2022年版課標(biāo)對(duì)教學(xué)提出了新要求和新挑戰(zhàn)，需要我們建立以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為指向的新型教學(xué)。如何真正實(shí)現(xiàn)從知識(shí)本位轉(zhuǎn)向素養(yǎng)本位？需要教師探尋把知識(shí)轉(zhuǎn)化為素養(yǎng)的機(jī)制和路徑，按照數(shù)學(xué)特有的思維方式做事情、想問題、長(zhǎng)知識(shí)，從而使教學(xué)過程真正成為學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的沃土。學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵在于學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化，是“數(shù)學(xué)化”活動(dòng)之后所積淀和升華的產(chǎn)物。而數(shù)學(xué)教育正是通過教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)化來實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人價(jià)值的。

圖形的認(rèn)識(shí)主要是對(duì)圖形的抽象，描述其形狀特征；圖形的測(cè)量重點(diǎn)是確定圖形的大小。圖形的認(rèn)識(shí)與圖形的測(cè)量有密切聯(lián)系，圖形的認(rèn)識(shí)是測(cè)量的基礎(chǔ)，測(cè)量是從度量的角度加深對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)。據(jù)此，我們采用基于數(shù)學(xué)化思想的學(xué)習(xí)路徑研究行動(dòng)框架，在對(duì)“圓柱與圓錐”單元知識(shí)內(nèi)在結(jié)構(gòu)的分析及其所承載的數(shù)學(xué)育人價(jià)值判斷的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)情調(diào)研，明確單元目標(biāo)，并從任務(wù)鏈、問題鏈、知識(shí)鏈三個(gè)維度進(jìn)行單元整體設(shè)計(jì)研究。

一、數(shù)學(xué)化視角下的單元教學(xué)內(nèi)容分析與價(jià)值判斷

單元整體教學(xué)要建立在對(duì)教學(xué)內(nèi)容的學(xué)科本質(zhì)深度把握的基礎(chǔ)上，要發(fā)展學(xué)生對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)化的理解、建立知識(shí)的前后聯(lián)系，以及促進(jìn)遷移的能力。因此，教師要用數(shù)學(xué)的眼光審視知識(shí)的結(jié)構(gòu)、層次，對(duì)知識(shí)承載的價(jià)值進(jìn)行深入挖掘與判斷。

（一）分析知識(shí)本體。

通過對(duì)知識(shí)本體的分析，厘清知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展和生長(zhǎng)的機(jī)制，有利于教師從整體知識(shí)體系把握教學(xué)內(nèi)容，也有利于學(xué)生理解知識(shí)的來龍去脈，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化與體系化，從而實(shí)現(xiàn)以數(shù)學(xué)化、系統(tǒng)化的思維理解和表達(dá)學(xué)習(xí)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)站在學(xué)科研究范式的層面理解、表征、推理和應(yīng)用，并為新的研究發(fā)現(xiàn)的產(chǎn)生、新應(yīng)用的遷移奠定基礎(chǔ)。

對(duì)知識(shí)的分析可以從研究對(duì)象、視角、內(nèi)容、核心問題和方法等方面分析單元知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)：1.從學(xué)習(xí)對(duì)象來看，本單元著力研究的是以圓柱和圓錐為代表的一類旋轉(zhuǎn)體。2.從認(rèn)識(shí)圖形的視角來看，主要涉及對(duì)圖形特征的定性描述和對(duì)圖形大小的定量刻畫。3.從研究的具體內(nèi)容來看，圖形的認(rèn)識(shí)主要涉及構(gòu)成圖形的要素、要素本身的大小、數(shù)量及要素之間的關(guān)系，圖形的測(cè)量主要涉及相關(guān)度量公式的推導(dǎo)。其中二維和三維之間的轉(zhuǎn)化是該類旋轉(zhuǎn)體學(xué)習(xí)的核心方法。4.這些內(nèi)容指向的四個(gè)核心問題是：如何區(qū)分圖形？如何得到圖形？如何推導(dǎo)公式？如何應(yīng)用公式？5.其研究方法同之前學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體、正方體的路徑在整體上具有一致性，都經(jīng)過“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證—度量計(jì)算”的認(rèn)識(shí)過程。

（二）判斷育人價(jià)值。

對(duì)知識(shí)背后所蘊(yùn)藏的育人價(jià)值的發(fā)掘和判斷，為學(xué)科育人指明了方向。通過對(duì)知識(shí)形成過程的考察及多版本教材內(nèi)容的審視，依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的素養(yǎng)要求，我們明確了本單元教學(xué)所承載的育人價(jià)值：1.著力研究以圓柱和圓錐為代表的一類旋轉(zhuǎn)體，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟知識(shí)背后蘊(yùn)含的空間觀念及數(shù)學(xué)思想方法。2.通過直觀感知激活原有經(jīng)驗(yàn)，借助操作初步驗(yàn)證猜想，在思辨論證中闡釋道理，在度量計(jì)算中進(jìn)行推理應(yīng)用，經(jīng)歷“像數(shù)學(xué)家一樣思考”的過程。3.上述過程為學(xué)生感受、理解抽象的概念提供有力的支撐，有助于學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中獲得獨(dú)立思考的意識(shí)、擁有探索真理的勇氣以及具備堅(jiān)持真理的態(tài)度。

