數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)，被概括為“三會(huì)”（會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界），其實(shí)質(zhì)上就是學(xué)生歷經(jīng)數(shù)學(xué)化活動(dòng)之后所積淀和升華的產(chǎn)物［1］。核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的教學(xué)，要讓學(xué)生學(xué)習(xí)有深度、思維有進(jìn)階，必然離不開有層次的數(shù)學(xué)化活動(dòng)。因此，教學(xué)的關(guān)鍵問題是如何發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)化的本領(lǐng)［2］。

學(xué)習(xí)路徑一般指的是一種對學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的理解與思維表現(xiàn)的預(yù)測，其包含學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)活動(dòng)和假定的學(xué)習(xí)過程三個(gè)方面內(nèi)容［3］。課堂教學(xué)實(shí)質(zhì)上是教師對假設(shè)的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行實(shí)施和調(diào)整的過程。為課堂教學(xué)服務(wù)的學(xué)習(xí)路徑研究，需要關(guān)注學(xué)生在某個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容上的數(shù)學(xué)化思維特征與過程的表現(xiàn)。其研究成果對核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)，會(huì)產(chǎn)生更強(qiáng)的實(shí)踐指導(dǎo)價(jià)值，既有利于學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展，也有利于教師的專業(yè)成長，因此越來越受一線教師青睞。本文將闡述數(shù)學(xué)化思想對學(xué)習(xí)路徑研究的啟示和實(shí)踐策略，以期對學(xué)習(xí)路徑的實(shí)踐研究提供新的視角。

一、學(xué)習(xí)路徑研究的數(shù)學(xué)化思想依據(jù)

人們運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實(shí)世界，分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理、組織，以發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，這個(gè)過程就是數(shù)學(xué)化［4］。其具體表現(xiàn)可以有圖式化、模型化、形式化、算法化、抽象化、直觀化、公理化等多個(gè)方面的表現(xiàn)，并且不限于此［2］。人們從現(xiàn)實(shí)事物與活動(dòng)中抽象出數(shù)學(xué)概念和命題就是數(shù)學(xué)化；數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)概念和命題進(jìn)行純數(shù)學(xué)的深化研究也是數(shù)學(xué)化；整理眾多的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，既而形成完備的數(shù)學(xué)理論還是數(shù)學(xué)化。概而言之，用數(shù)學(xué)方法把實(shí)際材料組織起來進(jìn)行有層次的加工都是在進(jìn)行數(shù)學(xué)化。

（一）數(shù)學(xué)知識(shí)是常識(shí)數(shù)學(xué)化的結(jié)果。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的知識(shí)是被符號(hào)化了的演繹體系，是數(shù)學(xué)化的結(jié)果。結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系不過是人們把不同層面的常識(shí)用數(shù)學(xué)的方式再組織、系統(tǒng)化的結(jié)果。學(xué)校里的學(xué)習(xí)本質(zhì)上是“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”的過程，數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)該教會(huì)學(xué)生“用數(shù)學(xué)化的方式再創(chuàng)造”現(xiàn)成的知識(shí)。一般性常識(shí)源于兒童的生活經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過提煉和組織，而凝聚成一定的概念和法則。這些原初的概念和法則在構(gòu)建更高層次的數(shù)學(xué)概念和法則中又成為新知的底座，再一次被提煉、組織，而凝練成新的概念和法則，如此不斷螺旋上升。比如，在認(rèn)識(shí)空間的活動(dòng)中，位置被抽象為點(diǎn)，連接位置的路徑被抽象為線段（或一般曲線）；方向的變化程度被抽象為角及其大小，物體形狀或輪廓的模式被概括為一些基本圖形的組成，圖形便可視為點(diǎn)的軌跡，圖形的邊、角、位置和大小關(guān)系決定了圖形的樣式；比較圖形所在區(qū)域的大小，又產(chǎn)生了面積和體積的概念，類比于數(shù)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，小圖形作為計(jì)數(shù)單位去度量面積或體積，更進(jìn)一步把度量經(jīng)驗(yàn)算法化，就得到了相應(yīng)的計(jì)算公式……而把已發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)采用公理化方式加以整理，就讓數(shù)學(xué)成為一個(gè)有邏輯的、相對完備的知識(shí)系統(tǒng)。直到今天，數(shù)學(xué)的發(fā)展也仍然保有這一傳統(tǒng)，即在原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，基于探究問題的提出和解決，進(jìn)一步抽象出新的數(shù)學(xué)對象和關(guān)系，并發(fā)展出新觀念。弗賴登塔爾主張，學(xué)生應(yīng)該從數(shù)學(xué)化的各個(gè)方面來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，教師要從數(shù)學(xué)化的各個(gè)方面指導(dǎo)學(xué)生再創(chuàng)造知識(shí)，包括再創(chuàng)造數(shù)學(xué)化本身［5］?？梢哉f，沒有數(shù)學(xué)化就沒有數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法論要義。

