張恒

摘要：統(tǒng)計(jì)與概率兩個知識點(diǎn)的交匯與綜合問題是高考模塊中的一個常見考查基本點(diǎn)．結(jié)合統(tǒng)計(jì)場景的巧妙創(chuàng)設(shè)，以及統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)信息，通過概率定義與公式加以綜合應(yīng)用，借助概率與頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)、經(jīng)驗(yàn)回歸方程等來綜合展開，歸納知識應(yīng)用，助力數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考．

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計(jì)；概率；頻率分布直方圖；獨(dú)立性檢驗(yàn)；正態(tài)分布

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2023）33-0011-03

統(tǒng)計(jì)與概率的綜合問題，是實(shí)際與應(yīng)用場景的重要載體之一，已經(jīng)成為新高考數(shù)學(xué)命題的重點(diǎn)．此類綜合問題，以數(shù)據(jù)圖表為場景，融合統(tǒng)計(jì)、概率或兩者知識交匯中的基礎(chǔ)知識與思想方法，利用統(tǒng)計(jì)場景加以創(chuàng)設(shè)，實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)信息的匯總，情境新穎，結(jié)合概率知識加以實(shí)際應(yīng)用或判斷決策，充分體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)與概率的工具性和交匯性[1]．

1 概率與頻率分布直方圖的綜合

例1省會城市為了積極倡導(dǎo)市民優(yōu)先乘坐公共交通工具綠色出行，在緩解交通壓力與改善空間質(zhì)量的同時，也倡導(dǎo)綠色理念，公共交通系統(tǒng)推出與之相關(guān)的一些便民服務(wù)措施．為了更好地了解人們對出行工具的選擇，交管部門隨機(jī)抽取了1 000人，做出統(tǒng)計(jì)表，詳見表1.

同時交管部門對某線路公交車統(tǒng)計(jì)整理了某一天1 200名乘客的年齡數(shù)據(jù)，得到的頻率分布直方圖如下圖所示（圖1）：

（1）求m的值和這1 200名乘客年齡的中位數(shù)；

（2）用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，從該市所有市民中抽取4人，記X為抽到選擇公共交通出行方式的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

解析（1）依題意可得（0.005+0.015+m+0.030+0.015+0.010+0.005）×10=1，解得m=0.020，

因?yàn)椋?.005+0.015+0.020）×10=0.4<0.5，（0.005+0.015+0.020+0.030）×10=0.7>0.5，

所以中位數(shù)位于[30，40），設(shè)中位數(shù)為x，

則（0.005+0.015+0.020）×10+（x-30）×0.030=0.5，解得x=1003，

故這1 200名乘客年齡的中位數(shù)為1003；

（2）因?yàn)檫x擇公共交通出行方式的頻率為40%=25，所以X～B（4，25），則X的可能取值為0，1，2，3，4，

所以P（X=0）=C04×（1-25）4=81625，P（X=1）=C14×25×（1-25）3=216625，

P（X=2）=C24×（25）2×（1-25）2=216625，P（X=3）=C34×（25）3×（1-25）=96625，

P（X=4）=C44×（25）4=16625，

所以X的分布列為

所以E（X）=4×25=85．

點(diǎn)評涉及頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用問題，關(guān)鍵就是正確識別與合理的數(shù)據(jù)讀取.從中觀察、讀取相應(yīng)的數(shù)據(jù)信息并對一些相關(guān)的數(shù)學(xué)加以合理匯總與應(yīng)用，借此進(jìn)一步綜合概率知識來分析與計(jì)算，用于實(shí)際應(yīng)用中的分析判斷或信息決策[2]．

2 概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合

例2一種疫苗在正式上市之前要進(jìn)行多次人體臨床試驗(yàn)接種，假設(shè)每次接種互不影響，而且每人每次接種成功的概率相等．某醫(yī)學(xué)研究院研究團(tuán)隊(duì)研發(fā)了一種疫苗，并率先對此疫苗開展了Ⅰ期和Ⅱ期臨床試驗(yàn)．Ⅰ期試驗(yàn)為了解疫苗接種劑量與接種成功之間的關(guān)系，選取了兩種劑量接種方案（0.5 mL/次劑量組（低劑量）與1 mL/次劑量組（中劑量）），臨床試驗(yàn)免疫結(jié)果對比，詳見表3.

