在2022年版課標(biāo)的視野下，拷問“倍”的學(xué)習(xí)，不由得要思考下列問題。

一是“倍”的概念的根在哪里。倍表達(dá)的是數(shù)量間的關(guān)系。一方面，表示數(shù)量間關(guān)系離不開數(shù)（數(shù)是對(duì)數(shù)量及數(shù)量關(guān)系的抽象），如教學(xué)分?jǐn)?shù)時(shí)，我們會(huì)強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)既可以表示具體數(shù)量，也可以表示數(shù)量間的關(guān)系，但在自然數(shù)的認(rèn)識(shí)中，我們并沒有有意識(shí)地去強(qiáng)化這種雙重性。對(duì)于“倍”，可以回到數(shù)本身的再認(rèn)識(shí)中去，引導(dǎo)學(xué)生從一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)，上升到一份份去數(shù)數(shù)，即從1到“1”，引出倍的意義。另一方面，數(shù)量間基本的關(guān)系是相等（一樣多），以往是1（一個(gè)個(gè)）層面上的一樣多，現(xiàn)在需要在“1”（一份份）的層面上認(rèn)識(shí)一樣多。倍是份數(shù)層面上兩個(gè)數(shù)量一樣多關(guān)系的發(fā)展，表征了兩個(gè)數(shù)量間幾個(gè)一樣多的關(guān)系。

二是表征數(shù)量關(guān)系的根在哪里。整個(gè)小學(xué)階段，主要學(xué)習(xí)兩個(gè)數(shù)量關(guān)系的模型，即加法關(guān)系的模型和乘法關(guān)系的模型。由此可以窺見，數(shù)量間產(chǎn)生關(guān)系，依據(jù)運(yùn)算的意義。為此，“倍”的認(rèn)識(shí)放在整體視角看，就是在已有的用加、減運(yùn)算表征數(shù)量間關(guān)系的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步用乘、除運(yùn)算來表征數(shù)量間的關(guān)系，教學(xué)中可以把運(yùn)算方法和數(shù)量關(guān)系的表達(dá)勾連起來。

三是本內(nèi)容的核心素養(yǎng)培養(yǎng)點(diǎn)在哪里。核心素養(yǎng)的培育，在數(shù)學(xué)學(xué)科中集中地表現(xiàn)為“三會(huì)”。認(rèn)識(shí)“倍”，重點(diǎn)在于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到觀察周圍事物時(shí)，可以“一個(gè)個(gè)”地去數(shù)與比較，還可以“一份份”地去數(shù)與比較，有時(shí)候還需要將“一個(gè)個(gè)”和“一份份”結(jié)合起來去分析與思考。教學(xué)中，有意識(shí)地往“數(shù)學(xué)地觀察和分析周圍事物”去努力，著眼于豐富學(xué)生這方面的經(jīng)驗(yàn)。

基于以上思考，有了下面的課堂實(shí)踐。

一、從1到“1”，認(rèn)識(shí)1份

師：看大屏幕，今天要學(xué)什么？一起讀課題。

生：（齊）表示數(shù)量關(guān)系。

師：要表示數(shù)量關(guān)系，首先要從觀察開始。

（課件出示6只襪子）

師：請(qǐng)一邊數(shù)一邊把單位帶上。

生：有3雙襪子。

生：有6只襪子。

師：兩個(gè)同學(xué)一下子把可以數(shù)的方法都說出來了。不過有點(diǎn)奇怪，同樣多的襪子，怎么數(shù)的結(jié)果不一樣呢？

生：一只一只地?cái)?shù)，就數(shù)出了6只；一雙一雙地?cái)?shù)，就數(shù)到了3雙。

師：是的，我們不僅可以一只一只地?cái)?shù)，還可以把2只襪子看作1雙（課件演示：2只襪子移在一起），一雙一雙地?cái)?shù)（課件出示1雙），得到3雙（課件出示3雙）。

師：剛才的數(shù)數(shù)我們都是從1開始數(shù)的，這個(gè)1可以有不同的意思，可以表示1只，還可以表示1雙。

師：這樣的經(jīng)驗(yàn)在生活中應(yīng)該有很多，如數(shù)酸奶，可以一瓶一瓶地?cái)?shù)，還可以一組一組地?cái)?shù)（課件出示1瓶酸奶和1組酸奶）；再如數(shù)雞蛋，可以一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，還可以一盒一盒地?cái)?shù)（課件出示1個(gè)雞蛋和1盒雞蛋）。

