《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》指出，要全面推進(jìn)基于核心素養(yǎng)的考試評價，強化考試評價與課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)的一致性，促進(jìn)“教—學(xué)—評”有機銜接。要實現(xiàn)這一目標(biāo)，就需要思考：“核心素養(yǎng)該怎么評？又該如何教？”“在設(shè)計和實施具體核心素養(yǎng)評價時，必須深入理解相應(yīng)核心素養(yǎng)的準(zhǔn)確內(nèi)涵和表現(xiàn)?！盵1]

2022年版課標(biāo)指出，通過“三會”培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，并將“三會”具體分為11個主要表現(xiàn)，然后分別界定了它們的內(nèi)涵、表現(xiàn)與作用。具體、明確的表現(xiàn)為核心素養(yǎng)目標(biāo)的落實和評價提供了有效抓手，但針對具體教學(xué)內(nèi)容，關(guān)于核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與表現(xiàn)的闡述仍然比較籠統(tǒng)、抽象。例如，數(shù)感的表現(xiàn)之一是“能夠在真實情境中理解數(shù)的意義”，那么落實到某個特定單元，學(xué)生“理解數(shù)的意義”的具體行為表現(xiàn)是什么？“真實情境”包括哪些？素養(yǎng)目標(biāo)在某個單元中是否有明確的評價標(biāo)準(zhǔn)或表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)？如果有，怎樣劃定？由于課標(biāo)是國家綱領(lǐng)性文件，不可能詳細(xì)地闡述核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)在具體內(nèi)容單元中的評價標(biāo)準(zhǔn)，為此，在落實素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)時就需要做如下工作：對照2022年版課標(biāo)內(nèi)容明確素養(yǎng)目標(biāo)的內(nèi)涵與評價指標(biāo)，再依據(jù)評價指標(biāo)分析教材和地區(qū)測評內(nèi)容，研制出素養(yǎng)目標(biāo)的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)，這是實現(xiàn)“教—學(xué)—評”一致性的前提。當(dāng)然，這樣做是基于以下假設(shè)：教材內(nèi)容及區(qū)域測評嚴(yán)格按照課標(biāo)進(jìn)行，不“超標(biāo)”。下面以“大數(shù)的認(rèn)識”單元所對應(yīng)的數(shù)感目標(biāo)為例進(jìn)行闡述。

一、讀懂課標(biāo)與相關(guān)文獻(xiàn)，明確數(shù)感的內(nèi)涵

自從數(shù)感一詞出現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，研究者對數(shù)感的理解眾說紛紜，但它只是我們“對數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式的意識，以及運用這種意識靈活地解決數(shù)字問題的能力”[2]。這些問題一般來說是開放的，具有現(xiàn)實意義且指向高階思維能力。因此，基于對已有文獻(xiàn)尤其是課標(biāo)的分析，數(shù)感應(yīng)該是“能夠應(yīng)用數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系來解決真實情境問題，并在交流中對結(jié)果進(jìn)行合理分析、評價、判斷的意識和能力”。

課標(biāo)是基于大量的文獻(xiàn)與實踐經(jīng)驗制定的，它是教學(xué)和評價的主要依據(jù)。2001年，數(shù)感第一次出現(xiàn)在課標(biāo)中，2001年版課標(biāo)將數(shù)感的主要表現(xiàn)歸納為六個方面：“理解數(shù)的意義；能用多種方法來表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系；能用數(shù)來表達(dá)和交流信息；能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎ荒芄烙嬤\算的結(jié)果，并對結(jié)果的合理性作出解釋?！笨梢钥闯?，這六個方面既包括了知識、技能目標(biāo)（如理解數(shù)的意義），也包括了素養(yǎng)目標(biāo)（如在具體情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系）。素養(yǎng)的養(yǎng)成以知識、技能為基礎(chǔ)，但又不等同于知識、技能，核心素養(yǎng)“超越了簡單的知識記憶和技能訓(xùn)練，指向真實情境中的問題解決”[3]?！耙侠頊y評核心素養(yǎng)，只有依賴于創(chuàng)設(shè)合理的、真實的任務(wù)情境，才有可能實現(xiàn)?！盵1]由此可見，問題（任務(wù)）情境是實現(xiàn)素養(yǎng)目標(biāo)的重要載體。2001年版課標(biāo)并沒有在數(shù)感的表現(xiàn)中強調(diào)真實情境，只有一次提到了具體情境（但并不等同于真實或現(xiàn)實情境），沒有很好地區(qū)分素養(yǎng)目標(biāo)與知識、技能目標(biāo)。

