一、課前思考

2022年版課標(biāo)強(qiáng)調(diào)課程內(nèi)容的組織“重點(diǎn)是對內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑”。教學(xué)時，要重視引導(dǎo)學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系。所以教師要抓準(zhǔn)核心概念，幫助學(xué)生感悟邏輯聯(lián)結(jié)，連點(diǎn)成線、牽線結(jié)網(wǎng)、織網(wǎng)筑體，搭建結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)路徑。

（一）項(xiàng)目中挖掘要素。

圖形的認(rèn)識與測量的核心概念是關(guān)鍵要素。圓是小學(xué)階段學(xué)生認(rèn)識的第一個曲線圖形，直線圖形的關(guān)鍵要素是外顯的邊和角，圓的關(guān)鍵要素則是隱藏于其內(nèi)部的圓心和半徑。怎樣將這些隱藏要素呼喚出來？項(xiàng)目學(xué)習(xí)“公平的套圈”游戲——“如何設(shè)計(jì)一個多人參與且公平的套圈游戲”建立了數(shù)學(xué)活動與關(guān)鍵要素之間的緊密聯(lián)系。

（二）學(xué)情中聚焦要素。

學(xué)生的游戲設(shè)計(jì)呈現(xiàn)從單一結(jié)構(gòu)即固定人數(shù)參與（3～4人），到多元結(jié)構(gòu)即更多人參與，再到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)即正三角形→正方形→正五邊形→正六邊形→逼近圓的個性化水平層級。學(xué)生已經(jīng)知道圓的特征是什么，但對“為什么”及圓與其他圖形之間的關(guān)聯(lián)尚未形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)與困惑聚焦圓的關(guān)鍵要素及要素與圖形之間的關(guān)系。

（三）結(jié)構(gòu)中建構(gòu)要素。

錨定核心概念關(guān)鍵要素，縱向深入學(xué)習(xí)圓的知識：第一學(xué)段，結(jié)合生活情境初步形成對圓的直觀認(rèn)識；第二、三學(xué)段，從現(xiàn)實(shí)空間中抽象出平面和立體圖形，把握圖形要素并探究要素與要素之間、要素與圖形之間、圖形與圖形之間的關(guān)系。橫向聯(lián)結(jié)圓與其他知識之間的內(nèi)在邏輯：圓心和半徑（直徑）是刻畫圓的關(guān)鍵要素；通過尋找周長、面積與半徑（直徑）之間的關(guān)系得到公式；直線圖形測量經(jīng)驗(yàn)遷移類推，轉(zhuǎn)化推理是研究曲線圖形的重要的數(shù)學(xué)思想方法。

基于2022年版課標(biāo)，精準(zhǔn)把握學(xué)情，立足單元視域，從課型設(shè)置、主題概括、關(guān)鍵問題、活動序列、評價(jià)要素、作業(yè)設(shè)計(jì)等方面構(gòu)建單元學(xué)習(xí)路徑。課前預(yù)學(xué)、課中助學(xué)、課后延學(xué)，“三學(xué)”搭建課時素養(yǎng)落實(shí)路徑，整體與部分有機(jī)結(jié)合。學(xué)生在自主探究、自我建構(gòu)、自發(fā)理解和自如應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)可持續(xù)、高質(zhì)量發(fā)展，促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展，實(shí)現(xiàn)立德樹人長遠(yuǎn)目標(biāo)。

