小學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域課程內(nèi)容的素養(yǎng)指向?qū)W生空間觀念、幾何直觀、推理意識的初步形成和發(fā)展。在長方體、正方體的單元學(xué)習(xí)中，學(xué)生從點、棱、面等圖形要素的數(shù)量及其關(guān)系來描述共性和差異，建立圖形的概念。用這樣的眼光遷移思考一般的多面體，不難歸納得到關(guān)于頂點數(shù)（V）、棱數(shù)（E）、面數(shù)（F）的恒等關(guān)系式，即“V+F-E=2”（又叫凸多面體歐拉公式，本文簡稱歐拉公式），既而感受一般立體圖形所內(nèi)蘊的不變模式。幾何學(xué)大師陳省身先生認(rèn)為“好的數(shù)學(xué)”是“能發(fā)展、能越來越深入、能被廣泛應(yīng)用、互相聯(lián)系的數(shù)學(xué)”，而“不好的數(shù)學(xué)”則是“一些比較孤立的內(nèi)容”。歐拉公式就是符合這樣主流價值觀的“好數(shù)學(xué)”，它被譽為現(xiàn)代代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的起點。其承載了幾何思維與代數(shù)思維的融合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，且具有方法論的教育價值，對于未來的學(xué)習(xí)能夠起到極好的滋養(yǎng)作用。

小學(xué)高年級學(xué)生能否自主探究再發(fā)現(xiàn)歐拉公式？他們需要完成哪些數(shù)學(xué)化活動？如何看待這些活動的價值？帶著這樣的問題，基于數(shù)學(xué)化思想，我們對學(xué)生再發(fā)現(xiàn)歐拉公式的學(xué)習(xí)路徑做了如下研究。

一、分析歐拉公式的思維進(jìn)階

（一）再創(chuàng)造歐拉公式的數(shù)學(xué)化過程。

弗賴登塔爾指出，“再創(chuàng)造”是關(guān)于研究層次的教學(xué)原則，是建立在把“數(shù)學(xué)作為一種活動來進(jìn)行解釋和分析”這一基礎(chǔ)上的教學(xué)方法。歐拉公式揭示了圖形的代數(shù)信息，它是幾何思維和代數(shù)思維融合的產(chǎn)物。從幾何思維的角度來看，它表示構(gòu)成立體圖形的基本要素點、線、面之間的不變關(guān)系。從幾何思維水平來看，需要觀察一類圖形的形狀（直觀水平），然后對其要素的數(shù)量特征進(jìn)行考察，尋找這些要素數(shù)量的不變規(guī)律，給出代數(shù)表示（分析水平），并嘗試解釋這個公式的合理性（進(jìn)入非形式化演繹水平）。一般小學(xué)階段還達(dá)不到進(jìn)入證明的形式化演繹階段。

從代數(shù)思維的角度來看，歐拉公式是涉及多個變量的不定函數(shù)。它是對數(shù)據(jù)進(jìn)行考察、歸納發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，而非純粹的幾何推理。歸納就是考察一類對象或者系統(tǒng)的共性特征，從個別事實概括出一般原理的推理方法。為了便于學(xué)生著手，可以正棱柱（底面是正多邊形的直棱柱）為例進(jìn)行探索發(fā)現(xiàn)，其大致需要經(jīng)歷以下幾個階段。1.考察多個立體圖形：對底邊、頂點、棱、面等分別計數(shù)，以獲取結(jié)構(gòu)化的數(shù)據(jù)，作為歸納的對象。2.分析結(jié)構(gòu)化的數(shù)據(jù)：每類正棱柱的命名方式依賴于其底面多邊形的邊數(shù)（如三棱柱、四棱柱），后者也自然適合作為多個變量關(guān)系的共有自變量。比如面數(shù)=底面邊數(shù)+2，棱數(shù)=底面邊數(shù)×3，頂點數(shù)=底面邊數(shù)×2。3.猜想歐拉公式：需聯(lián)立三個等量關(guān)系式，消去底面邊數(shù)便可得到。學(xué)生也可以先整合其中兩個等式，再加入剩下那個，從而重新整合為一個等式即可。4.審察更多的立體圖形，檢驗公式的正確性。

（二）審視探究歐拉公式承載的育人價值。

通過前述對歐拉公式再發(fā)現(xiàn)過程的思維分析，不難看出，其承載的教育價值至少有以下三點：1.學(xué)生可以歸納發(fā)現(xiàn)多樣性的圖形之間內(nèi)蘊的基本共性結(jié)構(gòu)，從而激發(fā)對圖形和空間的好奇心和學(xué)習(xí)興趣。2.歐拉公式揭示了圖形的性質(zhì)與要素之間的數(shù)量關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，其推理過程有助于促進(jìn)學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展。3.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷實驗、觀察、猜想發(fā)現(xiàn)、解釋說理的全過程，具有一般的方法論價值，有利于與中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的銜接。