2011年版課標(biāo)中并未給出數(shù)感的具體表現(xiàn)，只是界定了數(shù)感的內(nèi)涵：“主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟?！?022年版課標(biāo)結(jié)合前兩版課標(biāo)的闡述，對數(shù)感的內(nèi)涵和表現(xiàn)進(jìn)行了界定。數(shù)感的內(nèi)涵為：“主要是指對于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運算結(jié)果的直觀感悟。”具體表現(xiàn)為：“能夠在真實情境中理解數(shù)的意義，能用數(shù)表示物體的個數(shù)或事物的順序；能在簡單的真實情境中進(jìn)行合理估算，作出合理判斷；能初步體會并表達(dá)事物蘊含的簡單數(shù)量規(guī)律?！?022年版課標(biāo)將2001年版課標(biāo)中“理解數(shù)的意義”修改為“能夠在真實情境中理解數(shù)的意義”，將“能估計運算的結(jié)果，并對結(jié)果的合理性作出解釋”修改為“能在簡單的真實情境中進(jìn)行合理估算，作出合理判斷”，由此可見，2022年版課標(biāo)更加強調(diào)真實情境在素養(yǎng)表現(xiàn)中的價值，較好地區(qū)分了知識、技能目標(biāo)與素養(yǎng)目標(biāo)。對數(shù)感的內(nèi)涵、表現(xiàn)的澄清，能夠幫助我們準(zhǔn)確、合理地選擇和界定評價數(shù)感的維度，構(gòu)建數(shù)感評價指標(biāo)。

二、根據(jù)課標(biāo)的描述與學(xué)生的認(rèn)知特點，確定評價指標(biāo)體系

根據(jù)課標(biāo)的描述可知，評價數(shù)感的內(nèi)容維度主要體現(xiàn)在以下三個方面：感悟?qū)ο螅ㄔ谧匀粩?shù)認(rèn)識中主要是數(shù)與數(shù)量）、感悟過程（由問題情境的復(fù)雜度決定）與結(jié)果表示。問題情境既包括現(xiàn)實情境，也包括稍復(fù)雜的數(shù)學(xué)情境。認(rèn)知水平維度主要需要考慮學(xué)生思維過程的抽象度、復(fù)雜度，從低到高劃分為不同水平層級。抽象度指從直觀感知到抽象推理甚至創(chuàng)造水平。復(fù)雜度指從單一關(guān)系到復(fù)雜關(guān)系，例如：多位數(shù)涉及多個計數(shù)單位、不同計數(shù)單位之間的進(jìn)率；問題情境中有的只關(guān)涉單一數(shù)量關(guān)系，有的則關(guān)涉多個。

基于此，我們構(gòu)建了數(shù)感在自然數(shù)認(rèn)識內(nèi)容中的評價指標(biāo)及水平層級（如表1），其中，縱向是數(shù)感的內(nèi)容維度，橫向則依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知過程進(jìn)行水平劃分。

在感悟?qū)ο缶S度，位數(shù)（即涉及多少個計數(shù)單位）是決定數(shù)感水平的重要變量。一方面，由于數(shù)量變大，抽象的過程愈發(fā)困難，對現(xiàn)實情境中數(shù)量的感知從直觀、感性過渡到需要借助適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行推理或推斷；另一方面，需要發(fā)明或創(chuàng)造一套合理的系統(tǒng)以便能夠簡潔地表示更多、更大的數(shù)，位數(shù)越多，數(shù)的結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，借助計數(shù)單位之間的關(guān)系理解計數(shù)系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)有助于在現(xiàn)實情境中理解數(shù)的意義，發(fā)展數(shù)感。

素養(yǎng)是指向問題解決的，因此情境，尤其是與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，又符合學(xué)生認(rèn)知水平、能夠激發(fā)學(xué)生思考的真實情境，是數(shù)感形成和發(fā)展的沃土，也是描述數(shù)感水平的重要變量。學(xué)生對情境的熟悉程度、問題情境的復(fù)雜程度都是衡量學(xué)生數(shù)感水平的重要指標(biāo)。