二、教學(xué)片段分析

（一）曲直對比，方圓遷移，尋找要素。

師：在學(xué)過的直線圖形中，誰長得最像圓？

生：正方形。

師：對正方形來說，什么最重要？

生：邊最重要，邊長確定了，正方形的周長和面積就確定了。

師：正方形的關(guān)鍵要素就是它的邊長，圓中是否也有這樣的關(guān)鍵要素？

生：圓心、半徑（直徑）。

教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生尋找知識之間的聯(lián)系，學(xué)生在對比遷移中實(shí)現(xiàn)對圓概念的自主建構(gòu)，初步感知“方圓變換”。關(guān)鍵要素貫穿圖形的認(rèn)識與測量始終。學(xué)生初次認(rèn)識長方形、正方形時，應(yīng)明確二者的關(guān)鍵要素是外顯的邊。認(rèn)識三角形、平行四邊形等多邊形特征時，再次明確它們的關(guān)鍵要素即底和高。學(xué)習(xí)圓的認(rèn)識時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓長得最像正方形，從直線圖形探究經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，猜想：曲線圖形圓是否也有這樣的關(guān)鍵要素？立體圖形的關(guān)鍵要素又是什么？方與圓、直線與曲線、平面與立體如何相互區(qū)別又普遍聯(lián)系？結(jié)構(gòu)化教學(xué)啟發(fā)學(xué)生關(guān)聯(lián)已有知識、方法與經(jīng)驗(yàn)，蓄力新知學(xué)習(xí)。

（二）結(jié)構(gòu)化畫圓，感悟推理，滲透極限。

1.一畫：用圓規(guī)畫圓。

師：用圓規(guī)畫一個任意大小的圓，想一想畫圓成功的關(guān)鍵是什么。

生：成功的關(guān)鍵是針尖固定——定點(diǎn)，圓規(guī)兩腳之間的距離不變——定長。

師：回顧畫圓的過程，圓的關(guān)鍵要素是什么？試著把它們表示出來。

生：圓的關(guān)鍵要素是圓心、半徑（直徑）。圓心決定圓的位置，半徑的長短決定圓的大小。

生：圓內(nèi)只有一個圓心，同圓內(nèi)半徑（直徑）可以畫無數(shù)條。

一畫，旨在讓學(xué)生在畫圓中明確關(guān)鍵要素。學(xué)生自主體驗(yàn)用圓規(guī)畫圓的過程，發(fā)現(xiàn)畫圓成功的關(guān)鍵是定點(diǎn)與定長，初步感悟圓心和半徑是刻畫圓的關(guān)鍵要素；進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小，圓心只有一個，同圓內(nèi)半徑（直徑）有無數(shù)條，體悟要素與圖形之間、要素與要素之間的關(guān)系，逐步完善對圖形特征的建構(gòu)。

2.二畫：生活中畫圓。

師：我們要在操場上玩套圈游戲，你能在操場畫一個很大的圓嗎？

學(xué)生選擇道具：線繩或有彈力的皮筋，小組討論、情境模擬。

生：我們用長度不變的線繩畫圓，皮筋有伸縮性，畫圓的過程中不一定是定長。一人站在中心點(diǎn)不動，另一人拉直繩子的另一端旋轉(zhuǎn)一周，就畫出了大圓。

小組演示，站在圓心處的學(xué)生不動，導(dǎo)致無法畫出完整的圓，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突。

生：站在圓心處的同學(xué)可以“自轉(zhuǎn)”，這樣可以做到定點(diǎn)、定長。

師：有方法，有細(xì)節(jié)，抓關(guān)鍵，能變通！大家還能提出什么問題？

生：生活中還有哪些方法可以畫圓？

師：（視頻展示多種造圓方法，如圖1）哪些造圓方法差不多？

生：②④差不多，造圓時都有定點(diǎn)——圓心和定長——半徑；①③差不多，圓都是由方變來的。

二畫，旨在讓學(xué)生在說理中應(yīng)用要素。學(xué)生遷移用圓規(guī)畫圓的經(jīng)驗(yàn)，模擬情境—選擇工具—初次實(shí)驗(yàn)—調(diào)整方法—再次實(shí)驗(yàn)—解決問題—提出新問題。結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課契合小學(xué)生的特點(diǎn)，激勵學(xué)生動手操作、分類對比、合情推理、再次遷移關(guān)聯(lián)“圓出于方”，實(shí)現(xiàn)個性化知識意義的建構(gòu)，發(fā)展抽象意識、空間觀念和創(chuàng)新意識。

