什么？為什么還要再乘4？如圖4）

生：根據(jù)題意，每個車庫有4行，每行5輛車，3個同樣的車庫?？梢韵胂笠幌拢?個車庫橫著拼在一起。5×3求的是3個車庫的第1行一共有幾輛車，也就是1大行（或1長行）共有多少輛車。（相機讓學(xué)生在點子圖上圈出1大行）因為有這樣的4大行，所以，最后還要再乘4。

師：剛剛這位同學(xué)的表述非常好！她有一句話講得特別棒——可以想象一下，把3個車庫橫著拼在一起。在頭腦中想象是重要的思維能力！現(xiàn)實中的車庫不好隨便移動，但在我們的頭腦中，可以任意移動。

師：誰能概括地說一說這種解決方法的思路？

生：想象中把車庫拼在一起，先求3個車庫的第1行（即1大行）共有幾輛車，再求這樣的4大行一共有幾輛車。

師：說得非常好！想象把車庫拼在一起，我們也可以說，假設(shè)把車庫拼在一起。（此時，可在上述點子圖上，用彩筆圈出1豎列，如圖5。引導(dǎo)學(xué)生換個角度觀察思考，剛剛算式中第一步5×3，也可以理解為，當3個車庫拼在一起時，一共有多少列）

方法三：4×3×5。（追問：第一步求的是什么？為什么還要乘5）

生：剛剛那位同學(xué)把車庫橫著拼在一起，而我假設(shè)把車庫豎著拼在一起。大家想象一下，把3個車庫豎著拼在一起。4×3求的是3個車庫左邊的第1列，一共有幾輛車，也就是1大豎列共有多少輛車。（相機讓學(xué)生在點子圖上圈出1大豎列）如果這樣圈畫，3個車庫共有這樣的5大豎列，所以，最后還要再乘5。

師：剛剛這位同學(xué)的思維超級棒！他說，既然車庫可以橫著拼，那自然也可以豎著拼。而且，他馬上用到了老師的話——假設(shè)把車庫豎著拼在一起，表達非常專業(yè)，給你鼓掌！

師：誰能總結(jié)一下這種解決方法的思路？

生：假設(shè)把車庫豎著拼在一起，先求3個車庫的第1列（即1大豎列）共有幾輛車。再求這樣的5大豎列一共有幾輛車。

師：說得非常好！當我們假設(shè)把車庫豎著拼在一起的時候，第1大豎列也可以換個角度理解。誰發(fā)現(xiàn)了？

生：換個角度觀察思考，剛剛算式中第一步4×3也可以理解為，當3個車庫豎著拼在一起時，一共有多少行。每行5輛車，所以，最后要再乘5。

師：真了不起！他已經(jīng)學(xué)會換個角度思考問題啦！

5.回顧連乘問題的結(jié)構(gòu)，比較三種思路的異同。

引導(dǎo)學(xué)生感悟：解決同樣一個問題，從不同的角度去思考，就會有不同的方法。三種解決方法的共性是，都是先求出中間問題（用乘法計算，第一次歸總），然后求出最終問題（還用乘法計算，第二次歸總）。

設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)設(shè)計意圖同樣有三：一是表達意識，語言是思維的外殼，對于方法一，老師即便不教，也人人都會做，但會做不一定會說，要人人能清晰表達思路；二是底線思維，確保教材上的兩種解題思路，學(xué)生能深刻理解到位（通過思維可視，讓學(xué)生會列式、會解釋）；三是創(chuàng)新拓展，對于第三種思路，雖然教材上沒有，但不代表沒有學(xué)生想到，更不意味著不可教。

三、再解問題

1.教材上的例3。

某超市一個月賣出5箱保溫壺，每箱12個。每個保溫壺售價45元，一共賣了多少錢？

（1）閱讀理解題意，圈出重要信息（如圖6）。

（2）參照上述解決車庫問題的經(jīng)驗，自主解決該問題。

（3）四人小組討論思路，組內(nèi)互學(xué)。

（4）全班交流。

方法一：45×12×5。（追問：第一步45×12求的是什么？為什么還要再乘5）

生：根據(jù)題意，每箱12個保溫壺，每個保溫壺售價45元，共賣出5箱保溫壺。45×12是先求1箱共賣多少錢。一共有5箱，所以，最后還要乘5。兩步乘法計算，都是在使用“每份數(shù)×份數(shù)＝總數(shù)”的數(shù)量關(guān)系解決問題。