在結(jié)果表示維度，小學(xué)生對數(shù)的感悟起初需借助具體、直觀的學(xué)具進(jìn)行。學(xué)生理解自然數(shù)的學(xué)具主要有四個層次：有結(jié)構(gòu)的實物、數(shù)位筒、計數(shù)器（算盤）、數(shù)位表[4]。在學(xué)習(xí)過程中，隨著認(rèn)知水平的發(fā)展，學(xué)生逐漸擺脫這些學(xué)具，用更加抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系（十進(jìn)位值制）建構(gòu)數(shù)的結(jié)構(gòu)、理解數(shù)的意義，進(jìn)而靈活解決與數(shù)有關(guān)的現(xiàn)實或數(shù)學(xué)問題。學(xué)生對數(shù)的感悟過程也是數(shù)感形成和發(fā)展的過程。

按照上面的評價指標(biāo)，綜合幾個維度，在自然數(shù)認(rèn)識中將數(shù)感整體劃分為四個發(fā)展階段，相應(yīng)的評價標(biāo)準(zhǔn)及學(xué)生表現(xiàn)樣例如下所示。

階段1：在熟悉的簡單情境中，借助直觀學(xué)具從較小的數(shù)量（20以內(nèi)）中抽象出數(shù)，解決問題。學(xué)生表現(xiàn)樣例如圖1所示。

階段2：在熟悉的稍復(fù)雜情境中，借助直觀學(xué)具或通過尋找標(biāo)準(zhǔn)用較大的數(shù)或數(shù)量（百以內(nèi)、萬以內(nèi)）解決問題。學(xué)生表現(xiàn)樣例如圖2所示。

階段3：在熟悉的稍復(fù)雜情境中，依靠數(shù)學(xué)關(guān)系（如十進(jìn)制計數(shù)法的規(guī)律）進(jìn)行推理，用更大的數(shù)或數(shù)量（億以內(nèi)、億以上）解決問題。學(xué)生表現(xiàn)樣例如圖3所示。

階段4：在不熟悉或更復(fù)雜的問題情境中靈活選擇方法解決問題（實踐活動）。學(xué)生表現(xiàn)樣例如下所示。

問題：珠穆朗瑪峰高約8848米，請用你的方式描述一下珠穆朗瑪峰的高度。學(xué)生的回答：珠穆朗瑪峰大約是19個464米的八大處那么高，大約是23個386米的電視塔那么高。

對數(shù)感發(fā)展階段和評價標(biāo)準(zhǔn)的劃定為分析教材邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)生學(xué)習(xí)路徑，明晰數(shù)感在具體單元的行為表現(xiàn)和學(xué)習(xí)目標(biāo)提供了參考。

三、分析教材與區(qū)域測評試題，明晰數(shù)感目標(biāo)的表現(xiàn)層級（標(biāo)準(zhǔn)）

“大數(shù)的認(rèn)識”是小學(xué)階段最后一次學(xué)習(xí)自然數(shù)概念，也是對之前學(xué)習(xí)的階段性概括。在這一單元中，數(shù)感的發(fā)展主要處于前述的階段3和階段4。2022年版課標(biāo)中，在第二學(xué)段，“學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”中有這樣的描述：“認(rèn)識自然數(shù)，能結(jié)合具體情境初步認(rèn)識小數(shù)和分?jǐn)?shù)，能進(jìn)行整數(shù)四則運算和簡單的小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減運算，形成數(shù)感、運算能力和初步的推理意識?！薄敖虒W(xué)提示”中對“大數(shù)的認(rèn)識”單元的建議是：數(shù)的認(rèn)識教學(xué)應(yīng)為學(xué)生提供合理的情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷整數(shù)的抽象過程，知道大數(shù)的意義和四位一級的表示方法，建立數(shù)感。那么“認(rèn)識自然數(shù)，能結(jié)合具體情境初步認(rèn)識小數(shù)和分?jǐn)?shù)，能進(jìn)行整數(shù)四則運算和簡單的小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減運算”“知道大數(shù)的意義和四位一級的表示方法”是不是學(xué)生形成或建立數(shù)感的具體表現(xiàn)？如果是，這些顯然更多是知識、技能層面的目標(biāo)，達(dá)成知識、技能目標(biāo)是否就等同于學(xué)生形成或建立了數(shù)感？如果不是，那么形成或建立數(shù)感的具體表現(xiàn)和要求又是什么？

