乘法不僅與“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)、比例等概念和相關(guān)運算定律有關(guān)，而且與“圖形與幾何”領(lǐng)域的周長、面積、體積等概念和計算公式也有密切聯(lián)系。建構(gòu)乘法意義、形成乘法模型，可以讓兒童更好地掌握小學(xué)階段的基本數(shù)學(xué)概念、法則和原理。但在實際教學(xué)中的情況如何呢？

【一道題引發(fā)的思考】

這是一道二年級上學(xué)期的期末試題（如圖1），主要測評學(xué)生“在具體情境中理解乘法運算的意義”的水平，通過對G區(qū)地處城市、農(nóng)村的三個班級共162份樣卷的分析，大致可以分為圖中的4種典型作答情況。學(xué)生對于“乘法意義”的不同理解水平引發(fā)我們的深入思考。

思考一：兒童為什么會用數(shù)數(shù)的方法求總數(shù)？

為什么經(jīng)過一學(xué)期23個課時關(guān)于“乘法意義及其運算”的專項學(xué)習(xí)后，當學(xué)生遇到一個“零散的實物堆”情境圖時，還是用數(shù)數(shù)的方法求總數(shù)呢？張奠宙教授明確指出：自然數(shù)的加法說白了就是數(shù)數(shù)。A、B兩堆石子，先數(shù)A堆的a顆，接著數(shù)B堆的b顆，最后的結(jié)果就是（a＋b）顆。當代數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的一個經(jīng)典結(jié)果就是用數(shù)數(shù)這樣一種行為性的操作活動來形成自然數(shù)的概念。加法概念不是來自更多的小石子，而是來自添加或合并的操作活動。

思考二：如何讓兒童理解乘法、加法運算和數(shù)數(shù)的一致性？

乘法運算可以追溯到加法，而加法運算可以追溯到數(shù)數(shù)。這樣，就保持了運算的一致性。數(shù)數(shù)是學(xué)習(xí)乘法意義的起點，要讓兒童經(jīng)歷數(shù)數(shù)的過程，認識到乘法與加法是同構(gòu)的。因此，“乘法的初步認識”的教學(xué)可以從數(shù)數(shù)活動引入，引導(dǎo)學(xué)生感受加法與數(shù)數(shù)的一致性；接著在解決“多個相同數(shù)連加問題”的過程中，引導(dǎo)學(xué)生初步理解乘法是同數(shù)（整數(shù)）相加的簡便運算。

【“乘法的初步認識”重安排】

一、激活數(shù)數(shù)經(jīng)驗，感受加法與數(shù)數(shù)的一致性

數(shù)數(shù)是兒童最早的也是最普遍的關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動經(jīng)驗。如果只是從教材主題圖中的3道加法算式引出乘法，那么，既不能加深兒童對乘法與加法之間聯(lián)系的認識，也不能有效地激發(fā)其“求簡”的愿望。因此，我們精心創(chuàng)設(shè)了豐富的數(shù)數(shù)活動，引導(dǎo)兒童列舉更多的、更長的同數(shù)相加的算式，在順承數(shù)數(shù)經(jīng)驗的同時，乘法的意義呼之欲出。

1.用課件出示圖2：

師：一共有多少個山楂？

生：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。

師：1個1個地數(shù)，數(shù)了12次，一共有12個山楂。還可以怎么數(shù)？

生：還可以3個3個地數(shù)，3、6、9、12。

師：你能根據(jù)自己的數(shù)法列出算式嗎？

生：3＋3＋3＋3=12（個）。

2.用課件出示圖3：

師：黃瓜又有多少根呢？

生：可以5個5個地數(shù)，5、10、15，算式是5＋5＋5=15（根）。

師：真好，這比1個1個地數(shù)數(shù)更加簡便了。

師：大家認真觀察一下，這兩個加法算式有什么相同點？

生1：加數(shù)都相同。

生2：第1題是4個3相加，第2題是3個5相加。

師：生活中也有這樣用相同數(shù)連加來解決的問題嗎？

生：1只螞蟻有6條腿，3只螞蟻一共有6＋6＋6=18（條）腿。

生：在學(xué)校吃午餐時，每人發(fā)2個小蜜橘，全班就要發(fā)2＋2＋2＋……一口氣說不完了。

生：這樣寫太麻煩了，有簡單些的寫法嗎？

二、再編繪本情境，發(fā)現(xiàn)乘法與加法的一致性

乘法的意義是不斷豐富、發(fā)展起來的，弗賴登塔爾、格里爾等都對乘法的現(xiàn)實模型進行研究，總體而言，乘法主要包括等組模型、倍數(shù)模型、矩形模型和笛卡兒積模型等。以上四種模型中，最基本的是第一種模型，其他幾種模型都可以轉(zhuǎn)化為第一種模型，但其缺點是只能寫出一個加法算式。而矩形模型不僅直觀，而且可以多元表示，寫出兩個不同的加法算式。為了幫助兒童深入理解一個加法算式可以寫出兩個乘法算式，一個乘法算式對應(yīng)兩個加法算式，我們精心再編了《幸運農(nóng)夫的三個寶貝》的繪本情境，拾級而上地使用等組模型和矩形模型，讓低年級兒童在“善”的故事、“美”的畫面中，真正理解“乘法是加法的簡便運算”的內(nèi)涵。

1.女兒剝的花生——在等組模型中發(fā)現(xiàn)特殊加法的簡便。

師：大家在生活中遇到過相同數(shù)連加的情況，國外的小朋友也有相似的經(jīng)歷。在一個僻靜的村子里，住著一個勤勞的農(nóng)夫。有一天，他在地里勞動時發(fā)現(xiàn)了一個五彩袋，于是趕緊回家送給了寶貝女兒。女兒把正在剝的2顆花生放進了五彩袋，神奇的事情發(fā)生了……（如圖4）

