【教學(xué)目標(biāo)】

1.進(jìn)一步認(rèn)識(shí)乘法口訣和對(duì)稱性，掌握乘法口訣尾數(shù)對(duì)稱性的特點(diǎn)。

2.在經(jīng)歷探尋乘法口訣尾數(shù)對(duì)稱性的過程中，感悟數(shù)形結(jié)合思想，積累基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念和推理意識(shí)。

3.體會(huì)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)在生活中的作用與價(jià)值。

【課堂實(shí)錄】

一、導(dǎo)入

師：今天這節(jié)課我們一共要研究五個(gè)問題。（課件出示：1.關(guān)于乘法口訣。2.關(guān)于尾數(shù)。3.關(guān)于對(duì)稱。4.關(guān)于乘法口訣尾數(shù)的對(duì)稱性。5.關(guān)于本節(jié)課的意義）下面就先研究第一個(gè)問題。

（一）關(guān)于乘法口訣。

師：乘法口訣我們大家都很熟悉，你能說一句嗎？

四個(gè)學(xué)生分別說出：四八三十二，九九八十一，三八二十四，七七四十九。

教師依次板書：4×8=32，9×9=81，3×8= 24，7×7=49。

師：乘法口訣有很多，說得完嗎？

生：（隨口回答）說不完。

師：（笑了）不要老師一問“說得完嗎”，大家就馬上回答“說不完”。要?jiǎng)幽X子，其實(shí)口訣就那么幾句，當(dāng)然說得完。好了，第一個(gè)問題解決了，就叫作乘法口訣，難嗎？

生：不難。

【賞析】劉老師開門見山，清晰明了，同時(shí)充滿童趣。重要的是，劉老師沒有人為地“設(shè)計(jì)乘法口訣”，而是大膽地把學(xué)生的生成當(dāng)成例題和素材，教學(xué)內(nèi)容是學(xué)生即時(shí)生成的，這增加了教學(xué)的親切感和可信度，使學(xué)生積極主動(dòng)地參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了“以生為本”的生態(tài)課堂。

（二）關(guān)于尾數(shù)。

師：下面研究第二個(gè)問題——“關(guān)于尾數(shù)”。大家都知道，任何一句乘法口訣都有得數(shù)，得數(shù)里就有尾數(shù)。你知道這個(gè)尾數(shù)是什么意思嗎？

生：尾數(shù)的意思就是：比如最后那句七七四十九，結(jié)果49后面的9就是尾數(shù)。

生：那要是三三得九呢？

師：?jiǎn)柕煤?！善于提出問題，特別是主動(dòng)提出問題，是特別好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

教師補(bǔ)充板書：3×3=9。

師：9的尾數(shù)是——

生：9是一位數(shù)，9就是尾數(shù)。

師：真不錯(cuò)！那我們一起說一說，這幾句乘法口訣得數(shù)的尾數(shù)分別是幾？（教師指板書）

生：32的尾數(shù)——2，81的尾數(shù)——1，24的尾數(shù)——4，49的尾數(shù)——9，9的尾數(shù)——9。

師：尾數(shù)嘛，就是“尾巴上的數(shù)”（有學(xué)生笑了），也就是個(gè)位上的數(shù)，對(duì)吧？下面我們研究第三個(gè)問題。

（三）關(guān)于對(duì)稱。

師：第三個(gè)問題，“關(guān)于對(duì)稱”。對(duì)稱，學(xué)過嗎？

生：學(xué)過。

師：軸對(duì)稱圖形，大家可能還記得，一個(gè)圖形，如果把它對(duì)折以后能做到完全重合的話（教師雙手做對(duì)折手勢(shì)），那它就是軸對(duì)稱圖形。生活中對(duì)稱的現(xiàn)象特別多，誰能舉個(gè)例子？

生：蝴蝶的翅膀、花紋是對(duì)稱的。

生：愛心也是對(duì)稱的。

生：長方形和圓都是對(duì)稱的。

師：沒錯(cuò)，很多很多。同學(xué)們往黑板上看，剛才劉老師寫了10個(gè)字的課題“乘法口訣尾數(shù)的對(duì)稱性”，如果我們?cè)谥虚g畫一條虛線當(dāng)作對(duì)稱軸的話（教師在“尾”和“數(shù)”中間畫虛線）。我們看看兩邊，不看字的形狀，只看位置，你看有沒有對(duì)稱的關(guān)系？你發(fā)現(xiàn)誰和誰對(duì)稱？

