數(shù)學(xué)學(xué)科知識組成一個完整的、縱橫聯(lián)結(jié)的知識網(wǎng)絡(luò)。但學(xué)科邏輯不等同于學(xué)習(xí)邏輯，為了教學(xué)需要，教師將知識切分、加工、處理后傳遞給學(xué)生，這樣做在一定程度上導(dǎo)致學(xué)生形成不完滿的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，很難把各學(xué)期所學(xué)視為一個整體并前后貫通，在后來的學(xué)習(xí)中逐漸遺忘掉某些浮于表層的、不連貫的知識。所以，教師的一個主要任務(wù)就是幫助、引導(dǎo)學(xué)生將這些散落的知識“拾”起來、“串”起來，把知識串聯(lián)的道理講清楚，促進(jìn)學(xué)生的思維橫向和縱向發(fā)展。2022年版課標(biāo)的重要理念之一就是“內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”，通過課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化整合，體現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，繼而讓學(xué)生形成相互關(guān)聯(lián)、前后貫通的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。沒有數(shù)學(xué)概念就沒有完整的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，其中核心概念是在學(xué)生知識網(wǎng)絡(luò)中起決定作用的主概念，是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得相關(guān)知識、能力的關(guān)鍵。所以，抓準(zhǔn)在小學(xué)學(xué)習(xí)的眾多零散概念中的核心概念，可幫助學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系脈絡(luò)，以知識的結(jié)構(gòu)化實(shí)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的內(nèi)化，從而實(shí)現(xiàn)知識與方法的遷移。

一、核心概念的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)概念反映了現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性，也是運(yùn)算、推理、判斷和證明的基石，更是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維、交流的工具。在小學(xué)學(xué)習(xí)的眾多概念大致可以分為兩類：一類是占據(jù)主導(dǎo)地位的核心概念，另一類是由核心概念生長出的一般概念。

核心概念是位于學(xué)科中心的概念性知識，包括重要概念、原理、理論等的基本解釋，具有基礎(chǔ)性、生長性、本質(zhì)性、聯(lián)系性、科學(xué)性和豐富性等特征。這些少而精的核心概念本質(zhì)上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思想，反映了數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)特征及數(shù)學(xué)思維方式。核心概念在整個知識體系中具有統(tǒng)領(lǐng)性及較強(qiáng)的遷移性，處于知識結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，蘊(yùn)含數(shù)學(xué)學(xué)科中基礎(chǔ)、重要的觀念與方法，不僅是學(xué)科結(jié)構(gòu)的主干部分，而且對構(gòu)建學(xué)科知識網(wǎng)絡(luò)具有重要意義。若以核心概念為線索進(jìn)行教學(xué)，可使前后內(nèi)容連貫，打通數(shù)學(xué)學(xué)科知識內(nèi)部的隔斷墻，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)成為有機(jī)整體，使學(xué)生學(xué)習(xí)到的知識具備長久生命力。例如，以數(shù)位為核心概念，可聯(lián)系整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與運(yùn)算。

二、核心概念的特征

教師只有清晰把握核心概念的基本特征，才能找到每節(jié)課知識的生長點(diǎn)，從而選取適當(dāng)?shù)暮诵母拍钭鳛橹骶€，將知識串聯(lián)起來，使學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

1.基礎(chǔ)性和生長性。

為了使小學(xué)數(shù)學(xué)知識組成一個縱橫交錯、主次分明的知識網(wǎng)絡(luò)，在梳理知識的過程中，要找準(zhǔn)奠基性概念及由其生長出的從屬知識。在數(shù)學(xué)知識體系中，有些概念處于核心地位，其他概念均是由其生成的，或與其存在密切的聯(lián)系，我們稱這些概念為核心概念或本源概念，所以，數(shù)學(xué)核心概念具有區(qū)別于一般概念的基礎(chǔ)性和生長性等特點(diǎn)。以和的概念為例。當(dāng)學(xué)生面對2個或2個以上相同加數(shù)時，要從和入手理解乘法的意義。當(dāng)比較2個不相等的數(shù)時，由和生長出同樣大和差的概念：較大數(shù)是與較小數(shù)同樣大的數(shù)與第三個數(shù)（差）的和，這里的差相當(dāng)于較大數(shù)比較小數(shù)多出的那部分。當(dāng)差與較小數(shù)同樣大時，即出現(xiàn)倍這一概念：當(dāng)較大數(shù)里正好包含多個與較小數(shù)同樣大的數(shù)時，較小數(shù)為1倍數(shù)，較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。反過來，若以較大數(shù)為1份，則較小數(shù)是較大數(shù)的幾分之一。綜上所述，和的基礎(chǔ)性體現(xiàn)在為“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域其他知識的后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，生長性則體現(xiàn)在學(xué)生以和的概念為中心，可以認(rèn)識、理解其他知識。

