李智鋼

黨的二十大報(bào)告指出：“我們要堅(jiān)持教育優(yōu)先發(fā)展、科技自立自強(qiáng)、人才引領(lǐng)驅(qū)動(dòng)，加快建設(shè)教育強(qiáng)國(guó)、科技強(qiáng)國(guó)、人才強(qiáng)國(guó)，堅(jiān)持為黨育人、為國(guó)育才?！比绾纬恕半p減”之風(fēng)，做好高中數(shù)學(xué)教育工作，培育出祖國(guó)需要的創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)人才，是“雙減”新政實(shí)施后諸多教師面臨的困惑。在此背景下，筆者通過不斷探索發(fā)現(xiàn)，活動(dòng)育人就是一個(gè)良好的教學(xué)路徑。它以學(xué)生為主體、以活動(dòng)為載體，通過活動(dòng)的開展獲取知識(shí)、培養(yǎng)能力，實(shí)現(xiàn)更深層次的社會(huì)化，達(dá)到被教育的過程。將活動(dòng)育人融入高中數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生通過動(dòng)手操作或者實(shí)踐研究等活動(dòng)，在生活中感知相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而體驗(yàn)數(shù)學(xué)既來(lái)源于生活、又服務(wù)于生活。本文結(jié)合筆者在日常教育教學(xué)工作中的嘗試，以創(chuàng)意數(shù)學(xué)折紙的活動(dòng)實(shí)踐為例，闡釋數(shù)學(xué)折紙創(chuàng)意活動(dòng)的實(shí)施路徑，旨在促進(jìn)教師在“雙減”背景下進(jìn)行活動(dòng)育人的課程教學(xué)設(shè)計(jì)，最終實(shí)現(xiàn)促進(jìn)學(xué)生錘煉品格、學(xué)習(xí)知識(shí)、創(chuàng)新思維、奉獻(xiàn)祖國(guó)的教育目標(biāo)。

一、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與折紙的創(chuàng)意結(jié)合

中國(guó)是折紙的故鄉(xiāng)?！抖迨贰ば绿剖贰酚涊d，唐代士兵穿的盔甲、鎧甲有的就是紙做的?！芭垶榧住?，鎧甲裹夾樹皮、棉絮，折紙就有了實(shí)踐的應(yīng)用。隨著現(xiàn)代社會(huì)科技文化的高度發(fā)展，折紙不僅是一種簡(jiǎn)單的工藝，而且廣泛應(yīng)用于教育學(xué)、心理學(xué)、航空航天等領(lǐng)域的研究。因此，折紙不僅是一種手工技藝，更是一種智力開發(fā)和科學(xué)研究的工具，是一種快樂和藝術(shù)享受的源泉。

數(shù)學(xué)折紙是一種與數(shù)學(xué)科學(xué)密切相關(guān)的折紙活動(dòng)，與普通折紙的主要區(qū)別在于：不特別注重作品的藝術(shù)創(chuàng)作，而是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念的揭示或詮釋。國(guó)內(nèi)外對(duì)數(shù)學(xué)折紙的探索和研究，成果層出不窮。例如： Miura-Ori，中文名三浦折紙法，是由日本天體物理學(xué)家三浦公亮發(fā)明的，靈感來(lái)源于蜻蜓翅膀和樹葉紋路。按三浦折紙法對(duì)紙進(jìn)行折疊后，沿某一軸線拉伸，就可以將紙縮小或展開，拉伸過程中每個(gè)平行四邊形都不發(fā)生彎曲，每個(gè)小格都由兩條凸起的折痕和兩條凹進(jìn)的折痕構(gòu)成，而且每個(gè)頂點(diǎn)連接的四個(gè)平面關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱。利用三浦折紙法，可以大大減少大尺度平面物體所占的空間。因此，三浦折紙法也被運(yùn)用于新科技中，最常見的應(yīng)用是在航天器的太陽(yáng)能板上。

復(fù)旦大學(xué)常文武博士長(zhǎng)期致力于數(shù)學(xué)折紙領(lǐng)域的研究，成果豐碩。由他撰寫的《奇妙的數(shù)學(xué)折紙》一書中，每一個(gè)折紙每一步都有詳細(xì)的圖文講解，還貼心地配備了一至多個(gè)折紙或玩法視頻，書中還不乏作者的原創(chuàng)折紙作品。比如，作者的原創(chuàng)折紙作品——鱉臑，曾獲2016年上海市教師自制教具評(píng)比一等獎(jiǎng)。鱉臑的名稱來(lái)自中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的“商功”一章，這是一種每個(gè)面都是直角三角形的特殊四面體。記得有一年高考就以鱉臑為背景出了一道考題，在現(xiàn)行高中立體幾何教科書中也有提及，可見鱉臑的重要意義。