師：一共有多少顆花生？你是怎么知道的？

生：2＋2＋2＋2＋2＋2＋2=14（顆）。

生：我可以列出7×2=14（顆）來計算。

師：出現(xiàn)乘法算式了，同學(xué)們有什么不明白的問題，可以大膽地提出來。

生：“×”是什么意思？

生：7是怎么來的？2表示什么意思？

生：7×2又表示什么呢？

師：大家提的問題很有價值，我們一起來認真觀察。

課件出示圖5：

師：你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：這3道題里的加數(shù)都相同。

師：對，我們剛才數(shù)山楂的總個數(shù)時，每次數(shù)3，數(shù)了4次；數(shù)黃瓜的總根數(shù)時，每次數(shù)5，數(shù)了3次；數(shù)花生的總顆數(shù)時，每次數(shù)2，數(shù)了7次。像這樣把幾個相同數(shù)加起來就可以用乘法表示。

教師結(jié)合課件的動態(tài)演示，介紹乘號的來源。（如圖6）

師：這樣，我們在求花生的總顆數(shù)時，除了可以用2＋2＋2＋2＋2＋2＋2=14來計算，還可以寫成乘法算式：2×7=14或7×2=14?，F(xiàn)在你知道2表示什么，7又表示什么了嗎？

生：2表示每次數(shù)2個，7表示數(shù)了7次。由此我還解決了一個新問題，上一周我會背誦《春江花月夜》了，大家知道嗎，這首七言長詩一共有36句，252個字。要是用以前的加法算式來表示，恐怕要寫上兩三行，但今天學(xué)過乘法后，就可以簡簡單單列式為36×7=252，或者7×36=252，太方便了！

2.媽媽喜歡的花——在矩形模型中闡發(fā)乘法的意義。

師：農(nóng)夫的妻子看見五彩袋也很好奇，就把自己最喜歡的花放進去，不一會兒，五彩袋就變得鼓鼓囊囊，一朵又一朵的花飛出來，她認真地數(shù)了數(shù)花的總數(shù)，正好可以用乘法算式5×3來表示。大家能用自己的學(xué)具擺一擺嗎？

學(xué)生操作后，呈現(xiàn)不同的擺法：（如圖7）

師：看來大家擺的小花圖有些不同，哪些方法是正確的呢？

生：第一種是正確的，因為每次數(shù)5朵，這樣數(shù)3次，就是有3個5相加，可以列成乘法算式5×3。

生：第二種也對，因為每堆擺3朵花，擺5堆，就可以表示5×3。

生：第三種比較特殊，橫著看是3個5，豎著看是5個3，都可以用乘法算式5×3來表示。

師：明白了，原來一個乘法算式可以表示兩種意義，最后一種擺法對嗎？

生：不對，他雖然也用到了5和3，但是她擺的是5＋3，是把5和3直接合起來，而不是3個5相加。

師：如果五彩袋又變出了3×10朵花，一共會是多少朵呢？

生：10個3相加不好算，但3個10加起來就簡單得多，我們可以用10＋10＋10=30。

生：我發(fā)現(xiàn)了，雖然兩個加法算式改寫成的乘法算式寫法一樣，但由于乘數(shù)表示的意思不一樣，所以一個表示的是10個3相加，另一個表示的是3個10相加。

生：是的，“10個3相加”和“3個10相加”都可以寫成10×3或3×10。但只要是表示“10個3相加”的含義，就是指每次數(shù)3，數(shù)了10次；而“3個10相加”就是指每次數(shù)10，數(shù)了3次。

三、解決實際問題，領(lǐng)悟運算與數(shù)數(shù)的一致性

兒童從數(shù)數(shù)的經(jīng)驗、加法的經(jīng)驗出發(fā)，在計算多個相同數(shù)相加時產(chǎn)生求簡的樸素愿望，他們通過“多個數(shù)相加”“換一種算式表示相加”“同一個算式表示的意義不同”的探索過程，初步理解了“乘法是加法的簡便運算”的內(nèi)涵，將乘法納入了“特殊加法”的運算結(jié)構(gòu)。但這還不是“乘法的初步認識”的終點，我們要讓乘法回到真實且復(fù)雜的生活情境中去，使學(xué)生領(lǐng)悟乘法和加法運算與數(shù)數(shù)的一致性，以促進他們在將來學(xué)習(xí)除法運算時，發(fā)現(xiàn)除法也依然是數(shù)數(shù)活動，只是除法與乘法有“倒著數(shù)”“正著數(shù)”的區(qū)別。為了促進兒童深刻領(lǐng)悟乘法和加法運算與數(shù)數(shù)的一致性，認識到運算是“快速地數(shù)數(shù)”，而乘法相對于加法來說“數(shù)得更快”，我們精心設(shè)計真實且復(fù)雜的生活情境，著力打造低門檻、多層次、大空間的“看圖列乘法算式”（如圖8）。即第1題是乘法意義的鞏固；第2題是“解決問題”的雛形，4是顯性的，2是隱性的；第3題通過圈一圈自主確定加數(shù)，可以是1、2、3、4、6中的任意一種；第4題是“創(chuàng)造乘法”，將2本書移到4本書上，變出相同加數(shù)“6”。

【本文系河南省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2017年度一般課題“指向兒童數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的問題情境創(chuàng)設(shè)的研究與實踐”（編號：2017—JKGHYB—0485）的研究成果之一】

（作者單位：河南鄭州市管城回族區(qū)教體局教師發(fā)展研究中心）