師：在數(shù)學(xué)中，我們把1只、1瓶、1個(gè)統(tǒng)一起來，可以叫作“1個(gè)”，我們把1雙、1組、1盒也給一個(gè)統(tǒng)一的說法，可以叫作“1份”。

師：仔細(xì)觀察（如圖1），1個(gè)就是1個(gè)，但“1份”呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：2個(gè)及2個(gè)以上的都可以稱作1份。

師：你的想法后面會(huì)有新的變化，現(xiàn)在這么想也沒問題。也就是說1份可以是2個(gè)，還可以是幾個(gè)？

生：（齊）6個(gè)、7個(gè)。

師：1份的具體個(gè)數(shù)是可以變的。（板書“變”）

二、一份份地?cái)?shù)數(shù)和比較，認(rèn)識(shí)1倍

（課件出示2組酸奶，圖略）

師：現(xiàn)在我們應(yīng)該有兩雙眼睛了，一雙眼睛是“一個(gè)個(gè)”數(shù)（板書“一個(gè)個(gè)”），是多少？

生：一個(gè)個(gè)數(shù)是8瓶。

師：還有一雙眼睛，可以“一份份”數(shù)（板書“一份份”），是幾份？

生：2份。

師：認(rèn)真思考一下，2份實(shí)際上是幾個(gè)幾？

生：（齊）應(yīng)該是2個(gè)4，一共有8瓶。

師：（課件出示兩盒雞蛋，圖略）如果數(shù)2份雞蛋呢？

生：應(yīng)該是2個(gè)6，一共有12個(gè)雞蛋。

師：都是數(shù)了2份，為什么最后數(shù)量不一樣呢？

生1：因?yàn)槊糠菅b的東西不一樣多。

生2：每份的數(shù)量不一樣多，最后總數(shù)量也不一樣。

師：就是剛才我們說的：1份的數(shù)量是變的。

師：想一想，兩種東西的數(shù)量間有什么關(guān)系呢？（課件出示：2瓶酸奶和2個(gè)雞蛋）一個(gè)個(gè)比，什么結(jié)果？

生1：它們兩個(gè)的數(shù)量是一樣的。

師：是的，2瓶酸奶和2個(gè)雞蛋是一樣多的。（課件出示“一樣多”）

師：還有“一份份”比，1份雞蛋和1份酸奶比比看，它們一樣多嗎？（課件出示：1份酸奶和1份雞蛋，如圖2）

生：1份是4個(gè)，1份是6個(gè)，不一樣多。

師：如果要一樣多，需要把6個(gè)雞蛋換成幾個(gè)雞蛋？

生：換成4個(gè)雞蛋。

（課件出示：把1盒6個(gè)雞蛋換成1盒4個(gè)雞蛋）

師：（課件出示：水彩筆）如果1桶水彩筆有12色，就是12支，練習(xí)本和水彩筆的數(shù)量一樣多，練習(xí)本需要幾本？

生：需要有12本。

（教師引導(dǎo)學(xué)生看課件，并梳理2瓶酸奶和2個(gè)雞蛋的數(shù)量同樣多，都是2個(gè)；1份酸奶和1份雞蛋的數(shù)量同樣多，都是4個(gè)；1桶水彩筆和1沓練習(xí)本的數(shù)量同樣多，都是12個(gè)）

師：數(shù)量之間進(jìn)行比較，一種情況是一樣多，一樣多的時(shí)候無論是一個(gè)個(gè)比還是一份份比，我們有一種新的說法，它們之間是1倍關(guān)系。（板書“1倍”）