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)分析說明哪種方案接種效果好，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為該疫苗接種成功與否與兩種劑量接種方案有關(guān)；

（2）若以以上表格中的數(shù)據(jù)的頻率為概率，從兩組不同劑量組中分別抽取1名試驗(yàn)者，以X表示這2人中接種成功的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：χ2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），其中n=a+b+c+d，詳見表4．

解析（1）0.5 mL/次劑量組（低劑量）接種成功的概率為P1=2836=79，

1 mL/次劑量組（中劑量）接種成功的概率為P2=3336=1112，

因?yàn)镻2>P1，所以1 mL/次劑量組（中劑量）接種效果好．

由2×2列聯(lián)表得

χ2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），

所以沒有90%的把握認(rèn)為該疫苗接種成功與否與兩種劑量接種方案有關(guān)．

（2）由（1）知，P1=79，P2=1112，

而X的可能取值為0，1，2，可得P（X=0）=（1-79）×（1-1112）=154，

P（X=1）=（1-79）×1112+79×（1-1112）=29108，P（X=2）=79×1112=77108，

所以X的分布列為

E（X）=0×154+1×29108+2×77108=6136．

點(diǎn)評在解決與獨(dú)立性檢驗(yàn)相關(guān)的概率與統(tǒng)計(jì)問題時，要從統(tǒng)計(jì)中的數(shù)據(jù)信息入手，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式計(jì)算與數(shù)據(jù)分析來判斷與分析，并結(jié)合相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)、概率等基本知識，合理加以邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)分析與實(shí)際應(yīng)用．

3 概率與經(jīng)驗(yàn)回歸方程的綜合

例3我國在芯片領(lǐng)域的短板有光刻機(jī)和光刻膠，某風(fēng)險投資公司準(zhǔn)備投資芯片領(lǐng)域，若投資光刻機(jī)項(xiàng)目，據(jù)預(yù)期，每年的收益率為30%的概率為p，收益率為-10%的概率為1-p；若投資光刻膠項(xiàng)目，據(jù)預(yù)期，每年的收益率為30%的概率為0.4，收益率為-20%的概率為0.1，收益率為零的概率為0.5．

（1）已知投資以上兩個項(xiàng)目，獲利的期望是一樣的，請你從風(fēng)險角度考慮，為該公司選擇一個較穩(wěn)妥的項(xiàng)目；

（2）若該風(fēng)險投資公司準(zhǔn)備對以上你認(rèn)為較穩(wěn)妥的項(xiàng)目進(jìn)行投資，4年累計(jì)投資數(shù)據(jù)如下，詳見表5.

請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于μ的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=b^μ+a^，并預(yù)測到哪一年年末，該投資公司在芯片領(lǐng)域的投資收益（其中，收益=投入的資金×獲利的期望）預(yù)期能達(dá)到0.75億元．

附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=b^x+a^中，b^=∑ni=1xiyi-nx×y∑ni=1xi2-nx2，a^=y-b^·x．

解析（1）若投資光刻機(jī)項(xiàng)目，設(shè)收益率為α1，則α1的分布列為詳見表6.

所以E（α1）=0.3p+（-0.1）（1-p）=0.4p-0.1；

若投資光刻膠項(xiàng)目，設(shè)收益率為α2，則α2的分布列為詳見表7.

所以E（α2）=0.3×0.4+（-0.2）×0.1+0×0.5=0.1；

因?yàn)橥顿Y以上兩個項(xiàng)目，獲利的期望是一樣的，則有0.4p-0.1=0.1，解得p=0.5，

因?yàn)镈（α1）=（0.3-0.1）2×0.5+（-0.1-0.1）2×0.5=0.04，

D（α2）=（0.3-0.1）2×0.4+（-0.2-0.1）2×0.1+（0-0.1）2×0.5=0.03，

所以E（α1）=E（α2），D（α1）>D（α2），

由于兩個項(xiàng)目獲利相等，但光刻膠項(xiàng)目更穩(wěn)妥，則建議該風(fēng)險投資公司投資光刻膠項(xiàng)目．

（2）因?yàn)棣?2.5，y=4，可得∑4i=1μiyi=1×2+2×3+3×5+4×6=47，∑ni=1μi2=12+22+32+42=30，

所以b︿=∑ni=1μiyi-nμ×y∑ni=1μi2-nμ2=1.4，a︿=y-b︿·μ=4-1.4×2.5=0.5，故經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y︿=1.4μ+0.5，

設(shè)該公司在芯片領(lǐng)域的投資收益為Y，則由Y=0.1×（1.4μ+0.5）≥0.75，解得μ≥5，

故到2023年年末，該投資公司在芯片領(lǐng)域的投資收益預(yù)期能達(dá)到0.75億元．

巧妙地合理創(chuàng)設(shè)統(tǒng)計(jì)場景，借助概率知識加以實(shí)際應(yīng)用，成為實(shí)際應(yīng)用中考查的一個重要場景，有效考查考生的“四基”以及創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用，對于考生的數(shù)學(xué)能力的考查與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)都有很大的指導(dǎo)意義．

參考文獻(xiàn)：

［1］?林紅梅.突出統(tǒng)計(jì)概率本質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念：以“統(tǒng)計(jì)與概率”福建中考試題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（14）：62-63.

[2] 卞徐丹.初中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率應(yīng)用題解題策略研究[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2023（12）：25-26.

［責(zé)任編輯：李璟］