基礎(chǔ)性和生長性在數(shù)學(xué)思想與方法上有更明顯的表現(xiàn)。例如，整數(shù)、小數(shù)及分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算均是以計數(shù)單位為核心，本質(zhì)是計數(shù)單位的累加或遞減的遷移過程，是遷移類比思想的巧妙運(yùn)用；函數(shù)中所蘊(yùn)含的自變量與因變量之間的一一對應(yīng)思想，為今后各類函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

基于此，教師要樹立整體觀和結(jié)構(gòu)觀，對要教授的內(nèi)容做系統(tǒng)分析，追根溯源，退回到上一層級的概念或本源的概念，幫助學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，讓概念內(nèi)化于心，達(dá)到綱舉目張的效果。

2.本質(zhì)性和聯(lián)系性。

核心概念是該學(xué)科該領(lǐng)域中的本質(zhì)知識，是在部分知識遺忘后仍可以運(yùn)用的知識，是通過適當(dāng)?shù)倪壿嬐评硪廊豢山鉀Q問題的本源知識，是經(jīng)得起時間考驗在整個概念體系中不可或缺的核心知識。例如，以數(shù)位與計數(shù)單位為核心，通過1個1個地數(shù)認(rèn)識個位，學(xué)習(xí)10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識與計算；通過10個10個地數(shù)認(rèn)識十位，學(xué)習(xí)100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識；通過100個100個地數(shù)認(rèn)識百位，進(jìn)一步開始多位數(shù)的學(xué)習(xí)。在此過程中，學(xué)生從個到十，再到百、千、萬，深刻理解“1個代表多個”，為之后學(xué)習(xí)更大數(shù)的認(rèn)識，理解整數(shù)的計數(shù)體系打下基礎(chǔ)。在整個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生從初步感知位值，并以十為計數(shù)單位進(jìn)行計數(shù)開始，到使用兩個計數(shù)單位計數(shù)，再到靈活選用不同計數(shù)單位計數(shù)，學(xué)會分級表示大數(shù)，此過程是運(yùn)用少量的符號表示數(shù)，最后通過不同排列表示不同的數(shù)，其核心原理是數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值，即數(shù)位與計數(shù)單位這兩個核心概念。同時，位值制思想使得計數(shù)走向了真正的抽象。所以學(xué)生把握了基本、本質(zhì)的概念后，再去學(xué)習(xí)新內(nèi)容時，會有“新而不新，寓新于舊”的感受。

所以數(shù)學(xué)概念不是獨(dú)立存在的，我們往往需要用舊概念幫助學(xué)生建構(gòu)新概念的意義。通過一個抽象概括水平比較高的核心概念將其他概念組織和聯(lián)系起來，形成知識體系。比如，學(xué)生學(xué)習(xí)退位減法時，教師可有目的地創(chuàng)設(shè)情境，如“左邊有1捆青菜（10棵），右邊有3棵青菜，如果從中拿4棵青菜，可以怎么拿？哪種方法更簡便”，以此引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生從1捆（10棵）里拿的思路。接下來，通過利用小棒及數(shù)位筒進(jìn)行實(shí)際操作，學(xué)生便對“破十法”的算理有了更深刻的理解。之后學(xué)習(xí)100以內(nèi)的退位減法時，教師可再次呈現(xiàn)核心概念和及計數(shù)單位，這樣就抓住了學(xué)生新知識和舊知識之間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，以退為進(jìn)，使學(xué)生形成對整數(shù)計算的概括化認(rèn)識，從而建立觸類旁通的知識結(jié)構(gòu)。

3.科學(xué)性和豐富性。

首先，核心概念反映的是一定學(xué)科范圍內(nèi)事物的本質(zhì)特征，是對一類事物的共同特性做出的概括性規(guī)定。數(shù)學(xué)核心概念是人們對數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)反映，其范圍和對象是具有科學(xué)指向性的。其次，數(shù)學(xué)核心概念不是偶然產(chǎn)生的，有其存在的科學(xué)性意義，是數(shù)學(xué)學(xué)科不可或缺的元素。所以，在教學(xué)過程中，無論是講解核心概念還是應(yīng)用核心概念串聯(lián)其他知識點(diǎn)，都要使數(shù)學(xué)基本思想、原理、方法相互滲透。

數(shù)學(xué)核心概念應(yīng)是具備多層含義的基礎(chǔ)性知識，其內(nèi)涵與外延豐富，并且涉及豐富的下位概念。除此之外，其蘊(yùn)含的思想與方法也具有極大的豐富性，可以說眾多數(shù)學(xué)問題的解決也與數(shù)學(xué)核心概念聯(lián)系在一起。比如：“小白兔的數(shù)量與小黑兔的數(shù)量之比是3∶4，小白兔與小黑兔共14只，請問：小白兔與小黑兔各有多少只？”學(xué)生可用多種方法解決，抓住“份—倍—比”基本概念的主線，基于基本概念進(jìn)行知識的遷移，以核心概念為主線，發(fā)散思維，感悟遷移的數(shù)學(xué)思想，串聯(lián)起一系列知識。