（二）課程內(nèi)蘊(yùn)的數(shù)學(xué)化層次。

孤立地學(xué)習(xí)某個(gè)知識(shí)沒有太大的意義，且很容易被遺忘，課程設(shè)計(jì)和實(shí)施的過程也要體現(xiàn)數(shù)學(xué)化的層次性。首先，對非數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)化，其體現(xiàn)了獨(dú)到的數(shù)學(xué)眼光；其次，對數(shù)學(xué)內(nèi)容本身做局部的組織，其體現(xiàn)了富于邏輯的數(shù)學(xué)思維；最后，做整體的組織，其體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的一致性和發(fā)展性，以及數(shù)學(xué)語言的抽象性。數(shù)學(xué)化也可以從水平化和垂直化兩個(gè)維度來看待。前者讓學(xué)生從生活世界走向符號(hào)世界，后者讓符號(hào)語言在數(shù)學(xué)范疇中繼續(xù)重組。在學(xué)習(xí)特定的主題內(nèi)容時(shí)，這兩個(gè)維度也常常是纏繞在一起、難以割裂的，前述每個(gè)層次的數(shù)學(xué)化也內(nèi)蘊(yùn)了這兩個(gè)方面的內(nèi)容。此外，對已經(jīng)得到的概念、模型、技巧和思想方法做進(jìn)一步的理解和反思，也應(yīng)視為各個(gè)層次數(shù)學(xué)化的一部分。

以小學(xué)階段面積主題學(xué)習(xí)為例，其數(shù)學(xué)化路徑如圖1所示：第一層次（進(jìn)階一）是類比長度的概念，將量化思想作用于對二維圖形大小的描述，其問題解決策略為從感官比較上升到使用計(jì)數(shù)策略做判斷；第二層次（進(jìn)階二至四）是在計(jì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上通過歸納和類比發(fā)現(xiàn)規(guī)則圖形的算法模式，其反映了圖形的基本要素（一維量）如何決定面積，進(jìn)一步符號(hào)化為公式表達(dá)，其問題解決策略是從“數(shù)”到“算”；第三層次（進(jìn)階五）是從“以直代曲”做近似的類比計(jì)算到極限思想的運(yùn)用，以圓面積探究為例，初步體會(huì)無限分割后面積的極限值，將面積計(jì)算公式中的“近似”觀念提升為“相等”的觀念。

（三）特定數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)化路徑。

問題是數(shù)學(xué)的心臟，知識(shí)是問題探究和解決后的自然產(chǎn)物。杜威把知識(shí)看作通過操作把有問題的情境改變成解決了問題情境的結(jié)果。把個(gè)案問題解決的經(jīng)驗(yàn)一般化，以獲得普遍的模型或模式，是數(shù)學(xué)化的內(nèi)在價(jià)值追求。

從對特定問題解決一般化的過程來看，問題解決又表現(xiàn)為以下四個(gè)層次：1.情境層次。只是就事論事，利用非正式知識(shí)和直觀感受的策略解決問題。例如，在正式學(xué)習(xí)乘法前，在點(diǎn)陣式排隊(duì)情境中，學(xué)生利用連續(xù)數(shù)數(shù)或分段累計(jì)的經(jīng)驗(yàn)解決計(jì)數(shù)問題。2.指涉層次。涉及利用具體數(shù)學(xué)模型去代表情境中的數(shù)學(xué)對象及其關(guān)系。例如，通過前述情境，發(fā)現(xiàn)做等組計(jì)數(shù)——對于m行n列，每行數(shù)n連續(xù)加m次（或者每列數(shù)m連續(xù)加n次）的便利，認(rèn)識(shí)到相同數(shù)累加的現(xiàn)實(shí)模型，其總數(shù)可以簡化表示為行數(shù)和列數(shù)乘法算法（乘數(shù)位置可交換）。3.普遍層次。能夠利用模型本身的數(shù)學(xué)關(guān)系來處理問題及其同類型的一般化問題。例如，對于多個(gè)涉及等組模型的計(jì)數(shù)問題，能自覺地采用乘法算法來獲得總數(shù)。4.形式層次。容許學(xué)習(xí)者超越當(dāng)前問題情境，對其一般意義上的、形式化的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行純粹思維、反思及欣賞活動(dòng)。例如，隨著學(xué)習(xí)的深入，認(rèn)識(shí)到用乘法模型可以統(tǒng)一地表示現(xiàn)實(shí)情境中的等組模型、面積模型、倍比模型、組合模型等數(shù)量關(guān)系；當(dāng)三個(gè)量表示為乘法關(guān)系（數(shù)量關(guān)系）時(shí)，總是可以根據(jù)乘法關(guān)系，利用已知的兩個(gè)數(shù)量去求另一個(gè)數(shù)量。