生答略，效果如圖1。

師：真好！大家看得很清楚。我再出幾個(gè)數(shù)，看我這里。

教師在黑板上粘貼磁性數(shù)字卡片，如圖2。

師：如果以5為對(duì)稱軸，是不是兩邊也有對(duì)稱關(guān)系？哪位同學(xué)能一個(gè)人把所有的對(duì)稱關(guān)系都說出來？

生：1和9是對(duì)稱的，2和8是對(duì)稱的，3和7是對(duì)稱的，4和6是對(duì)稱的。

師：很好，很完整，也很有順序?？墒撬趺床徽f5和誰對(duì)稱呀？

生：（紛紛地）5和自己是對(duì)稱的。

師：你們說的也有道理吧。其實(shí)5正好在對(duì)稱軸上，我們就再也找不到另外一個(gè)數(shù)和它相對(duì)應(yīng)了，因此在這里沒有和5相對(duì)稱的數(shù)。

【賞析】學(xué)生之前學(xué)習(xí)的“對(duì)稱”是圖形的對(duì)稱，其實(shí)對(duì)稱也是一種關(guān)系。為了理解這種關(guān)系，劉老師利用文字之間和數(shù)字之間的位置關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生展開想象，從而找到它們的對(duì)稱性，既打破思維定式，發(fā)展了空間想象力，又感受到數(shù)學(xué)的美妙。

二、新授

（一）直觀感受乘法口訣尾數(shù)相同時(shí)位置的對(duì)稱性。

師：下面我們研究第四個(gè)問題“關(guān)于乘法口訣尾數(shù)的對(duì)稱性”。

師：這是什么意思呢？我們舉個(gè)例子，比如剛才有同學(xué)說了一句口訣：九九八十一，尾數(shù)是1，你覺得還有哪句乘法口訣的尾數(shù)也是1？

生：三七二十一。

生：還有一一得一。

教師板書：9×9=81，3×7=21，1×1=1。

師：（慎重地）還有嗎？

生：（果斷地）沒有了。

師：能夠很快做出否定的判斷，也是需要勇氣的。

師：尾數(shù)是1的口訣一共有3句，我們這樣做，還是看“九九八十一”，我在數(shù)字卡片9的下面貼2個(gè)磁珠來表示2個(gè)9相乘，明白嗎？

生：（點(diǎn)點(diǎn)頭）嗯，明白。

師：誰到前面來帖“一一得一”？要是貼對(duì)了，請(qǐng)給他鼓鼓掌，表示贊同和鼓勵(lì)。

一位學(xué)生在“1”下面擺了2個(gè)磁珠，其他學(xué)生熱烈鼓掌。

師：大家注意到了嗎？這2個(gè)珠子（9下面的）和這2個(gè)珠子（1下面的），如果以5為對(duì)稱軸的話，怎么樣？

生：（興奮地）是對(duì)稱的。

師：對(duì)呀！居然是對(duì)稱的，好玩吧？

生：（享受地）好玩！

另一個(gè)學(xué)生擺“三七二十一”，3下面擺1個(gè)珠子，7下面擺1個(gè)珠子。

師：鼓掌吧！大家看對(duì)稱軸的左邊和右邊，想象一下，如果能夠?qū)φ鄣脑挘ㄗ鰧?duì)折的動(dòng)作），怎么樣？

生：一樣。

師：別說一樣，應(yīng)該說完全重合。

生：（齊）完全重合。

最后效果如圖3所示。

師：好了。再看黑板，剛才還有同學(xué)說“四八三十二”，那么尾數(shù)是2的乘法口訣還有哪些呢？

學(xué)生找到尾數(shù)是2的乘法口訣一共有6句，教師一一板書。學(xué)生依次到前面來，把這6句口訣的因數(shù)貼到相對(duì)應(yīng)的數(shù)字下面，如圖4。

師：好了孩子們，對(duì)稱嗎？

生：（鼓掌）對(duì)稱！

【賞析】“乘法口訣”和“對(duì)稱性”分別屬于不同年級(jí)、不同領(lǐng)域、不同單元。劉老師創(chuàng)造性地把貌似毫無關(guān)聯(lián)的兩個(gè)內(nèi)容“交”在一起“相通”整合。通過“貼磁珠”，引導(dǎo)學(xué)生在做中學(xué)，直觀感受乘法口訣中相同尾數(shù)的位置對(duì)稱性，培養(yǎng)學(xué)生從不同角度思考問題。

（二）數(shù)形結(jié)合體會(huì)乘法口訣相同尾數(shù)形成的對(duì)稱性。

師：下面我們進(jìn)一步研究這個(gè)問題。尾數(shù)是1的口訣有3句，我們?cè)诔朔谠E表上把它們表示出來。當(dāng)然，這個(gè)口訣表只有得數(shù)（如圖5）。