在“圓柱與圓錐”單元的設(shè)計(jì)中，力求實(shí)現(xiàn)自上而下的反哺與自下而上的承載，以LsFdwr4uuvtdqMVIH93SxHiT6eVbeFredpA8UTHNqbM=核心問題引領(lǐng)學(xué)生在探究中認(rèn)識(shí)事物、積累經(jīng)驗(yàn)，在頂層設(shè)計(jì)中培育學(xué)科素養(yǎng)，彰顯育人價(jià)值（如圖1）。

二、數(shù)學(xué)化視角下學(xué)習(xí)起點(diǎn)識(shí)別與學(xué)習(xí)目標(biāo)確定

在知識(shí)分析與價(jià)值判斷的基礎(chǔ)上，基于數(shù)學(xué)化的單元整體設(shè)計(jì)與實(shí)踐還需要進(jìn)一步明確學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)。

（一）識(shí)別學(xué)習(xí)起點(diǎn)。

為識(shí)別學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，參照相關(guān)的教學(xué)研究以及已有的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了有針對(duì)性的前測(cè)，設(shè)計(jì)了如下的調(diào)研題目（如圖2）：

通過分析，我們發(fā)現(xiàn)有近94%的學(xué)生在圖形的研究中，不僅聚焦具體的知識(shí)點(diǎn)，而且關(guān)注了圖形的要素，甚至有6.2%的學(xué)生在面臨新圖形時(shí)，能有一定的方法自主開展研究。但是學(xué)生頭腦中還沒有形成比較完整的研究立體圖形的思維路徑，對(duì)工具的使用及其遷移還存在一定困難。在猜測(cè)圓柱的體積計(jì)算公式，并嘗試把推導(dǎo)的過程寫出來時(shí)，近50%的學(xué)生是有直覺的，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的方法遷移；近30%的學(xué)生不僅能找到要素與圖形之間的聯(lián)系，而且能從體積單位累加的角度嘗試進(jìn)行計(jì)算公式的推導(dǎo)，初步具備了對(duì)圖形研究工具使用的經(jīng)驗(yàn)。

通過學(xué)情分析，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)研究圖形工具的獲得還不夠完備，自主遷移的意識(shí)還不強(qiáng)，這成為本單元整體設(shè)計(jì)的著力點(diǎn)。

（二）確定學(xué)習(xí)目標(biāo)。

學(xué)習(xí)目標(biāo)既是學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)的歸宿，它是學(xué)習(xí)所要實(shí)現(xiàn)的預(yù)期成果，關(guān)系著學(xué)習(xí)活動(dòng)的全過程，引導(dǎo)學(xué)習(xí)活動(dòng)向預(yù)定的方向發(fā)展變化。通過對(duì)本單元的知識(shí)分析、價(jià)值判斷以及學(xué)習(xí)起點(diǎn)的識(shí)別，本單元的學(xué)習(xí)需要引導(dǎo)學(xué)生在二維和三維的轉(zhuǎn)化中明晰圖形關(guān)系；通過猜想和驗(yàn)證活動(dòng)，感悟度量本質(zhì)；在類比和自主探索中，發(fā)展遷移能力。據(jù)此，制訂了本單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)（略）。

三、數(shù)學(xué)化視角下單元整體設(shè)計(jì)與實(shí)踐

識(shí)別學(xué)習(xí)起點(diǎn)和擬訂學(xué)習(xí)目標(biāo)后，設(shè)計(jì)素養(yǎng)導(dǎo)向的學(xué)習(xí)路徑，需要圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生在做任務(wù)、想問題的過程中獲得知識(shí)。我們用“如何研究立體圖形”這一大問題，統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)單元學(xué)習(xí)，結(jié)合四個(gè)核心問題，從知識(shí)鏈（需要獲得的知識(shí)）、任務(wù)鏈（做數(shù)學(xué)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）、問題鏈（可遷移的引導(dǎo)性或反思性問題）這三條主線之間的內(nèi)在一致性，立足圖形的認(rèn)識(shí)、測(cè)量和應(yīng)用這三個(gè)內(nèi)容模塊進(jìn)行單元整體設(shè)計(jì)。