由此可見，數(shù)學(xué)折紙充滿了趣味性和挑戰(zhàn)性。數(shù)學(xué)折紙看似簡(jiǎn)單，做起來(lái)卻很難，充滿了意想不到的發(fā)現(xiàn)，而且大多是非常規(guī)問題。通過學(xué)生親身參與，創(chuàng)造出直觀、有形的折紙模型，使各種數(shù)學(xué)原理躍然紙上，使枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得有趣，使抽象的概念易于理解，對(duì)數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)大有裨益。

二、探索課堂教學(xué)中的活動(dòng)育人

課堂始終是教學(xué)的主陣地，作為教師，“如何通過學(xué)科課堂教學(xué)，開展全面提高課堂教學(xué)質(zhì)量的實(shí)踐活動(dòng)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行政治、思想、道德和心理品質(zhì)教育，牽動(dòng)課堂教育整體改革”始終是筆者關(guān)注研究的課題。新課標(biāo)倡導(dǎo)，人人都得到良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人通過數(shù)學(xué)教育得到不同的發(fā)展。教會(huì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看問題，用數(shù)學(xué)思維分析問題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問題，對(duì)教師來(lái)說(shuō)是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)。為了更好地挖掘?qū)W科教材內(nèi)的思政元素，精心設(shè)計(jì)課程，體現(xiàn)學(xué)科育人價(jià)值，我嘗試開展了數(shù)學(xué)折紙活動(dòng)。

用折紙進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)在教育界早已有之。比如：美國(guó)托馬斯·赫爾作《折紙?jiān)O(shè)計(jì)的秘密》《折紙模型中的數(shù)學(xué)世界》，他最早的研究用的是圖論，在圖論中，由若干個(gè)不同的點(diǎn)以及聯(lián)結(jié)其中某些點(diǎn)的線段組成的圖形叫做圖?！跋胂笳酆勰Ｊ娇梢钥醋饕粋€(gè)圖——但是線與線之間的夾角——對(duì)于建立折紙的數(shù)學(xué)模型也是十分有用的?！焙諣栒f(shuō)，“例如：為了折紙，你可以研究它們的性質(zhì)以及折紙所必須滿足的條件?！焙諣栍脠D論和其他數(shù)學(xué)工具得到許多定理，擴(kuò)展了諸多數(shù)學(xué)家的觀念，并把折紙專家熟悉的規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式，促進(jìn)了新的折紙創(chuàng)造。

折紙是一種很有意思的數(shù)學(xué)游戲，利用折紙也可以學(xué)到高中數(shù)學(xué)知識(shí)。立體幾何是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)。為了讓學(xué)生充分了解幾何體的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)他們的空間感，展示他們的創(chuàng)新能力和動(dòng)手操作能力，教師可以嘗試以下方法。例如：用紙折出一個(gè)矩形、正方形；用折紙方法平分一個(gè)已知角，只要沿角的頂點(diǎn)將角的兩邊疊合后的折痕即為所求的角平分線，你就能用折紙做出45度角，等等。又如：將折紙應(yīng)用于空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的教學(xué)，讓學(xué)生嘗試將身邊建筑的一些簡(jiǎn)單幾何體折出紙模，不但感受到數(shù)學(xué)應(yīng)用于建筑之美，同時(shí)學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。學(xué)生通過探究多面體、旋轉(zhuǎn)體折展圖形的認(rèn)識(shí)問題，不僅掌握了空間幾何體表面積的計(jì)算方法，同時(shí)對(duì)于滿足什么條件的幾何體可以展開為平面圖形的認(rèn)識(shí)也更加深刻，通過進(jìn)一步深度學(xué)習(xí)，理解了不是任何空間幾何體都能展開為平面圖形，一個(gè)曲面是可展曲面的充要條件是這個(gè)曲面具有直母線，在探究活動(dòng)過程中積累了研究經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，從而達(dá)到活動(dòng)育人的目的，也感受到折紙藝術(shù)的學(xué)科化應(yīng)用發(fā)展。