師：一樣多，我們就說本子數(shù)量是水彩筆的1倍，一起說一說。

（學(xué)生嘗試著描述）

生：本子數(shù)量是水彩筆的1倍。

生：雞蛋數(shù)量是酸奶的1倍。

師：雞蛋數(shù)量是酸奶的1倍（課件右邊圖：1份4瓶酸奶、1份4個(gè)雞蛋），說明雞蛋和酸奶是一樣多的。

師：想一想，這里的雞蛋數(shù)量也是酸奶的1倍（課件左邊圖：2瓶酸奶、2個(gè)雞蛋），這兩個(gè)1倍有什么不一樣？

生：一邊是一個(gè)個(gè)數(shù)的，另一邊是一份份比出來的，而且右邊的是4個(gè)雞蛋，左邊的是2個(gè)雞蛋。

師：她把它們的不同說得很清楚，一是比較的方法不同，二是1倍的具體數(shù)量是不同的，但都是一樣多。

師：我們把1倍說清楚了，1倍可以都是2個(gè)、4個(gè)、12個(gè)，還可以是多少？

生：可以是20個(gè)、30個(gè)、50個(gè)……

生：可以是任意數(shù)量，但需要的是一樣多。

三、由此及彼，深度認(rèn)識(shí)2倍

師：又有新情況了。剛才說一樣多就是1倍，如果雞蛋多買了1份，那么雞蛋的數(shù)量是酸奶的幾倍（如圖3）？

生：雞蛋數(shù)量是酸奶的2倍。

師：怎么是2倍了？說說你的想法。

生：剛剛是1倍，也就是4個(gè)，多買了1份，就是2倍。

生：酸奶有4瓶，雞蛋有2個(gè)4，是8個(gè)，8里面有2個(gè)4，所以就是酸奶的2倍。

師：說得很清楚！這4個(gè)雞蛋和酸奶一比，一樣多，還有4個(gè)雞蛋和酸奶再比，又一樣多，2個(gè)一樣多就是2倍。

（課件出示：2個(gè)一樣多，就是2倍）

師：前面我們說“一樣多，就是1倍”，再說清楚一點(diǎn)，可以怎么說？

生：1個(gè)一樣多，就是1倍。

師：現(xiàn)在我們把兩句話放在一起讀一讀。

（課件出示：1個(gè)一樣多，就是1倍；2個(gè)一樣多，就是2倍。學(xué)生齊讀）

師：圓片的個(gè)數(shù)是三角形個(gè)數(shù)的2倍嗎？

（課件出示圖4）

師：判斷一下，這是2倍嗎？說說自己的想法。

生：是2倍。因?yàn)閳A片一共有6個(gè)，三角形有3個(gè)，圓片減去三角形就是1倍，再加上減去的圓片的話就是2倍了。

生：如果先拿第一份和上面三角形比是一樣多，再拿一份和三角形比，也是一樣多，有2個(gè)一樣多是2倍。

師：很清楚，2個(gè)一樣多，所以是2倍。我們?cè)賮碚f一說。

生：（齊）2個(gè)一樣多就是2倍。

師：（課件出示圖5）圓的個(gè)數(shù)是三角形的2倍嗎？

生：不是2倍。因?yàn)榈谝环輬A和上面三角形比同樣是6個(gè)，是1倍；第二份是5個(gè)圓，和上面比不是一樣多，所以不是2倍。

師：（課件出示圖6）現(xiàn)在可以用2倍描述嗎？

生：可以。因?yàn)榈谝粋€(gè)圓和三角形都是1個(gè)圖形，一樣多；再拿第二個(gè)圓和三角形比，也是一樣多，2個(gè)一樣多就是2倍。

師：之前有同學(xué)說，2個(gè)及2個(gè)以上叫1份，現(xiàn)在呢？

生：我發(fā)現(xiàn)1個(gè)也可以看作1份。

師：（課件出示：20個(gè)▲，40個(gè)●）現(xiàn)在直接寫數(shù)給你了，是2倍嗎？為什么呢？

生1：我認(rèn)為是2倍，▲是20個(gè)，●是40個(gè)，40個(gè)減掉20個(gè)，正好20個(gè)，和三角的個(gè)數(shù)一樣，所以是2倍。

生2：40-20-20=0，40是2個(gè)20，1個(gè)20是1倍，2個(gè)20是2倍。

四、多維遷移，拓展認(rèn)識(shí)