也有學(xué)者提出完整的數(shù)學(xué)化活動(dòng)應(yīng)包含現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律化、數(shù)學(xué)內(nèi)容現(xiàn)實(shí)化三個(gè)階段［6］。這些觀點(diǎn)為在微觀層面（對某個(gè)特定內(nèi)容的學(xué)習(xí)）開展基于數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)路徑研究，提供了有力的理論指導(dǎo)。

二、數(shù)學(xué)化視角下學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)研究方案

理解數(shù)學(xué)的層次性，以及跨越層次的數(shù)學(xué)化方法，內(nèi)蘊(yùn)了學(xué)習(xí)的路徑。綜合當(dāng)前國內(nèi)外學(xué)習(xí)路徑研究的不同視角［7］，我們認(rèn)為研究學(xué)習(xí)路徑，需要關(guān)注對學(xué)生在某個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容上的數(shù)學(xué)化思維特征與過程的描述，即圍繞特定主題的數(shù)學(xué)內(nèi)容，基于學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成，教師為支持學(xué)生對學(xué)習(xí)材料進(jìn)行有層次的數(shù)學(xué)化，而展開的一系列活動(dòng)所形成的假定路線。它的主要構(gòu)成要素包括思維進(jìn)階（包含認(rèn)知目標(biāo)的起點(diǎn)、終點(diǎn)及關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)）、學(xué)習(xí)任務(wù)、指導(dǎo)手段等，它是多條線索的有機(jī)整合。

開發(fā)特定數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)路徑是一項(xiàng)工程，需要運(yùn)用工程思維。工程思維的核心是以了解、設(shè)計(jì)和測試所形成的高效迭代思考為閉環(huán)，中間又要輔以實(shí)證、遴選等方法。經(jīng)過三年多的實(shí)踐研究，我們初步形成了一套便于操作的行動(dòng)研究方案，可以在課例和單元整體教學(xué)層面開展學(xué)習(xí)路徑的研究。（如圖2）

（一）學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)的預(yù)備：分析數(shù)學(xué)理解進(jìn)階。

教師在備課時(shí)，預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)路徑離不開自身對特定主題或題材的數(shù)學(xué)理解。教師基于兒童立場，在選擇或設(shè)置承載一定知識(shí)目標(biāo)的豐富且有趣的題材或活動(dòng)9QebV3Z1yBiskBGBY8xCBYu8hRB+dFD7FyI3U3RCA3I=時(shí)，需要有“將要教的內(nèi)容作為一種數(shù)學(xué)化活動(dòng)來分析”（弗賴登塔爾語）的意識(shí)。特別是要整體把握其發(fā)生、發(fā)展脈絡(luò)，以及思維進(jìn)階的層次性，即針對特定數(shù)學(xué)內(nèi)容，連接學(xué)生現(xiàn)有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和潛在的學(xué)習(xí)目標(biāo)，建構(gòu)思維晉升序列。它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化過程的階段性成果，其外化并構(gòu)成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)鏈或知識(shí)網(wǎng)，體現(xiàn)了相應(yīng)題材所關(guān)聯(lián)的知識(shí)。由此，也能更好地發(fā)掘該題材的育人價(jià)值。比如，從前述面積的數(shù)學(xué)化層次，可知其公式教學(xué)的價(jià)值在于：1.反映了圖形的性質(zhì)與要素之間的位置關(guān)系，表現(xiàn)為某種確定的數(shù)量關(guān)系；2.探究公式是實(shí)驗(yàn)、觀察、推理、歸納的過程與結(jié)果；3.感悟轉(zhuǎn)化的思想，發(fā)展幾何推理能力。在此基礎(chǔ)上，教師也能更好地、有針對性地開展學(xué)情分析，研判適切的學(xué)習(xí)起點(diǎn)和目標(biāo)。