（三）判斷學(xué)生的現(xiàn)實基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)目標(biāo)。

高年級學(xué)生能夠在直觀辨認(rèn)圖形的基礎(chǔ)上，運用點、線、面等構(gòu)成圖形的基本要素描述圖形的性質(zhì)（包括相關(guān)的數(shù)量關(guān)系），并嘗試建立性質(zhì)之間的順序關(guān)系。在代數(shù)推理方面具備處理兩個變量之間關(guān)系的經(jīng)驗，包括用字母表示數(shù)，幾乎沒有處理多個變量的經(jīng)歷。從前期的調(diào)研結(jié)果來看，在本例中多數(shù)學(xué)生能夠自主完成三個等量關(guān)系式的建立（如圖1所示），對于面數(shù)、棱數(shù)、頂點數(shù)分別和底面邊數(shù)的關(guān)系是清楚的。而將三個等量關(guān)系式通過消去共有自變量（底面邊數(shù)），合并為一個關(guān)系式有困難，但能理解等量的替換，而且已具備初步的符號意識，探究歐拉公式正處于他們思維的“最近發(fā)展區(qū)”。

基于前述分析，可以把該主題活動的學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)置為如下三條可遷移的大觀念：1.圖形的變化規(guī)律揭示了圖形的性質(zhì)與要素之間的位置關(guān)系，表達(dá)為數(shù)量關(guān)系；2.探究公式是實驗、觀察、推理、發(fā)現(xiàn)的過程與結(jié)果；3.用公式表達(dá)規(guī)律是不斷優(yōu)化和符號化的過程。

二、預(yù)設(shè)“再創(chuàng)造”的教學(xué)路線

一般的幾何學(xué)習(xí)活動涉及視覺、構(gòu)造、推理三種認(rèn)知過程，學(xué)生需要學(xué)習(xí)把圖形、操作與推理結(jié)合在一起，并借助直觀化手段促進(jìn)幾何學(xué)習(xí)。學(xué)生需要在教師引導(dǎo)下，對手頭材料進(jìn)行有層次的數(shù)學(xué)化，發(fā)現(xiàn)歐拉公式便能水到渠成。對教學(xué)路線可做如下設(shè)計。

（一）課前準(zhǔn)備材料：正棱柱模型數(shù)個，任務(wù)單一份（需記錄多個正棱柱的面數(shù)、棱數(shù)、頂點數(shù)以及底面形狀，并嘗試找出面數(shù)、棱數(shù)、頂點數(shù)之間的規(guī)律）。

（二）整體設(shè)計學(xué)生做事情、想問題、獲知識的活動（如表1）。

從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化的角度來看，任務(wù)1是激活學(xué)生的已有經(jīng)驗，有意識地參與接下來尋找圖形規(guī)律的任務(wù)；任務(wù)2是鼓勵學(xué)生自主對現(xiàn)實材料初步數(shù)學(xué)化，獲得結(jié)構(gòu)化的數(shù)據(jù)；任務(wù)3是引導(dǎo)學(xué)生對三條縱向規(guī)律做橫向整合，是教師指導(dǎo)下集體完成多次等量代換的過程；任務(wù)4是將任務(wù)3的代數(shù)發(fā)現(xiàn)重新作用于圖形，運用運動的觀點審視要素之間的變化特點和依賴關(guān)系，體悟代數(shù)和幾何思維融合的美妙之境，洞察到幾何美背后的“抽象美”，好奇心得到滿足，數(shù)學(xué)情感得以升華。

三、實施數(shù)學(xué)化的路徑（片段賞析）

片段一：代數(shù)推理，對三組變量進(jìn)一步代數(shù)化。

師：通過剛才的分享和討論，大家已經(jīng)分別得到面數(shù)、棱數(shù)、頂點數(shù)和底面圖形邊數(shù)之間的關(guān)系式。我們最終的目的是想要一個關(guān)于面數(shù)、棱數(shù)、頂點數(shù)在一起的公式，困難在哪里？

生：不知道怎么變成一個式子。

師：把三個變成一個有困難，能否嘗試先把兩個變成一個？

生1：我發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)加x（底面圖形的邊數(shù)）等于棱數(shù)。

