新一輪的課程方案倡導(dǎo)深化學(xué)科實(shí)踐，數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家“做數(shù)學(xué)”那樣參與全過程的數(shù)學(xué)化活動。在這樣的過程中，學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光實(shí)現(xiàn)從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的轉(zhuǎn)化和抽象；用數(shù)學(xué)的思維把復(fù)雜的問題變成相對好處理的數(shù)學(xué)關(guān)系與推導(dǎo)；用數(shù)學(xué)的語言（模型）建立現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)內(nèi)部世界的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，揭示普遍規(guī)律。數(shù)學(xué)課程所孕育的素養(yǎng)之果，正是學(xué)生經(jīng)過這樣的數(shù)學(xué)化活動之后所積淀和升華的產(chǎn)物，核心素養(yǎng)養(yǎng)成的關(guān)鍵是學(xué)會數(shù)學(xué)化。

下面我們以體育“比賽場次”問題開展綜合實(shí)踐活動，探究其數(shù)學(xué)化的路徑是什么、數(shù)學(xué)化層次與表現(xiàn)差異如何以及如何設(shè)計(jì)和實(shí)施學(xué)生經(jīng)歷再創(chuàng)造的學(xué)習(xí)路徑。

一、“比賽場次”問題的數(shù)學(xué)化本質(zhì)是模型化

從數(shù)學(xué)化的角度來看，學(xué)生一般從某個(gè)具體情境的“比賽場次安排”問題出發(fā)，到探究兩類賽制下的參賽隊(duì)伍數(shù)與場次數(shù)的關(guān)系，最后概括出一般算法模型，其實(shí)質(zhì)就是模型化的過程。所謂模型化，就是用模型把復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)和理論理想化、簡單化，從而更易于進(jìn)行形式的數(shù)學(xué)處理的過程。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)模型一般指的是：根據(jù)已有的實(shí)際問題，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，以及各種表格、圖形等。

在建立模型活動中學(xué)生數(shù)學(xué)思維進(jìn)階表現(xiàn)可劃分為四個(gè)層次：（1）情境層次。通過觀察某項(xiàng)比賽日程表，對不同對陣場次的合理性安排產(chǎn)生好奇和疑問，由此提出比賽場次問題。（2）指涉層次。通過閱讀材料初步理解循環(huán)賽、淘汰賽規(guī)則，運(yùn)用模擬、列舉、列表、畫圖等非正規(guī)方法，研究單循環(huán)賽、單淘汰賽賽制下比賽場次問題。（3）普遍層次。運(yùn)用結(jié)構(gòu)化的圖表解決問題，以及在圖表基礎(chǔ)上抽象出算法和算式，以便解決同類問題。（4）形式層次。進(jìn)一步形成一般的代數(shù)表達(dá)式。比如，單循環(huán)賽的場次數(shù)算法本質(zhì)上是：從n隊(duì)中任取2隊(duì)的組合數(shù)，即場次數(shù)=[n×（n-1）÷2]。對于單淘汰賽，則是運(yùn)用“二分法”，從n隊(duì)中每次選一半，直至只剩1隊(duì)，淘汰（[n]-1）隊(duì)，場次數(shù)=[n]-1?？蛇\(yùn)用上述算式或代數(shù)式解決類似情境中的比賽場次問題，以及遷移思考新情境下的問題。其數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)為由低到高的四個(gè)層次進(jìn)階（如圖1）。這里的情境層次和指涉層次側(cè)重從現(xiàn)實(shí)背景到數(shù)學(xué)問題的水平數(shù)學(xué)化，普遍層次和形式層次側(cè)重在數(shù)學(xué)內(nèi)部的垂直數(shù)學(xué)化。

基于探究比賽場次問題的數(shù)學(xué)化路徑，學(xué)生學(xué)會運(yùn)用直觀圖或列表建立實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，深化理解算法的現(xiàn)實(shí)意義和價(jià)值，有助于發(fā)展幾何直觀和模型意識。

二、分析學(xué)習(xí)起點(diǎn)與設(shè)定學(xué)習(xí)目標(biāo)

