高海林 李陽 費宛瑩 席文靜 李雪

摘要：光電效應(yīng)實驗是物理學習過程中的一個重要實驗，通過光電效應(yīng)實驗可以對普朗克常數(shù)進行計算。當數(shù)據(jù)量較少時，計算結(jié)果和真實值之間往往存在較大誤差。隨著機器學習和人工智能的快速發(fā)展，物理數(shù)值計算也可以使用不同的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)框架進行解決。文章介紹了光電效應(yīng)方程對普朗克常數(shù)計算的理論依據(jù)，采用深度學習的Keras框架對110個數(shù)據(jù)樣本進行了不同批次訓(xùn)練，研究了損失函數(shù)對普朗克常數(shù)計算精度的影響。基于深度學習Keras框架的普朗克常數(shù)計算方法研究為物理常數(shù)的計算提供了新的思路。

關(guān)鍵詞：光電效應(yīng)；普朗克常數(shù)；深度學習；Keras框架

中圖分類號：TP311? ? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2023）31-0022-03

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0 引言

普朗克常數(shù)是一個物理常數(shù)[1]，記為[h]。1900年，馬克斯·普朗克在研究物體熱輻射的規(guī)律時，提出了一個全新的黑體輻射公式，即：

[Mλ（T）=2πhc2λ-51exp（hcλkT）-1]? （1）

公式（1） 也被稱為普朗克公式。其中，[c]和[λ]分別表示光速和波長，[k]和[T]分別表示玻爾茲曼常數(shù)和絕對溫度，[h]為普朗克常數(shù)。普朗克在對上述公式尋找理論解釋時，提出了著名的量子假設(shè)。

1 普朗克常數(shù)計算實驗原理

某些金屬在受到適當頻率的光照射時，金屬中的自由電子會獲得能量而逸出金屬表面，這種現(xiàn)象被稱為光電效應(yīng)[2]。光電效應(yīng)的實驗原理裝置如圖1所示。

圖1中，[A]為光電管陽極，[K]為光電管陰極。當適當頻率為[υ]的單色光入射到光電管陰極上時，電子從陰極逸出后向陽極運動，形成光電流。

當[UAK=UA-UK]為正值時，[UAK]越大，光電流[IAK]越大，但當電壓[UAK]達到某一數(shù)值時，光電流達到飽和。若在陽極和陰極間施加反向電壓，光電流則逐漸減小，直到[UAK]達到某一負值[US]時，光電流變?yōu)榱?，此時[US]稱為遏止電位或截止電壓。從場的角度可以對此進行解釋，這是因為從陰極逸出的具有最大初動能的電子不能穿過反向電場到達陽極，即

[eUs=12mv2]? ? ? ? ?（2）

愛因斯坦在對光電效應(yīng)尋求理論解釋時，提出了著名的光電效應(yīng)方程，即：

[hυ=12mv2+A]? ? ? ? ?（3）

其中，[12mv2]為電子最大初動能，[A]為逸出功。

將（2） 式代入（3） 式得：

[hυ=e|Us|+A]? ? ? ? （4）

當利用不同頻率的單色光照射光電管陰極時，有：

[hυ1=e|Us1|+A]? ? ? ? （5）

[hυ2=e|Us2|+A]? ? ? ? （6）

……

其中，[v1]和[v2]分別表示兩種不用頻率的單色光。

聯(lián)立上述任意兩個方程，得：

[h=e（Usi-Usj）υi-υj]? ? ? ? （7）

其中，[Usi]是入射光頻率為[υi]時，對應(yīng)的截止電壓。

由公式（7） 可知，愛因斯坦光電效應(yīng)方程提供了一種測量普朗克常數(shù)的方法[3-5]。如果從實驗數(shù)據(jù)所得的[|Us|-υ]關(guān)系曲線如圖2所示，那么直線斜率的物理含義應(yīng)該是：

[k=he]? ? ? ? ? ? ? （8）

其中，[e]為電子電荷，數(shù)值為[1.602 176 634×10-19C]。

求出直線斜率[k]，然后乘以元電荷[e]即為普朗克常數(shù)[h]。

在大學實驗中，光電效應(yīng)實驗是一個很重要的實驗。通過該實驗，可以加深學生對于光電效應(yīng)方程的理解，提高動手能力，同時鍛煉數(shù)據(jù)分析與處理的能力。