（一）整體設(shè)計(jì)圖形認(rèn)識(shí)模塊教學(xué)。

圖形認(rèn)識(shí)模塊的教學(xué)，主要圍繞“如何區(qū)分圖形？如何得到圖形”兩個(gè)核心問題，引導(dǎo)學(xué)生從展開與折疊、視圖與還原、切割與堆積、旋轉(zhuǎn)這四個(gè)方面展開研究。從數(shù)學(xué)化的視角來看，學(xué)生主要是從具體實(shí)物中抽象出立體圖形，然后在觀察、操作等活動(dòng)中獲得對(duì)圖形特征的理解，處于水平數(shù)學(xué)化階段（如表1）。

（二）整體設(shè)計(jì)圖形測(cè)量模塊教學(xué)。

圖形測(cè)量模塊的教學(xué)是在“如何推導(dǎo)公式”這個(gè)核心問題的驅(qū)動(dòng)下，按照“尋找起源—建立聯(lián)系—類比推理—獲得猜想—驗(yàn)證應(yīng)用”的主線來推進(jìn)相關(guān)公式的獲得。從數(shù)學(xué)化的視角來看，學(xué)生可以類比遷移長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式的推導(dǎo)，建立確定圓柱體積大小的要素之間的定量關(guān)系，處于垂直數(shù)學(xué)化階段（如表2）。

（三）整體設(shè)計(jì)圖形應(yīng)用與復(fù)習(xí)模塊教學(xué)。

在圖形應(yīng)用部分，則是在“如何應(yīng)用公式”這個(gè)核心問題的驅(qū)動(dòng)下，著力于從實(shí)際問題中析出數(shù)學(xué)成分，完成具體的模型建構(gòu)，讓學(xué)生在不斷地從現(xiàn)實(shí)世界走向數(shù)學(xué)世界，然后回歸到現(xiàn)實(shí)世界的迭代過程中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化（如表3）。

四、數(shù)學(xué)化視角下單元整體設(shè)計(jì)的啟示

弗賴登塔爾強(qiáng)調(diào)“與其說學(xué)數(shù)學(xué)，倒不如說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化”。要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地組織經(jīng)驗(yàn)世界，教師在單元整體設(shè)計(jì)與實(shí)踐中首要的任務(wù)是帶著數(shù)學(xué)化的眼光，自身不斷加深對(duì)內(nèi)容知識(shí)的一般化、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的理解，其次要將知識(shí)的學(xué)科形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，從學(xué)生的立場(chǎng)來構(gòu)建學(xué)習(xí)路徑，特別是著力處理好知識(shí)鏈、任務(wù)鏈與問題鏈之間的相互支撐與一致性關(guān)系。

（一）加深對(duì)數(shù)學(xué)化的理解。

在教與學(xué)的實(shí)踐中，為了促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展及學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的達(dá)成，需要繼續(xù)加深對(duì)數(shù)學(xué)化思想的理解，尤其是對(duì)特定教學(xué)內(nèi)容的具體化表達(dá)，由此才能更好地以同理心幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，獲得解決復(fù)雜問題的意識(shí)和能力，養(yǎng)成核心素養(yǎng)。

（二）著力于對(duì)知識(shí)鏈、任務(wù)鏈與問題鏈的設(shè)計(jì)。

單元整體設(shè)計(jì)需要在知識(shí)分析的基礎(chǔ)上，借助結(jié)構(gòu)化思維，幫助學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)鏈，依托問題支架的搭建，設(shè)計(jì)與知識(shí)生成與發(fā)展相一致的問題鏈，并將其任務(wù)化，創(chuàng)設(shè)相匹配的任務(wù)鏈，使學(xué)生在做、思、得中深入地學(xué)習(xí)，在交流分享與批判質(zhì)疑中完成對(duì)知識(shí)的整體構(gòu)建。

（三）關(guān)注學(xué)習(xí)任務(wù)的呈現(xiàn)。

在教學(xué)實(shí)踐中，為了讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)形成與發(fā)展的過程，學(xué)習(xí)任務(wù)的呈現(xiàn)要與學(xué)生的實(shí)際需求相匹配。尤其是在學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點(diǎn)，要結(jié)合學(xué)生思維的特點(diǎn)，動(dòng)態(tài)調(diào)整學(xué)習(xí)任務(wù)呈現(xiàn)的順序、學(xué)習(xí)活動(dòng)的難易程度以及教學(xué)實(shí)施的重點(diǎn)和難點(diǎn)，以便盡可能實(shí)現(xiàn)所設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)任務(wù)與學(xué)生的實(shí)際需求相匹配。

【本文系北京教育學(xué)院2020年重點(diǎn)關(guān)注課題“基于數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)的課程綜合化實(shí)施路徑研究”（編號(hào)：ZDGZ2020-20）的研究成果】

（作者單位：北京教育學(xué)院，北京市東城區(qū)史家小學(xué)，北京市東城區(qū)教育科學(xué)研究院）