關(guān)于比賽場次，學(xué)生能否提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題？為此我們對12名學(xué)生做了學(xué)前調(diào)研。其中有10人問到“比賽場次和數(shù)學(xué)知識有什么關(guān)聯(lián)”，足見學(xué)生有尋求體育與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，調(diào)動已有知識經(jīng)驗(yàn)開展研究的意識；有9人問到“場次數(shù)如何計(jì)算”或“有公式嗎”，可見提供適切的現(xiàn)實(shí)情境，可以觸發(fā)學(xué)生樸素的數(shù)學(xué)眼光，提出基本的數(shù)學(xué)問題；有7人提到研究比賽場次“有什么用”這樣的價(jià)值叩問，有利于促進(jìn)學(xué)生體會用數(shù)學(xué)的語言理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的工具價(jià)值。還有學(xué)生提出：什么是比賽場次？比賽場次與什么有關(guān)，有什么關(guān)系或規(guī)律？怎樣合理安排比賽場次？比賽場次在生活中有哪些應(yīng)用？

此外，圖示化、直觀化是兒童數(shù)學(xué)化常用的表現(xiàn)方式，也是兒童數(shù)學(xué)化走向模型化的基礎(chǔ)。在分析、解決問題過程中，學(xué)生能夠調(diào)用“數(shù)線段”“枝形圖”等經(jīng)驗(yàn)通過直觀圖分析抽象的數(shù)量關(guān)系。

由以上分析確定本次實(shí)踐活動的學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）結(jié)合體育比賽賽程，了解賽程安排的基本結(jié)構(gòu)，了解循環(huán)賽、淘汰賽規(guī)則。（2）能用列表、畫圖等方式探究分組循環(huán)賽、淘汰賽規(guī)則下比賽場次和參賽隊(duì)之間的關(guān)系，并用適切的數(shù)學(xué)語言表達(dá)關(guān)系。（3）經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)與提出數(shù)學(xué)問題、用數(shù)學(xué)方法分析與解決問題的全過程，感悟數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，發(fā)展模型意識。

三、比賽場次數(shù)學(xué)化路徑——建模流程設(shè)計(jì)

對比賽場次模型的建立與應(yīng)用，是一項(xiàng)研究性學(xué)習(xí)活動，需要依次經(jīng)歷選題（提出問題）、開題（尋找問題要素并認(rèn)識要素）、做題（嘗試構(gòu)建要素間的結(jié)構(gòu)關(guān)系）、結(jié)題（檢驗(yàn)、調(diào)整和應(yīng)用規(guī)律解決問題）四個(gè)階段。比賽場次建模的數(shù)學(xué)化路徑如圖2所示。

學(xué)生從對賽程表的觀察到證實(shí)“比賽場次=每組內(nèi)循環(huán)賽場次×組數(shù)＋淘汰賽場次”，中間需要重點(diǎn)探究單循環(huán)、單淘汰規(guī)則下比賽場次與參賽隊(duì)伍之間的對應(yīng)關(guān)系，并從圖示化提升到形式化。這個(gè)過程需要教師引導(dǎo)和幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的方式方法對已有經(jīng)驗(yàn)或認(rèn)識進(jìn)行再組織，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的再創(chuàng)造。這里的引導(dǎo)、幫助主要體現(xiàn)在對任務(wù)鏈、問題鏈與學(xué)生預(yù)期表現(xiàn)的整體設(shè)計(jì)當(dāng)中，引導(dǎo)學(xué)生操作材料與數(shù)學(xué)思考交融并進(jìn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)化進(jìn)程。本課任務(wù)鏈與問題鏈見表1。

通過對任務(wù)的操作，伴隨問題的思考，學(xué)生對比賽場次的數(shù)學(xué)化建模過程拾級而上，由初步到完善、由局部到整體、由具體到概括，最終通過檢驗(yàn)獲得數(shù)學(xué)模型。

四、比賽場次數(shù)學(xué)化建模路徑實(shí)施中學(xué)生資源的運(yùn)用

比賽場次數(shù)學(xué)化建模路徑實(shí)施中，個(gè)體的數(shù)學(xué)化進(jìn)程需要與集體學(xué)習(xí)相互交融，以促進(jìn)由個(gè)體認(rèn)知到整體共識、由特殊到一般、由具體到抽象的轉(zhuǎn)化。

例如，小組循環(huán)賽場次的理解，不同學(xué)生用不同方法探究后，需要交流討論，促進(jìn)理解。

師：老師收集了4份成果，如圖3?，F(xiàn)在進(jìn)入全班交流互動環(huán)節(jié)，要求看懂同學(xué)的方法、問明白你的疑惑、說出你的建議、表達(dá)對你的啟發(fā)。