以南京醫(yī)科大學康達學院為例，學生在利用長春市長城教學儀器有限公司生產(chǎn)的GD-IIIA型普朗克常數(shù)測定儀進行光電實驗時，儀器可以提供的濾色片僅僅有5種，對應(yīng)的波長分別為365.0 nm、404.7 nm、436.8 nm、546.1 nm和577.0 nm，這也就相當于圖2 [|Us|-υ]關(guān)系圖中僅僅有5個點。計算擬合直線斜率的方法通常有2種，一種是先繪制標準坐標軸，然后在二維坐標系中描繪出數(shù)據(jù)點，再繪出擬合的直線（離散的點盡量均勻分布在直線兩側(cè)），最后計算直線斜率。另一種方法是每相鄰兩數(shù)據(jù)之間計算斜率，最后再求出斜率的平均值。雖然可以通過多次測量減少誤差，但實際計算結(jié)果和普朗克常數(shù)的真實值之間往往存在較大的誤差。

2 基于Keras框架的普朗克常數(shù)計算

2.1 Keras框架簡介

Keras是一個由Python語言編寫的開源人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)庫，它通常以TensorFlow、CNTK或者Theano作為后端運行，可以對深度學習的模型進行設(shè)計、調(diào)試、評估和可視化等[6-14]。

Keras在代碼結(jié)構(gòu)上由面向?qū)ο蠓椒ň帉?，完全模塊化并具有可擴展性。Keras支持現(xiàn)代人工智能領(lǐng)域的主流算法，包括前饋結(jié)構(gòu)和遞歸結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，也可以通過封裝參與構(gòu)建統(tǒng)計學習模型。

2.2 軟件簡介

利用Keras框架進行普朗克常數(shù)計算需要用到的軟件主要有Anaconda Navigator和Pycharm。

Anaconda是一個安裝、管理Python相關(guān)包的軟件，還自帶Python、Jupyter Notebook、Spyder等。在計算中，Anaconda Navigator主要用來管理環(huán)境以及安裝Python、Pycharm軟件及keras、numpy、matplotlib等第三方庫。

Pycharm軟件主要分為社區(qū)版和專業(yè)版，是一款由JetBrains公司開發(fā)的Python集成開發(fā)環(huán)境（IDE） 。Pycharm軟件的功能十分強大，并且多平臺支持（Windows/MacOS/Linux） 。Pycharm軟件還可用于支持Django框架下的專業(yè)Web開發(fā)，具有很多高級功能。目前官方提供社區(qū)開源版本。本次用來計算普朗克常數(shù)的Pycharm軟件版本為免費的社區(qū)版。

2.3 計算過程

2.3.1 模型構(gòu)建

利用Keras框架進行普朗克常數(shù)計算的過程主要有準備數(shù)據(jù)集、構(gòu)建模型、編譯模型、訓(xùn)練模型、評估模型、保存模型、調(diào)用模型等步驟。

數(shù)據(jù)集采用的是某班級做光電效應(yīng)物理實驗的實驗數(shù)據(jù)，實驗儀器為長春市長城教學儀器有限公司生產(chǎn)的GD-IIIA型普朗克常數(shù)測定儀。實際參與訓(xùn)練的數(shù)據(jù)集里有110個樣本。該樣本記錄在Excel數(shù)據(jù)表格中，第一列數(shù)值為頻率值，第二列數(shù)值為對應(yīng)的反向截止電壓值。程序里通過調(diào)用pandas庫讀取Excel表格，并將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為一維張量。

模型構(gòu)建是影響普朗克常數(shù)計算正確與否的關(guān)鍵因素。Keras框架通常有2種類型的模型，分別為函數(shù)式模型（Model） 和序貫?zāi)Ｐ停⊿equential） 。函數(shù)式模型（Model） 的特點是多輸入多輸出，層與層之間是任意連接的。這種模型的典型特點是編譯速度慢。而序貫?zāi)Ｐ停⊿equential） 的特點是單輸入單輸出，即層與層之間只是相鄰關(guān)系，沒有跨層連接，輸入和輸出之間是一條路通到底。這種模型編譯速度快，操作也比較簡單。本次計算普朗克常數(shù)采用的是序貫?zāi)Ｐ?。反向截止電壓和頻率可以認為是線性回歸的關(guān)系，因此采用序貫?zāi)Ｐ徒r僅僅需要在模型中添加一個全連接層就可以了。對于這個全連接層而言，輸入張量的維度為1維，輸出張量的維度也是1維。調(diào)用model.summary（）方法可以對構(gòu)建的序貫?zāi)Ｐ蛥?shù)進行觀測。模型具體參數(shù)如3所示。