（二）預(yù)設(shè)教學(xué)路線：把握三條主線的一致性。

整體設(shè)計(jì)教學(xué)路線要把握三個(gè)策略：1.圍繞主題梳理知識(shí)鏈的發(fā)展形態(tài)，可視化為知識(shí)的“發(fā)展藍(lán)圖”，體現(xiàn)了群體的相對認(rèn)知共識(shí)；2.確定學(xué)生要做的任務(wù)鏈條，其邏輯關(guān)系由數(shù)學(xué)化的層次性決定，體現(xiàn)情境中個(gè)體行為差異化表現(xiàn)的活動(dòng)載體；3.擬定需要思考的問題鏈，提供“專家思維”腳手架，體現(xiàn)個(gè)體認(rèn)知與社會(huì)交互的思維過程。在內(nèi)容分析基礎(chǔ)上，可視化知識(shí)圖譜也就水到渠成了。學(xué)習(xí)任務(wù)是數(shù)學(xué)化的載體，是需要學(xué)生個(gè)體或集體合作完成的一些關(guān)鍵任務(wù)鏈；任務(wù)鏈?zhǔn)菍W(xué)生要做的事，它蘊(yùn)含了知識(shí)發(fā)展的邏輯順序，以及時(shí)間上的操作順序，低階任務(wù)的成果將成為高階任務(wù)的數(shù)學(xué)化對象。在大多數(shù)情況下學(xué)生難以自主實(shí)現(xiàn)高階的數(shù)學(xué)化活動(dòng)，故而需要教師的支持，特別是一些關(guān)鍵的啟發(fā)性或反思性問題鏈。這些問題鏈，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化的外在驅(qū)動(dòng)力，在某種程度上扮演著“像數(shù)學(xué)家那樣”圍繞驅(qū)動(dòng)任務(wù)而開展自我對話的功能。

（三）學(xué)習(xí)路徑的實(shí)施與迭代：指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷再創(chuàng)造過程。

實(shí)施課程的教師，不再只是知識(shí)的傳授者，而是教學(xué)活動(dòng)的組織者，學(xué)習(xí)過程的評估者、合作者和引領(lǐng)者。一方面他們有能力自發(fā)地開展數(shù)學(xué)化，另一方面則希望教師能給出某種示范。前者讓創(chuàng)造力得以釋放，后者讓求知欲得以滿足。在這種跨越層次的活動(dòng)中，學(xué)生學(xué)習(xí)如何數(shù)學(xué)化，或者說如何“做數(shù)學(xué)”。因此，需要教師幫助學(xué)生順利推進(jìn)任務(wù)并適時(shí)介入，引導(dǎo)學(xué)生對材料持續(xù)數(shù)學(xué)化，必要時(shí)演示如何回應(yīng)那些伴隨任務(wù)的問題鏈，教師的“示范性”也正在于此。伴隨學(xué)生拾級(jí)而上完成任務(wù)，學(xué)習(xí)的成就感也就流淌出來。此外，要尊重每一個(gè)學(xué)生的真實(shí)表達(dá)，每個(gè)子任務(wù)的完成也可能體現(xiàn)了不同形式的數(shù)學(xué)化，要弱化對與錯(cuò)的簡單判斷，強(qiáng)調(diào)“好”和“更好”的比較，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)探索是一個(gè)不斷深化、優(yōu)化認(rèn)識(shí)的過程。還應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生分享遇到的困難和克服困難的辦法，以及收獲理解的成就感。相應(yīng)的關(guān)鍵反思性問題可以是：“如何獲得猜想（發(fā)現(xiàn)）？哪種表達(dá)更好理解？是否可用圖形直觀表示？今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容（或方法）和過去學(xué)習(xí)的哪些內(nèi)容（或方法）有關(guān)聯(lián)或者接近？數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意味著什么？”以此幫助學(xué)生發(fā)展正確的元認(rèn)知，以及良好的數(shù)學(xué)觀、學(xué)習(xí)觀，真切體悟到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真味、趣味和人情味。

總之，教師需要針對特定教學(xué)內(nèi)容或題材，從數(shù)學(xué)化的角度分析其蘊(yùn)含的思維進(jìn)階，從學(xué)習(xí)者的角度認(rèn)識(shí)其育人價(jià)值，既而調(diào)研學(xué)情以判定學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)和學(xué)習(xí)目標(biāo)；在此基礎(chǔ)上，精心設(shè)計(jì)學(xué)生需要做的任務(wù)和圍繞任務(wù)完成需要關(guān)聯(lián)思考的問題（含非純數(shù)學(xué)問題），才能促使學(xué)生深度參與建構(gòu)真正屬于自己的結(jié)構(gòu)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；通過反思，優(yōu)化教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生“能做事情”“會(huì)想問題”“增進(jìn)理解”“發(fā)展素養(yǎng)”。

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【本文系北京教育學(xué)院2020年重點(diǎn)關(guān)注課題“基于數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)的課程綜合化實(shí)施路徑研究”（編號(hào)：ZDGZ2020-20）的研究成果】

（作者單位：北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究中心）