師：來，觀察一下，這是什么圖形？

生：（齊）三角形。

師：不僅是一個(gè)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的三角形，而且是——

生：（信心滿滿地）對(duì)稱的三角形。

師：對(duì)，這個(gè)三角形有2條邊相等，是軸對(duì)稱圖形。那么對(duì)稱軸在哪里呢？

學(xué)生用手指在空中斜著畫直線。

師：我們?cè)倏纯次矓?shù)是2的口訣，一共有6句，我們依然按順序把它們連接起來，得到的是什么圖形（如圖6）？

生：梯形。

師：（欣喜地）啊，你們還知道梯形??！這個(gè)梯形也是軸對(duì)稱的。我們?cè)佼嫵鏊膶?duì)稱軸，像什么？

生：（驚喜地）像一把弓，還有箭。

生：對(duì)稱軸是箭。

【賞析】通過研究尾數(shù)是1或2的乘法口訣各有幾句，以及在乘法口訣表里找到尾數(shù)相同的得數(shù)并連接起來，劉老師引導(dǎo)學(xué)生在這個(gè)過程中體會(huì)到“數(shù)”與“點(diǎn)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在形成的圖形中建立“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，滲透數(shù)形結(jié)合思想。伴隨著直觀圖的呈現(xiàn)，學(xué)生不斷經(jīng)歷著從“眼中有圖”到“腦中有圖”的過程，不斷想象圖形的形狀，發(fā)展幾何直觀能力。

（三）探究乘法口訣尾數(shù)相同句數(shù)之和的對(duì)稱性。

學(xué)生在老師的指導(dǎo)下，隨機(jī)地把尾數(shù)是1～9的所有圖形都在課件中展示了出來，而且各有多少句口訣也在黑板上書寫出來（如圖7）。

師：還有一個(gè)規(guī)律不知道你們發(fā)現(xiàn)沒有。最左邊3加6等于9。

生：右邊6加3也等于9。

師：很好，接著說。

生：2加7等于9，7加2也等于9。

師：1個(gè)9，2個(gè)9，3個(gè)9，4個(gè)9，尾數(shù)是5的口訣只有5句，要是有9句就好了，正好就是45句口訣。好像丟了幾句，我們?cè)谀睦飦G了4句口訣？

大家都茫然了，面面相覷。

生：（忽然發(fā)現(xiàn)）丟了尾數(shù)是0的。

很多學(xué)生都表示贊同。

師：好，鼓掌祝賀！好多人往往只能看得到我們看得到的東西，看不到不容易看到的東西。滿黑板都是我們能看到的，而這位同學(xué)卻看到了黑板上沒有的尾數(shù)是0的口訣，這種能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的眼光就是非常有價(jià)值的能力。那么尾數(shù)是0的口訣有嗎？

生：有，四五二十，二五一十，五六三十，五八四十。

生：（紛紛地）一共有4句。

就這樣，老師繼續(xù)帶領(lǐng)學(xué)生在口訣表上，完成了尾數(shù)是1～9以及0的研究任務(wù)，畫出來一個(gè)又一個(gè)軸對(duì)稱圖形，這里就不再贅述了。

不過有兩個(gè)情況需要說明一下：

1.尾數(shù)是5的乘法口訣有5句，尾數(shù)是0的乘法口訣有4句，一共9句，它們可以在同一個(gè)等腰直角三角形上（如圖8）。

2.尾數(shù)是3或7的乘法口訣都只有2句，在圖上只能畫出一條線段（如圖9所示為尾數(shù)是3的情況），而線段也應(yīng)被認(rèn)為是軸對(duì)稱圖形。

主要板書如圖10。

【賞析】當(dāng)有學(xué)生發(fā)現(xiàn)丟掉了尾數(shù)是0的乘法口訣時(shí)，劉老師充滿智慧的評(píng)語“好多人往往只能看得到我們看得到的東西，看不到不容易看到的東西”，鼓勵(lì)學(xué)生逐步形成敢于質(zhì)疑、深入思考的科學(xué)態(tài)度。

三、總結(jié)

師：剛才我們辛辛苦苦地研究了半天，劉老師忽然發(fā)現(xiàn)我們?nèi)?）班的同學(xué)，包括我在內(nèi)，好像都有點(diǎn)懵。

學(xué)生有些茫然。

師：你看，我們今天研究的這節(jié)課，數(shù)學(xué)書上沒有，除了咱們?nèi)?）班，其他三年級(jí)，甚至全國三年級(jí)小朋友都不學(xué)這個(gè)內(nèi)容，而且考試也不考這些東西，你說我們學(xué)這干嗎，有什么用？這就涉及我們今天研究的第五個(gè)問題?？雌聊?，第五個(gè)問題是“關(guān)于本節(jié)課的意義”。這節(jié)課的價(jià)值在哪？意義是什么？為什么要上這節(jié)課？因?yàn)槌朔谠E和軸對(duì)稱圖形看起來毫無關(guān)系，實(shí)際上是有聯(lián)系的。知識(shí)間都是相通的。我寫一寫（準(zhǔn)備板書）。同學(xué)們，我要寫的是相通還是相同？