按照立德樹人的教育要求，我通過折紙教學(xué)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)本身的文化內(nèi)涵，用優(yōu)秀的數(shù)學(xué)文化感染學(xué)生；利用數(shù)學(xué)內(nèi)容的審美價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)特的數(shù)學(xué)美；利用數(shù)學(xué)選題的歷史背景，鼓勵(lì)學(xué)生以豐富的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史、辯證的數(shù)學(xué)體系因素，圍繞數(shù)學(xué)的社會(huì)實(shí)際功用，在活動(dòng)教學(xué)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，進(jìn)而形成優(yōu)良的課堂文化。

三、達(dá)到“雙創(chuàng)”人才培養(yǎng)的新要求

青年強(qiáng)則國(guó)強(qiáng)，高中正是創(chuàng)造力和動(dòng)手能力高速發(fā)展的時(shí)期，也是科技創(chuàng)想創(chuàng)新萌芽的重要時(shí)期。在高中數(shù)學(xué)中運(yùn)用折紙教學(xué)法，正是拓展高中生素質(zhì)能力的良好機(jī)會(huì)，我們不能忽視折紙教學(xué)法在推動(dòng)科技發(fā)展中的作用。隨著時(shí)代的發(fā)展，數(shù)學(xué)折紙被應(yīng)用于人工衛(wèi)星太陽(yáng)能電池板、汽車安全氣囊的收納方法以及衛(wèi)星太陽(yáng)能電池板的展開結(jié)構(gòu)等新科技發(fā)展中。筆者認(rèn)為，在不久的將來(lái)，折紙數(shù)理學(xué)、折紙工學(xué)、折紙幾何學(xué)等將如雨后春筍般涌現(xiàn)出來(lái)，這也對(duì)創(chuàng)新人才的培養(yǎng)提供了方向。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們也應(yīng)該注意到折紙這門技術(shù)是不斷發(fā)展的，它越來(lái)越需要計(jì)算機(jī)的助力，而不再是僅僅靠折紙愛好者的大腦構(gòu)想。現(xiàn)在，人們?cè)趧?chuàng)作新的折紙作品時(shí)，會(huì)先用計(jì)算機(jī)來(lái)分析。以甲蟲為例，首先將甲蟲從樹枝上抽象出來(lái)，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的線條，然后利用數(shù)學(xué)算法設(shè)計(jì)折紙模型，最后使用模型生成折疊圖，并將折疊圖打印出來(lái)，使用折疊方法進(jìn)行折疊。

數(shù)學(xué)折紙活動(dòng)的秘訣，在于思考、體驗(yàn)和創(chuàng)造。用一張小紙片探索數(shù)學(xué)原理和模式，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一件快樂的事情。這樣可以體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣、創(chuàng)造的樂趣和數(shù)學(xué)的神奇，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力以及綜合分析和解決問題的能力。而這正是我們平時(shí)的數(shù)學(xué)教育所欠缺的。

“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微?！苯柚Ｐ驮鰪?qiáng)空間想象，常常是突破難點(diǎn)、解決問題的常用方法。在高中數(shù)學(xué)折紙教學(xué)中，通過仔細(xì)思考、動(dòng)手實(shí)踐，學(xué)生可以學(xué)會(huì)從身邊生活中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，培養(yǎng)空間想象能力和創(chuàng)新精神，為立體幾何的學(xué)習(xí)埋下興趣的種子，全面提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)折紙是與數(shù)學(xué)密切相關(guān)的折紙活動(dòng)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中開展數(shù)學(xué)折紙活動(dòng)，可以促進(jìn)學(xué)生手腦協(xié)調(diào)統(tǒng)一，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的特點(diǎn)，即思維的流暢性、靈活性和獨(dú)特性。同時(shí)，手工折紙是鍛煉學(xué)生手眼協(xié)調(diào)能力最直接、最簡(jiǎn)單的方法，能夠提高學(xué)生的動(dòng)手操作能力，讓學(xué)生在手工折紙中學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，進(jìn)而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理、生物等多元學(xué)科知識(shí)，在達(dá)到教學(xué)目的的基礎(chǔ)上拓展學(xué)生的思維。

因此，高中數(shù)學(xué)教師要進(jìn)一步探索折紙教學(xué)法，加強(qiáng)折紙活動(dòng)與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合，開發(fā)更多的實(shí)踐教學(xué)資源，開辟利用折紙活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維品質(zhì)的新途徑，引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀，厚植愛國(guó)主義情懷，早日成為能擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興大任的時(shí)代新人。

注：本文系2022年度天津市教委社會(huì)科學(xué)重大項(xiàng)目“品牌高中建設(shè)項(xiàng)目校本化實(shí)施策略研究”（項(xiàng)目編號(hào)：2022JWZD87）的研究成果。

（柳艷芳）