三、從倍到份：例談核心概念的提煉

教材上的知識點(diǎn)是點(diǎn)狀分布的，教師對教材的理解容易停留在表層，其教學(xué)設(shè)計一般是：呈現(xiàn)教材中給出的生活情境，引出知識點(diǎn)的講解，然后教學(xué)例題和指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中多是模仿性學(xué)習(xí)，即模仿例題進(jìn)行練習(xí)，缺乏有深度和有梯度的思考。比如，在教學(xué)“倍的認(rèn)識”時，教師多采用概念同化的方式，即先給出倍的概念，或者讓學(xué)生探索兩個數(shù)之間的關(guān)系，如“說說6和2之間的關(guān)系”，此時學(xué)生基于“同樣大”的舊經(jīng)驗，得出“以2為1份，6比2多2份，所以6是2的2倍”，可見學(xué)生的思維并不能自然地從整體過渡到部分，仍局限于部分與多出來的部分之間的關(guān)系。學(xué)生的思維發(fā)展是在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)的，結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)必然離不開教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化安排，所以，教師在備課時不僅要深度研讀本節(jié)課的教材，還要研讀和梳理本冊、本年級的內(nèi)容，甚至要研讀與該知識點(diǎn)相關(guān)的全部內(nèi)容，圍繞核心概念厘清知識脈絡(luò)，基于學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，選擇合適的切入點(diǎn)，幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化思維，從而思考新問題、學(xué)習(xí)新知識。

首先，從橫向上看，“倍的認(rèn)識”是人教版教材三年級上冊的內(nèi)容，該課按課型來說屬于概念起始課。從概念形成過程來看，教材上依次呈現(xiàn)三種蘿卜的數(shù)量，以胡蘿卜的數(shù)量為標(biāo)準(zhǔn)量，引導(dǎo)學(xué)生描述胡蘿卜與紅蘿卜、胡蘿卜與白蘿卜的數(shù)量之間的關(guān)系，如胡蘿卜為2根，紅蘿卜為3個2根，再到圈出1份，數(shù)有幾個1份，最后使用倍數(shù)描述數(shù)量關(guān)系，如白蘿卜有5個2根，則白蘿卜的根數(shù)是胡蘿卜的5倍。通過“同樣多—份—倍”這個層層遞進(jìn)的過程，幫助學(xué)生構(gòu)建倍數(shù)模型。教師要靈活運(yùn)用教材中構(gòu)建倍數(shù)模型的步驟，深度挖掘概念份的本質(zhì)屬性和關(guān)鍵地位。

其次，從縱向的學(xué)習(xí)內(nèi)容安排上看，在一年級，對兩個數(shù)量的比較是基于同樣多比較大小；到了二年級，學(xué)習(xí)相同的幾份相加可以用乘法表示；到了三年級，對兩個數(shù)量的比較則通過倍實(shí)現(xiàn)，并在中、高兩個學(xué)段螺旋上升學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，通過分?jǐn)?shù)表示兩個數(shù)量或事物之間的關(guān)系；在六年級，則出現(xiàn)了用比表示任意兩個數(shù)量或事物之間的關(guān)系?？梢姡瑥谋榷嗌俚奖兜恼J(rèn)識，是絕對數(shù)量的比較到相對數(shù)量的比較，是學(xué)生認(rèn)識上質(zhì)的飛躍。它們的共同點(diǎn)在于利用一個量去說明另一個量；不同點(diǎn)是，關(guān)注的部分是不同的，比多少關(guān)注的是比同樣多多出來的部分，而倍更多關(guān)注的是多倍量中有多少個1倍量，但是其背后都是份這個核心。諸多概念之間的關(guān)系如圖1所示。

最后，從認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展上看，小學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要是加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)，而乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的高層次認(rèn)知結(jié)構(gòu)，它主要包括度量同構(gòu)、度量的積和復(fù)合比例三種結(jié)構(gòu)，其中倍的認(rèn)識恰好屬于乘法結(jié)構(gòu)中的第一種——度量同構(gòu)。倍起源于比較，對學(xué)生來說，倍的學(xué)習(xí)需要完成從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)的思維轉(zhuǎn)變，而在轉(zhuǎn)變過程中，由于新認(rèn)知和舊認(rèn)知差異較大，所以往往需要反復(fù)對原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整和改造。所以，教學(xué)時要重心下移，回到加法結(jié)構(gòu)，即份，反復(fù)體會幾份是多少是由1份決定的，有幾份就是有幾個同樣多的量，最終理解幾份就是幾倍，建立倍的數(shù)學(xué)模型。

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[4]馬芯蘭.構(gòu)建新的知識結(jié)構(gòu) 培養(yǎng)學(xué)生思維能力[J].人民教育，1995（5）.

【本文系2022年山東省優(yōu)質(zhì)專業(yè)學(xué)位教學(xué)案例庫建設(shè)項目“立足數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升專碩教學(xué)能力的數(shù)學(xué)課例研究”（編號：SDYAL2022066）的研究成果】

（作者單位：山東師范大學(xué)教育學(xué)部）