生：相通。

師：那相同是什么意思？

生：一樣。

師：軸對(duì)稱圖形和乘法口訣一樣嗎？

生：不一樣。

師：雖然不一樣，不相同，但是它們是相通的。可以這樣說，它們不同但是相通。這個(gè)“通”特別重要，而且在漢語里用“通”可以組很多詞，誰來組詞？

生：暢通，通過，通道，通關(guān)。

師：不錯(cuò)。劉老師也搜集了一些詞語，用“通”組詞較為重要的有——

課件出示，學(xué)生齊讀：交通、溝通、貫通、普通、相通、通行、通話、通訊、通商、通航、通道、通過、通風(fēng)、通讀、通分、通順、通暢、通透、通識(shí)、通達(dá)。

師：很好，我們這節(jié)是語文課嗎？

生：不是，是數(shù)學(xué)課。

師：我們干嗎要說這么多關(guān)于“通”的詞語，是在做組詞練習(xí)嗎？

生：也不是。

師：那是為什么？

生：因?yàn)椤巴ā焙苤匾?/p>

師：（十分肯定地）對(duì)極了！“通”很重要，很有意義。中國古代有一本書大家可能不太熟悉，叫作《易經(jīng)》。

生：《易經(jīng)》？

師：對(duì)?！兑捉?jīng)》這本書很早，大約2000多年前，春秋時(shí)期，就是孔子生活的那個(gè)年代，是一部博大精深的古代哲學(xué)經(jīng)典著作?！兑捉?jīng)》里有這樣一句話，可能對(duì)我們?nèi)?）班同學(xué)很有幫助，大家請(qǐng)看——（出示課件，如圖11）這是篆書，大家可能不太熟悉，現(xiàn)在大家寫字經(jīng)常用的是楷書，也叫楷體。試試看，能不能讀出來。

生：（邊笑邊猜）天……地……

師：這種字體很難認(rèn)，還是我來寫吧。

教師板書：天地交而萬物通。

師：來，讀一遍。（生讀）什么意思？誰能試著解釋解釋？

生：我覺得意思是天和地是相通的。

生：所有的東西都是相通的。

師：真好，鼓掌祝賀。古人認(rèn)為天是最高的，地是最低的，那么在天地之間所有的萬物都是相通的。其實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)之間是相通的，數(shù)學(xué)和語文之間、和體育之間、和外語之間，甚至和我們生活的方方面面之間都是相通的。萬物都是相通的，用這種思想指導(dǎo)自己的學(xué)習(xí)，特別有幫助。

【賞析】乘法口訣尾數(shù)的對(duì)稱性是教材中沒有的內(nèi)容，這是劉老師自己設(shè)計(jì)、自己執(zhí)教的一節(jié)拓展課，也可以稱為整合課。這節(jié)課的意義是什么？劉老師最后給出了答案：“相通”是這節(jié)課的靈魂。在劉老師的課中，我們可以看到：乘法口訣和對(duì)稱性是相通的，數(shù)與形是相通的，數(shù)學(xué)學(xué)科與語文學(xué)科是相通的，數(shù)學(xué)與生活是相通的，數(shù)學(xué)與哲學(xué)是相通的……正如《易經(jīng)》中所說：“天地交而萬物通?！比f物之間都是相通的，這是多么了不起的發(fā)現(xiàn)！

2022年版課標(biāo)中強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，要關(guān)注知識(shí)的整體性、一致性和階段性。其實(shí)也是在提醒我們教師教學(xué)時(shí)要注意聯(lián)系，具有“天地交而萬物通”的意識(shí)。只有這樣，才能像劉老師一樣，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，上出以數(shù)學(xué)文化為底蘊(yùn)，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維為本質(zhì)，以哲學(xué)為指導(dǎo)思想的有意義的好課。

劉老師三十年前就提出了“跳出數(shù)學(xué)教數(shù)學(xué)”的主張，其中涵蓋“跳出教材教數(shù)學(xué)”“跳出教室教數(shù)學(xué)”“跳出教師教數(shù)學(xué)”“跳出學(xué)科教數(shù)學(xué)”等，把教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程以及教學(xué)形式與生活實(shí)踐相結(jié)合，與立德樹人相結(jié)合，在更廣闊的天地間開展教學(xué)活動(dòng)，體現(xiàn)出生活中處處有數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)中也處處有生活的道理，這樣的數(shù)學(xué)教育令人敬佩，也激勵(lì)我們不斷前行。

（作者單位：北京教育學(xué)院宣武分院，北京教育學(xué)院附屬大興實(shí)驗(yàn)小學(xué)）