實際上，任何素養(yǎng)的養(yǎng)成都是一個不斷發(fā)展的過程，知識可以學(xué)會直至理解，技能可以掌握直至熟練應(yīng)用，但素養(yǎng)很難說在某一個節(jié)點就形成或者建立起來，而是通過知識的積累，在解決問題的過程中逐漸轉(zhuǎn)化而來的。從知識到素養(yǎng)，還需要借助行為表現(xiàn)這一手段外化[5]，進(jìn)而具體化為單元學(xué)習(xí)目標(biāo)。根據(jù)上述數(shù)感的評價指標(biāo)及教材內(nèi)容分析，“大數(shù)的認(rèn)識”單元指向數(shù)感的行為目標(biāo)或表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)如下：

1.能借助計數(shù)器、數(shù)位順序表，通過推理認(rèn)識更多、更大的計數(shù)單位，從豐富的現(xiàn)實情境中抽象出更大的數(shù)來表示數(shù)量。

2.能通過數(shù)產(chǎn)生的歷史歸納十進(jìn)制計數(shù)法的規(guī)律及大數(shù)的讀、寫規(guī)律，進(jìn)而理解十進(jìn)制計數(shù)法，建構(gòu)完整的數(shù)位順序表。

3.能在生活中合理使用大數(shù)（包括改寫、求近似數(shù)等）來對數(shù)量進(jìn)行表達(dá)，并對真實情境中的數(shù)量進(jìn)行合理判斷。

4.能夠在不熟悉或更復(fù)雜的情境中通過轉(zhuǎn)化為熟悉的事物進(jìn)行類比來刻畫數(shù)的大小，多角度認(rèn)識和表征一個大數(shù)，初步形成數(shù)感。

這些目標(biāo)在單元中如何具體落實？不同版本教材設(shè)計了不同的學(xué)習(xí)路徑。

教材A：通過回顧先前的計數(shù)經(jīng)驗認(rèn)識十萬，再認(rèn)識更大的數(shù)、數(shù)位順序表與數(shù)級；借助現(xiàn)實情境學(xué)習(xí)改寫和求近似數(shù)；拓展了解十進(jìn)制計數(shù)法的歷史。

教材B：將大數(shù)的認(rèn)識從整體上分為三個部分，第一部分是億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識（包括計數(shù)單位十萬、百萬、千萬、億，數(shù)位順序表與數(shù)級，讀和寫、改寫、求近似數(shù)，十進(jìn)制計數(shù)法等），第二部分是億以上數(shù)的認(rèn)識（包括計數(shù)單位十億、百億、千億，讀和寫、改寫、求近似數(shù)，計算工具的使用），第三部分是一個實踐活動“1億有多大”。

教材C：分兩個部分學(xué)習(xí)，將十萬、一百萬、一千萬放在一起呈現(xiàn)，認(rèn)識個級、萬級，數(shù)的讀和寫；再將億、十億、一百億、一千億放在一起呈現(xiàn)，認(rèn)識完整的數(shù)位順序表，學(xué)習(xí)數(shù)的讀和寫。

三個版本教材的不同之處在于：第一，兩個重要計數(shù)單位十萬、億的呈現(xiàn)方式不同；第二，數(shù)位順序表的呈現(xiàn)時機不同，有的是在學(xué)完本單元所有計數(shù)單位之后呈現(xiàn)，有的是分階段逐步建構(gòu)和完善；第三，改寫與求近似數(shù)這一內(nèi)容的呈現(xiàn)時間不同，有的是劃分為億以內(nèi)的數(shù)、億以上的數(shù)兩個階段進(jìn)行，有的是學(xué)完后合并進(jìn)行。