生1：方法4列表是我沒想到的，也是比較簡潔的，還能避免遺漏。

生2：我建議方法1、2、3在列舉或畫線過程中，把每次產(chǎn)生的場次數(shù)標(biāo)出來，這樣就更清楚了。比如中國與土、美、俄、意、阿，產(chǎn)生5場比賽……

生3：方法3中的算式6×（6-1）÷2=15和方法4中的6×5÷2=15我看不懂，誰能幫幫我？

生4：我來結(jié)合方法4解釋，橫著看，每只球隊(duì)要與其他5支球隊(duì)各打1場，我們看第2行（自上向下數(shù)）土耳其與中國這場比賽就重復(fù)了，因?yàn)榈?行已經(jīng)有中國對土耳其了。照這樣，以對角線為對稱軸，兩側(cè)的場次都是重復(fù)的。這樣得到的是雙循環(huán)的場次數(shù)，所以要除以2。

師：真好！通過交流，同學(xué)們在方法上獲得啟發(fā)；在交流過程中理解了單循環(huán)賽制，看到了場次與隊(duì)伍數(shù)之間的關(guān)系；在講解中厘清了算法。老師也有個(gè)疑惑，怎樣確定我們找到的關(guān)系、算法是正確的呢？

生5：這好辦！我們算出中國隊(duì)所在小組是15場，另一個(gè)小組也是15場，共30場。這與賽程表（表略）列出的小組賽場次是一致的，所以我們（找到的關(guān)系和計(jì)算方法）是對的。

師：謝謝你！你讓大家看到了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厮伎紗栴}和一絲不茍地做事的過程。于是，老師還想知道如果是8、9、10……支球隊(duì)，怎樣解決類似場次的問題呢？試著把你的方法寫出來。

師：有不少同學(xué)列出了式子，寫的是“隊(duì)伍數(shù)×（隊(duì)伍數(shù)-1）÷2”；也有些同學(xué)寫的是“n×（n-1）÷2”。對這些不同的寫法，你們怎么看？

在交流、欣賞、質(zhì)疑、討論中，學(xué)生對比賽場次的數(shù)學(xué)思維從感性具體（中國隊(duì)要與其他每個(gè)隊(duì)進(jìn)行1場比賽）發(fā)展到感性一般（每隊(duì)都要與其他隊(duì)進(jìn)行1場比賽），從理性具體（6×5÷2）發(fā)展到理性一般［n×（n-1）÷2］。

五、對比賽場次數(shù)學(xué)化建模過程的反思與迭代思考

通過任務(wù)鏈的逐步實(shí)施，伴隨問題鏈的推進(jìn)，思維不斷深入，數(shù)學(xué)模型從粗糙的猜想變成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃惴?，在教師設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑的引導(dǎo)下，學(xué)生收獲知識、研究方法、經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，更收獲了用數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語言解釋體育比賽規(guī)則的綜合素養(yǎng)。如圖4是不同學(xué)生的感悟與收獲。

反思問題1：從普遍層次的算法化到代數(shù)表達(dá)的模型化過渡、從普遍層次到形式層次的發(fā)展過程中，給學(xué)生“悟”的時(shí)空不足?？梢园才艑W(xué)生面對同一類新問題，讓他們自由地選擇數(shù)學(xué)化的表征形式去研究，從中感悟“隊(duì)伍數(shù)”可以“任意”，在現(xiàn)實(shí)材料面前自然生成數(shù)學(xué)模型，向形式化進(jìn)階。

反思問題2：在歸納模型時(shí)，學(xué)生沒有把循環(huán)賽、淘汰賽兩階段的算法合并的意識。這可能緣于小學(xué)生思維鏈較短，或者我們的路徑設(shè)計(jì)還存在缺失。

如果將探究比賽場次的綜合與實(shí)踐活動過程拉長為2課時(shí)，讓學(xué)生更從容地經(jīng)歷充分的數(shù)學(xué)化過程，尤其是有機(jī)會面對不同“面目”的實(shí)際情境，對于學(xué)生垂直數(shù)學(xué)化的發(fā)展會更有利，模型意識的發(fā)展會更自然。

【本文系北京教育學(xué)院2020年重點(diǎn)關(guān)注課題“基于數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)的課程綜合化實(shí)施路徑研究”（編號：ZDGZ2020-20）的研究成果】

（作者單位：北京教育學(xué)院豐臺分院，北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究中心）