師：這位同學(xué)表述得非常好！她看到了這里面的乘法結(jié)構(gòu)。都是在用二年級學(xué)過的“每份數(shù)×份數(shù)＝總數(shù)”的數(shù)量關(guān)系解決問題。第一次使用該關(guān)系時，每份數(shù)（45元）和份數(shù)（12個）是直接告訴我們的，求出的總數(shù)（540元）當作新的每份數(shù)，再乘份數(shù)5箱，就解決了這個問題。該同學(xué)不僅列出了正確算式，而且給出了合理解釋，好！不僅給出了合理解釋，而且說出了背后的數(shù)學(xué)原理，很好！

方法二：12×5×45。（追問：第一步12×5求的是什么？為什么要再乘45）

生答略。

2.拓展例3。

（1）點贊全班同學(xué)。

出示教材上例3的分析與解答過程。（如圖7）

（2）追問全班同學(xué)。

師：該問題只有這兩種解決方法嗎？對應(yīng)前面的車庫問題，是否還應(yīng)該有第三種解決問題的思路？

此時有學(xué)生舉手表示應(yīng)該有，而且算式也能列出來，就是45×5×12，算算最后結(jié)果也對，也是2700元。但怎么解釋第一步計算的含義，許多學(xué)生陷入了沉思。

（3）引導(dǎo)深度思考。

師：大家的感覺是對的，第三種思路的確存在，但一般人想不到；有些人即便想到了，也很難解釋清楚。所以，我們的教材上沒有編寫。但對于已經(jīng)會換個角度思考問題的大家來說，只要大家能真正換個角度考慮，一定會豁然開朗。

給足時間，讓學(xué)生獨學(xué)、組學(xué)（小組內(nèi)學(xué)）、留學(xué)（跨組學(xué)習(xí)）。

（4）全班交流展示。

生：45×5×12，可以這樣理解。假設(shè)每箱里的12個保溫壺依次豎著排成一排（如圖8左圖）。45×5，求的就相當于第1行保溫壺的總錢數(shù)。而總共有這樣的12行，所以，最后要再乘12。其實，如果橫著擺（如圖8右圖），也照樣能解釋?；蛘哌€可以這樣想：每箱里的保溫壺是否整齊擺放，我們不管了?，F(xiàn)在假設(shè)每箱保溫壺里就只有1個保溫壺，5箱保溫壺也就只有5個保溫壺。45×5算的就是5個的總錢數(shù)（即：假設(shè)前提下5箱的總錢數(shù)），但實際情況是，每箱并非只有1個保溫壺，而是有12個保溫壺。所以，最終5箱保溫壺的總錢數(shù)，是假設(shè)前提下5箱的總錢數(shù)45×5的12倍，最后要再乘12。

師：這位同學(xué)的解釋相當棒！首先把掌聲送給他。這不是一般人能想明白的，但有圖示在這里，我們都可以明白背后的道理，看來，假設(shè)想象，畫圖解釋，是很好的學(xué)習(xí)方法。誰還能像他一樣，清晰地解釋第三種思路？

再找一些學(xué)生重復(fù)思路，讓全班學(xué)生有個慢慢體會的過程。

3.回顧反思。

（1）引導(dǎo)感悟。解決問題的過程中，當我們感覺“山重水復(fù)疑無路”時，只要學(xué)會換個角度思考問題，運用假設(shè)和想象，就有可能“柳暗花明又一村”。

（2）個性分析。三種思路的第一步，分別求的是什么？

方法一：45×12，每箱保溫壺多少錢？

方法二：12×5，一共多少個保溫壺？

方法三：45×5，假設(shè)每箱只有1個保溫壺，5箱保溫壺多少錢？

（3）共性研究。三種思路雖然不同，但背后的共性是什么？

①三個已知條件兩兩相關(guān)，都需要先求出中間問題，才能求出最終問題。

②都是在使用“每份數(shù)×份數(shù)＝總數(shù)”的數(shù)量關(guān)系解決問題，兩次歸總。

設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)設(shè)計意圖依然有三：一是經(jīng)驗遷移，對于例3的學(xué)習(xí)，老師完全可以放手，尤其是有了前面車庫問題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗后。二是面向全體，教材上的兩種解題思路，要讓全體學(xué)生能理解分析到位，不可以教學(xué)要改革、要創(chuàng)新為由，丟失了底線（教材之所以沒安排第三種思路的探究，是因為在面向全體的大前提下，著實有些困難）。三是突破教材，即用教材教，而不是教教材。不是僅僅教教材，不是換個情境圖（或改個數(shù)據(jù)）式的膚淺，更重要的是能突破和超越教材。對于第三種思路，雖然很難想到，但不代表所有學(xué)生想不到，更不意味著學(xué)生都學(xué)不會。