通過進(jìn)一步分析教材，我們認(rèn)為，十萬是學(xué)生認(rèn)知上的一個難點，學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗是每經(jīng)歷一次滿十進(jìn)一就會產(chǎn)生一個新的計數(shù)單位，而這個新的計數(shù)單位都是用一個新詞（如一、十、百、千、萬）來刻畫的，并不是表述為十一、十十、十百、十千，因此學(xué)生會產(chǎn)生困惑：十萬是不是一個新的計數(shù)單位？這也是教材A單獨安排學(xué)習(xí)十萬的主要意圖。但要想全面、深刻地認(rèn)識一個新的計數(shù)單位，不能僅從其產(chǎn)生過程理解，更要在應(yīng)用中理解，尤其在“大數(shù)的認(rèn)識”單元，學(xué)生已經(jīng)有了豐富的“十進(jìn)”經(jīng)驗，無須再次從頭經(jīng)歷“一個一個地數(shù)”到“一萬一萬地數(shù)”的過程，而是要豐富用十萬這個單位進(jìn)行計數(shù)的經(jīng)驗，再借助推理得到更多、更大的計數(shù)單位，以此經(jīng)歷逐步完善數(shù)位順序表的過程。由此，我們更認(rèn)同教材B在“大數(shù)的認(rèn)識”單元給出的學(xué)習(xí)路徑，即數(shù)感目標(biāo)的達(dá)成在本單元教學(xué)中更應(yīng)該強調(diào)計數(shù)單位的應(yīng)用性，并借助推理來解決新問題。

為達(dá)成課標(biāo)“教—學(xué)—評”一致性的要求，我們還需要分析相關(guān)的測評題目。通過分析某地區(qū)四年級期末試題發(fā)現(xiàn)，測試內(nèi)容多集中在比大小、求近似數(shù)和改寫這幾個知識點上，但均會給出一些真實情境（如客運量、地球上陸地面積、天問一號探測器飛行295天后與地球的距離等），問題呈現(xiàn)方式包括在數(shù)軸上標(biāo)出與給定數(shù)量接近的位置、把一個大數(shù)進(jìn)行改寫等，以考查學(xué)生在現(xiàn)實情境中用不同形式的大數(shù)解決問題的能力。綜合分析教材內(nèi)容和相關(guān)測評題目，指向數(shù)感目標(biāo)的單元表現(xiàn)層級或標(biāo)準(zhǔn)劃分如表2所示：

根據(jù)上述目標(biāo)層級及其行為表現(xiàn)，可以整體規(guī)劃更小單元（如分為億以內(nèi)的數(shù)、億以上的數(shù)兩部分）乃至各個課時的進(jìn)階路徑與相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)。盡管不能依據(jù)某一個單元就判定學(xué)生形成或建立了數(shù)感，但如果針對每個單元都能夠具體化學(xué)生數(shù)感的行為表現(xiàn)，再轉(zhuǎn)化為清晰、有層次的教學(xué)目標(biāo)，并在課堂上加以落實，則有助于核心素養(yǎng)導(dǎo)向課程目標(biāo)的逐步達(dá)成。要達(dá)成目標(biāo)層級1，需側(cè)重在理解大數(shù)的意義時給學(xué)生提供豐富的現(xiàn)實情境，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。在目標(biāo)層級2、3、4的達(dá)成中，可以分別設(shè)計下面的核心任務(wù)：數(shù)位順序表與十進(jìn)制計數(shù)法、生活中的近似數(shù)、1億有多大等。

與第一學(xué)段相比，第二學(xué)段培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的方式與途徑發(fā)生了較大變化。由于感悟?qū)ο蠹磾?shù)與數(shù)量變得很大，計數(shù)單位更多，所以解決問題時面對的情境更豐富、更復(fù)雜。此外，認(rèn)識數(shù)的方式從直觀過渡到抽象，學(xué)生已經(jīng)很難通過直接數(shù)得到物體個數(shù)，只能借助半抽象學(xué)具（計數(shù)器）或更為抽象的數(shù)位順序表表示更大的數(shù)或數(shù)量，抽象水平進(jìn)一步提升，對現(xiàn)實中大數(shù)的估計和感悟已經(jīng)不能依賴對數(shù)的直覺而需依靠抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系或借助熟悉的、合適的標(biāo)準(zhǔn)通過推理來進(jìn)行。學(xué)生可以通過先前自然數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，對十進(jìn)制計數(shù)法中蘊含的規(guī)律和原則進(jìn)行歸納總結(jié)，感受數(shù)學(xué)符號表達(dá)的簡潔。也就是說，所學(xué)習(xí)的內(nèi)容越復(fù)雜，學(xué)生的認(rèn)知水平越高，越有助于學(xué)生形成數(shù)感。

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（作者單位：北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)與科學(xué)教育學(xué)院）