由圖3可知，建立序貫?zāi)Ｐ蛥?shù)的數(shù)目為兩個，分別表示權(quán)重[w]和偏置[b]。調(diào)用model.compile（）方法可以實現(xiàn)對Keras模型的編譯。本次計算中，編譯設(shè)置的優(yōu)化器算法為sgd（隨機梯度算法），損失函數(shù)為mse（均方誤差），學習率設(shè)置成0.01。訓(xùn)練模型采用的方法是model.fit（），其中batch_size為單次傳遞給程序用以訓(xùn)練的數(shù)據(jù)（樣本）個數(shù)，也被稱為單次訓(xùn)練的批次，設(shè)置為32。epochs為迭代周期，也稱為訓(xùn)練的輪回數(shù)。訓(xùn)練完模型后，獲得的權(quán)重值[w]即為[|Us|-υ]直線的斜率，之后再乘以元電子[e]就可以計算出普朗克常數(shù)。評估模型采用的方法是model.evaluate（）。

2.3.2 不同批次訓(xùn)練

下面對使用Keras框架搭建的模型進行不同輪次的訓(xùn)練，訓(xùn)練輪次分別為1 000、3 000、5 000、7 000、9 000和11 000。訓(xùn)練完模型后，讀取模型權(quán)重值，并計算出普朗克常量。為了證明模型計算的準確性，需要在每次訓(xùn)練完模型后計算出普朗克常量的相對誤差。對于普朗克常量，現(xiàn)在的公認值為[6.626 070 15×10-34J·s]（自第26屆國際計量大會（CGPM）表決通過為精確數(shù)）。相對誤差采用的計算公式為：

[E=|X--X公認|X公認×100%]? ? （9）

相對誤差僅僅是用于展示出數(shù)值計算的準確性，需要人工讀取并記錄數(shù)值，模型并不對誤差進行學習。在數(shù)值計算中，為保證精度，計算出的普朗克常量取6位有效數(shù)字，訓(xùn)練數(shù)據(jù)后計算的相對誤差取3位有效數(shù)字。訓(xùn)練輪次和計算出的普朗克常量數(shù)值以及相對誤差E的對應(yīng)關(guān)系如表1所示。

由表1可知，訓(xùn)練次數(shù)為1 000時，計算出的相對誤差數(shù)值最大。訓(xùn)練次數(shù)超過1 000時，相對誤差值均小于1%，可以計算出普朗克常數(shù)的大致范圍。訓(xùn)練次數(shù)為3 000時，此時計算出的普朗克常量數(shù)值為[6.640 07×10-34J·s]，較接近公認值。訓(xùn)練次數(shù)越多并一定能提高準確率。訓(xùn)練次數(shù)為9 000時，計算出的相對誤差數(shù)值大于訓(xùn)練7 000時的計算值。訓(xùn)練次數(shù)為3 000時，原始數(shù)據(jù)和擬合的回歸曲線如圖4所示，損失率的變化情況如圖5所示。

2.3.3 不同損失函數(shù)的訓(xùn)練

在機器學習中，損失函數(shù)通常被用于模型的參數(shù)估計，即通過最小化損失函數(shù)進行求解和評估模型。

在Keras框架下，反向截止電壓和頻率的關(guān)系為線性回歸問題。為了研究不同損失函數(shù)對普朗克常數(shù)計算精度的計算影響，下面對搭建的序貫?zāi)Ｐ瓦M行不同損失函數(shù)的測試。測試的損失函數(shù)分別為mean_absolute_error（平均絕對誤差）、mean_squared_logarithmic_error（均方對數(shù)誤差）、mean_absolute_percentage_error（百分比平均絕對誤差）和logcosh（對數(shù)雙曲余弦函數(shù)）。訓(xùn)練輪次統(tǒng)一設(shè)置成3 000次，學習率統(tǒng)一設(shè)置成0.01。

由表2可知，相比較其他損失函數(shù)，在mse（均方誤差）損失函數(shù)下，計算出的相對誤差值較低，數(shù)值為0.212%。損失方法采用均方對數(shù)誤差計算出的普朗克常數(shù)的相對誤差值最大，數(shù)值為403%。

2.3.4 保存模型

在確定損失函數(shù)和訓(xùn)練次數(shù)的前提下，可以調(diào)用model.save（）函數(shù)保存訓(xùn)練好的模型，以便于后續(xù)調(diào)用模型評估新的測量數(shù)據(jù)的可信度。

3 結(jié)論

對于物理線性回歸的問題，可以使用深度學習進行嘗試解決。本文采用深度學習的Keras框架，對普朗克常量進行了計算，本質(zhì)上是基于物理實驗對物理常數(shù)的檢驗與計算。在樣本量為110，優(yōu)化器算法為sgd（隨機梯度算法），損失函數(shù)為mse（均方誤差），學習率為0.01時，計算出的普朗克常量數(shù)值接近于真實值?；谏疃葘W習Keras框架的普朗克常數(shù)計算方法研究為物理常數(shù)的計算提供了新的思路，具有新的意義。

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