四、拓展運用

1.問題一：文具店一周賣出25盒橡皮，每盒里有4塊橡皮，每塊橡皮2元錢。一共賣了多少錢？

2.問題二：游泳池長25米，小軍游了4個來回，一共游了多少米？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，該題列式與上題一模一樣，相對而言，都有一種方法比較難解釋，但都可以用假設(shè)思路理解清楚。

3.學(xué)生自己創(chuàng)編問題。

變換問題情境，請用25﹑2﹑4這三個數(shù)，再編一個用連乘解決的問題。

學(xué)生感悟到有無窮多的可能。

設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)設(shè)計意圖還是有三：一是遷移應(yīng)用，有了車庫預(yù)學(xué)習(xí)和例3再學(xué)習(xí)這兩次學(xué)習(xí)經(jīng)驗，學(xué)生對連乘問題的結(jié)構(gòu)和思路有了一定體悟，可以遷移到其他應(yīng)用場景；二是看透本質(zhì)，看似毫不相干的兩個問題情境，在數(shù)據(jù)一樣的前提下，列式也一模一樣，背后是同樣的結(jié)構(gòu)和原理，提升學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力；三是引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，觸類旁通，感悟無窮。

五、全課總結(jié)

1.今天學(xué)習(xí)了什么？是怎樣學(xué)習(xí)的？有什么新的學(xué)習(xí)感悟？

2.你還能提出什么新的問題？

學(xué)生回答，略。

教后反思：

如此教學(xué)，優(yōu)勢是基于學(xué)情，突破了教材，在課堂上能有真正的學(xué)習(xí)發(fā)生，即便是學(xué)習(xí)最好的學(xué)生，也會有提升的空間，同時確保了學(xué)習(xí)最弱的學(xué)生也能掌握至少一種思路，而絕大部分學(xué)生能達成教材要求的水平?？芍^較好地體現(xiàn)了中國數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)——抓兩頭、帶中間。劣勢是當學(xué)情基礎(chǔ)相對薄弱時，如此教學(xué)，的確有一定的難度，教材上之所以沒安排第三種思路的探究，的確有很大的合理性。

但筆者想表達的是，一旦學(xué)情允許，在新方案、新課標視域下，在大力提倡核心素養(yǎng)落地的背景下，老師們可以盡力去嘗試。因為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的終極樣態(tài)可以理解為創(chuàng)新精神，本課如此設(shè)計，背后的理念就是創(chuàng)造性教學(xué)理論。

如果有可能，筆者還愿意再進一步，從平面思維拉高到立體想象。再回到車庫問題，既然已經(jīng)在頭腦中橫著拼、豎著拼了，為什么不可以“摞起來”拼呢？而一旦摞起來，不就是立體車庫了嗎（如圖9）？雖然學(xué)生沒學(xué)過立體圖形的體積計算，但在立體車庫的現(xiàn)實背景下，也會有學(xué)生想到從不同角度思考問題，從而得出三種不同的思路和算法，且這三種算法可以和平鋪在地面上的算法一一對應(yīng)起來。也就是說，學(xué)生的思維在二維空間和三維立體之間實現(xiàn)了轉(zhuǎn)換，用現(xiàn)在流行的話說，教學(xué)體現(xiàn)了前后的一致性，實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)化。再用整體教學(xué)的視角分析，豈不是還達成了連乘問題、乘法結(jié)合律和長方體體積計算三者的有機融合，亦可謂實現(xiàn)跨單元（大單元）整體教學(xué)？

當然，以上僅是筆者個人粗淺的認識和實踐，不當之處，敬請各位方家指教！

（作者單位：浙江杭州市文海第二實驗學(xué)校）