3.三畫：折紙?jiān)靾A。

師：利用折紙的方法，怎么讓它更像圓？

生：將紙片繼續(xù)折，不斷剪掉多余的部分，就會越來越像圓。

師：（演示折紙、剪紙過程，師生共同想象）將一張正方形紙對折3次后，應(yīng)該怎樣剪？會剪出什么圖形？

生：應(yīng)該創(chuàng)造同長的線段即半徑，對折后剪去多余部分（如圖2）。

生：正方形紙對折3次后，剪掉多余的部分，會變成正八邊形。

師：那么折4次、5次，大膽想象，無限折下去。

生：折4次后，剪成正十六邊形；折5次后，剪成正三十二邊形；無限次折、剪下去，就會變成圓。

教師出示圖3。

師：墨子曾說：“圓，一中同長也?！蹦阗澩麑A的認(rèn)識嗎？畫一畫，說一說你的理由。

三畫，旨在讓學(xué)生在折紙和想象中溝通圖形之間的關(guān)聯(lián)。高階思維數(shù)學(xué)活動從有限的測量走向無限的推理，從直觀的認(rèn)識走向抽象的結(jié)構(gòu)。隨著正多邊形邊的增多，同長的線段不斷增多。正多邊形內(nèi)同長的線段是有限的，而圓內(nèi)同長的線段是無限的。結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)方法溝通方與圓，打通直與曲，從數(shù)學(xué)史的角度再次提出圓的關(guān)鍵要素“一中同長”，學(xué)生于“方圓變換”中再悟關(guān)聯(lián)，筑牢圖形認(rèn)識與測量的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)路徑。

三、課后思考

（一）整體建構(gòu)與教育細(xì)節(jié)的和諧。

課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化關(guān)注學(xué)生對知識的整體理解、經(jīng)驗(yàn)的整體生長、素養(yǎng)的整體提升。教學(xué)時，既要構(gòu)建整體的骨架，又要豐盈細(xì)節(jié)的靈氣。例如，學(xué)生模擬在操場上畫圓時，由于圓心處的學(xué)生固定不動，第一次畫圓以失敗告終。頭腦風(fēng)暴后有學(xué)生提出“自轉(zhuǎn)”理論，這時，教師應(yīng)及時追問“為何自轉(zhuǎn)就能畫成圓”。圖文中的細(xì)節(jié)、教學(xué)環(huán)節(jié)中的細(xì)節(jié)、生生與師生互動中的細(xì)節(jié)決定教學(xué)的成敗與深度，因此教師縱然“心有猛虎”，亦要“細(xì)嗅薔薇”。

（二）學(xué)業(yè)質(zhì)量與表現(xiàn)性評價(jià)的和諧。

學(xué)業(yè)質(zhì)量是學(xué)生在完成課程階段性學(xué)習(xí)后的學(xué)業(yè)成就表現(xiàn)，反映核心素養(yǎng)的要求，但素養(yǎng)的形成絕非一蹴而就的。評價(jià)不該只是非對即錯的判斷，而應(yīng)建立結(jié)構(gòu)化評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，采用“表現(xiàn)性”“協(xié)商式”評價(jià)激勵學(xué)生數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考與數(shù)學(xué)表達(dá)素養(yǎng)的提升，絕不能因?yàn)閷W(xué)生沒有到達(dá)思維的“頂峰”，而否定他們邁出的可貴的“腳下第一步”。

（三）核心素養(yǎng)與立德樹人的和諧。

數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)讓理性與人文對接、知識與涵養(yǎng)融合。比知識更重要的是方法，比方法更重要的是思想，比思想更重要的是精神。學(xué)生由“畫出的圓”層層深入，把握“圓的概念”；遷移應(yīng)用“生活中的圓”，由“數(shù)學(xué)方圓”走入“方圓文化”。深度融合的跨學(xué)科學(xué)習(xí)拓寬了學(xué)生的認(rèn)知視野，幫助學(xué)生建構(gòu)了多元價(jià)值體系。教師應(yīng)腳踏實(shí)地按規(guī)律培養(yǎng)學(xué)生，將數(shù)學(xué)育人落到實(shí)處。

（作者單位：山西太原市迎澤區(qū)教研科研中心，迎澤區(qū)第一實(shí)驗(yàn)小學(xué)，迎澤區(qū)仁杰小學(xué)，迎澤區(qū)海邊街小學(xué)）