師：1個(gè)一樣多是1倍，2個(gè)一樣多是2倍，如果兩樣?xùn)|西之間是3個(gè)一樣多，是幾倍呢？

生：應(yīng)該是3倍。

師：如果它們是5倍關(guān)系，應(yīng)該是幾個(gè)一樣多？

生：5個(gè)一樣多。

師生一起描述：原來幾個(gè)一樣多就是——幾倍，幾倍就是——幾個(gè)一樣多。

師：請(qǐng)大家讀一讀，想一想，圓片有幾個(gè)？

生：三角形有4個(gè)，圓片是三角形個(gè)數(shù)的6倍，1倍就是有4個(gè)，所以4乘6等于24個(gè)。

生：因?yàn)?倍就是1個(gè)4，2倍就是2個(gè)4，6倍就是6個(gè)4，所以圓片個(gè)數(shù)是6×4=24。

五、勾連數(shù)量關(guān)系的表達(dá)，勾連倍和運(yùn)算的聯(lián)系

師：（課件出示圖7）想一想，正方形和五角星的數(shù)量間有什么關(guān)系？

（學(xué)生獨(dú)立練習(xí)，教師巡視，組織全班交流）

師：數(shù)學(xué)課上分享和思考同樣重要，下面我們一起來分享。

師：下面的圖你能看懂嗎（如圖8）？說說你的想法。

生：正方形的個(gè)數(shù)是三角形的4倍。

師：原來不一樣多的時(shí)候可以用幾倍來表示它們之間的關(guān)系。

師：這是誰的作品（如圖9）？來給大家講講你的想法。

生：我喜歡用份做單位，五角星有3個(gè)，正方形有12個(gè)，我在圖上圈了一圈，我發(fā)現(xiàn)正方形比五角星多3份。（在圖上指出多的3份）

師：是的，五角星是1份，正方形是4份，所以是多3份。多3份就是多3倍。原來把幾倍搞清楚了，還可以進(jìn)一步思考多幾倍和少幾倍。

師：還有別的想法嗎？

生：我是一個(gè)個(gè)比的，五角星有3個(gè)，正方形有12個(gè)，正方形數(shù)量比五角星多9個(gè)。

師：原來一個(gè)一個(gè)去比，不一樣多的時(shí)候，可以說它們之間多幾個(gè)或少幾個(gè)。

師：如果不畫圖，用一種方法算，你能不能列式算一算正方形個(gè)數(shù)是三角形的幾倍？

生1：可以用除法計(jì)算，12÷3=4，是4倍。

師：為什么用除法？

生2：圈的每份正方形的數(shù)量是同樣多的，這樣就是平均分，平均分就要用除法。

生3：幾倍就是要知道12里有幾個(gè)3。

師：求幾倍怎么就想成了求幾個(gè)3呢？說說你的想法。

生3：三角形是1倍，三角形有3個(gè)，它問有幾倍，就是有幾個(gè)3。

師：因?yàn)?個(gè)3就是1倍，2個(gè)3就是2倍，有幾個(gè)3就是幾倍。學(xué)會(huì)思考很重要，學(xué)會(huì)表達(dá)同樣很重要。一起把這句話讀一讀：1個(gè)3就是1倍，12里面有幾個(gè)3就是幾倍。

（課件出示12÷3=4）

師：還有一點(diǎn)要提醒大家，在用除法計(jì)算時(shí)要注意，“倍”不是單位名稱，表示的是數(shù)量之間的關(guān)系，不用在算式后面寫單位名稱“倍”。

（學(xué)生點(diǎn)頭表示同意）

師：今天我們有了兩雙眼睛，一雙眼睛是一個(gè)個(gè)地比，還有一雙眼睛就是一份份地比，當(dāng)數(shù)量之間是一樣多的時(shí)候，叫1倍，數(shù)量之間有的時(shí)候不一樣多，就可以說成多幾個(gè)少幾個(gè)，或者說成是幾倍，多幾倍少幾倍（如圖10）。

師：（課件出示圖11）還有這樣一種情況，這種時(shí)候怎么表示它們之間的關(guān)系？

生：可以說1倍還多3。

生：還可以說2倍少1個(gè)。

師：原來我們比較兩個(gè)量之間的關(guān)系，有時(shí)候不僅要一份份地比，還得同時(shí)一個(gè)個(gè)地比。關(guān)于數(shù)量關(guān)系的表達(dá)，今天我們有了新的“眼睛”。關(guān)于倍的知識(shí)，我們以后再進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

（作者單位：江蘇蘇州市姑蘇區(qū)教師發(fā)展中心）