師：很好，你把后面兩個“合二為一”了。還有嗎？

生2：面數(shù)加2x再減去2，也跟棱數(shù)相等。

師：很好，我把他們說的寫下來。還有嗎？

生3：由剛才兩位同學(xué)的說法，可以推出“面數(shù)加2x減2等于頂點數(shù)加x”。

師：你聽得很仔細(xì)，正確。在前面三位同學(xué)思考的基礎(chǔ)上，我們已經(jīng)很接近目標(biāo)了！如果把第一個和最后一個加起來，會怎樣？

生：（齊）面數(shù)加頂點數(shù)等于3x加2。

師：3x是什么？

生：（齊）就是棱數(shù)。

師：把3x換成棱數(shù)來表示，是不是就有了這樣一個包含面數(shù)、棱數(shù)、頂點數(shù)的公式？如果把它們一起放到等式的一邊，就可以寫成“面數(shù)+頂點數(shù)-棱數(shù)=2”。270多年前大數(shù)學(xué)家歐拉首次發(fā)現(xiàn)了它，因此被稱作“歐拉公式”。我們剛才一起又重新發(fā)現(xiàn)了它?？吹竭@個式子，大家有什么感受？

生：（自由答）妙！很爽快！如釋重負(fù)！我們也很優(yōu)秀……

評析：學(xué)生通過觀察不難發(fā)現(xiàn)三個等量關(guān)系式，而把三個等量關(guān)系式整合為一個是首次體驗，因此，教師提出了對公式再組織的“合二為一”策略。學(xué)生已具有用字母表示變量以及作等量代換的代數(shù)思維基礎(chǔ)，在教師的引導(dǎo)下，通過個別學(xué)生的思維激蕩，最后達(dá)成共識，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的社會建構(gòu)性。

片段二：幾何推理，對歐拉公式的直觀化。

師：剛才我們通過從數(shù)據(jù)里找規(guī)律發(fā)現(xiàn)了歐拉公式，看來它是隱藏在這些棱柱里的。我們能否從圖形上看出來呢？一般來說，數(shù)學(xué)家們很喜歡把比較抽象的公式變成直觀的理解。

師：（演示）我們先看一個最簡單的圖形——三棱柱。先搭一個三角形，這個三角形的“面數(shù)+頂點數(shù)-邊數(shù)”是多少？

生1：等于1，頂點數(shù)和邊數(shù)恰好抵消了。

師：很好，它和我們的歐拉公式稍微有點不同?，F(xiàn)在我們嘗試把它變成三棱柱。柱體是怎么得到的？

生2：可以通過平移得到，面動成體。

師：好，現(xiàn)在就讓底面動起來，我們先觀察上、下底面的兩個三角形，它們是一樣的，它們的“面數(shù)+頂點數(shù)-邊數(shù)”合起來算，是多少？

生3：等于2。

師：（繼續(xù)演示）大家注意看，我在動的過程中，除上、下底面以外，觀察頂點數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)有沒有變化。頂點數(shù)增加了嗎？

生：（齊）沒有。

師：（重復(fù)演示）棱數(shù)增加了嗎？

生：（自由答）底面、頂點上移，導(dǎo)致增加了3條側(cè)面的棱。

師：面數(shù)有增加嗎？

生：（自由答）底面的邊上移，導(dǎo)致增加了3個側(cè)面。

師：新增的面數(shù)和棱數(shù)是否恰好抵消？

生：（齊）是的。

師：因此，能看出來歐拉公式是對的嗎？

生：是的。

師：用這種辦法也可以去類比思考其他棱柱的歐拉公式嗎？

生：可以。

評析：此處借助動態(tài)演示，采用“蘇格拉底式”的追問，幫助學(xué)生理解點、線、面之間的依存關(guān)系，從而建立對公式的直觀理解。在平移運動過程中點動成線、邊動成面，因此新增的面數(shù)和棱數(shù)做差相抵消，由此不難推出只需等價計算上、下底面兩個多邊形的“頂點數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)”，其值必然為2。這里對演示材料進(jìn)行數(shù)學(xué)化的核心正是運用幾何推理，學(xué)生的思維體驗在本課達(dá)到巔峰。此外，還可以新增任務(wù)“探索其他立體圖形是否滿足歐拉公式（比如錐體、正多面體等）”作為自主作業(yè)。這既體現(xiàn)了對本課數(shù)學(xué)方法的遷移應(yīng)用，也能激發(fā)學(xué)生探向新的可能。

【本文系北京教育學(xué)院2020年重點關(guān)注課題“基于數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)的課程綜合化實施路徑研究”（編號：ZDGZ2020-20）的研究成果】

（作者單位：北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究中心）