于春梅

［摘? 要］ 文章以“三角函數(shù)”的概念教學(xué)為例，具體從“表格導(dǎo)入，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題；表格類比，探究問(wèn)題；表格抽象，獲得概念；表格練習(xí)，辨析概念；表格追問(wèn)，應(yīng)用概念”等方面談?wù)勅绾吻捎帽砀?，?yōu)化數(shù)學(xué)概念教學(xué).

［關(guān)鍵詞］ 概念；表格；教學(xué)

表格是理科教學(xué)的重要輔助工具之一，具有簡(jiǎn)潔明快、條理清晰、對(duì)比鮮明、一目了然等特點(diǎn)，其應(yīng)用較為廣泛，如數(shù)據(jù)分析、工程造價(jià)、分類管理與生產(chǎn)管理等領(lǐng)域都有涉及. 概念是數(shù)學(xué)的基本組成部分，是對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的高度概括，具有一定的抽象性與枯燥性［1］. 實(shí)踐證明，巧妙地將表格融合到概念教學(xué)中，能讓學(xué)生通過(guò)比較，更好地提煉出概念的內(nèi)涵.

教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 表格導(dǎo)入，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

課堂導(dǎo)入是一節(jié)課的起點(diǎn)，對(duì)一堂課的情感基調(diào)起著決定性的作用. 表格導(dǎo)入法，充滿著“數(shù)學(xué)味”，既簡(jiǎn)潔明了，又容易吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題奠定基礎(chǔ). 本節(jié)課，筆者選擇開(kāi)門見(jiàn)山的導(dǎo)入方式，要求學(xué)生按照以下步驟進(jìn)行操作：

（1）在草稿紙上畫(huà)一個(gè)∠A=30°；

（2）在∠A的一條邊上任意取點(diǎn)B，向另一邊作BC⊥AC，C為垂足；

（3）分別測(cè)量線段AB，BC的長(zhǎng)度（精確到mm）；

師：通過(guò)對(duì)表格的觀察，我們發(fā)現(xiàn)哪個(gè)量在不斷地變化，哪個(gè)量卻沒(méi)有發(fā)生變化？由此你們能獲得什么結(jié)論？

師：很好！我們一起來(lái)觀察，AB，BC之間是否存在一定的聯(lián)系呢？

生2：確實(shí)有聯(lián)系，點(diǎn)C的位置取決于點(diǎn)B的位置.

師：由此，大家覺(jué)得我們可以探討什么問(wèn)題呢？

師：非常好！這是兩個(gè)值得分析的問(wèn)題，接下來(lái)我們就一起來(lái)探究這兩個(gè)問(wèn)題.

的位置變化而變化，學(xué)生自然地發(fā)現(xiàn)并提出接下來(lái)需要研究的問(wèn)題.

2. 表格類比，探究問(wèn)題

師：把表1中的四組數(shù)呈現(xiàn)在同一個(gè)圖形中，大家一起來(lái)分析一下它們的比值相等的原因是什么.

生5：比值相等的主要原因是∠A的角度沒(méi)有發(fā)生變化.

師：這僅僅是個(gè)猜想，能否驗(yàn)證呢？

生5：可以取一個(gè)不同的角，從反面來(lái)嘗試驗(yàn)證，比如取一個(gè)45°的角.

師：現(xiàn)在我們就沿著生5提出的驗(yàn)證思路來(lái)探究，大家先畫(huà)一個(gè)∠A=45°，然后按照之前的步驟進(jìn)行測(cè)量、計(jì)算、填表（見(jiàn)表2）.

生6：是定值，因?yàn)椤螦=45°這個(gè)條件沒(méi)有發(fā)生變化.

師：通過(guò)兩張表格數(shù)據(jù)的對(duì)比，大家有什么發(fā)現(xiàn)？據(jù)此有什么想法？

師：那我們就一起再來(lái)探討其他度數(shù)的角，看比值是否會(huì)發(fā)生改變. 現(xiàn)在我們假設(shè)∠A=50°，請(qǐng)大家按照之前的探索步驟，完成表3.

生8：當(dāng)角的度數(shù)為50°時(shí)，比值

3. 表格抽象，獲得概念

生9：不一樣. 因?yàn)榻堑亩葦?shù)不同，所以比值也不同.

師：不同的數(shù)值能說(shuō)明什么問(wèn)題？

師：這個(gè)說(shuō)法是否正確呢？現(xiàn)在我們一起來(lái)探討這個(gè)問(wèn)題.

教師將各組填寫好的表格進(jìn)行投影，并要求學(xué)生對(duì)比各組的表格，說(shuō)說(shuō)自己的發(fā)現(xiàn).

生11：每組呈現(xiàn)的表格中填寫的比值都是一樣的，但不同組之間的比值不同.

師：這是為什么呢？

生12：因?yàn)槊總€(gè)組所取的角的度數(shù)不一樣，因此呈現(xiàn)出來(lái)的比值也各不相同.

師：非常好！通過(guò)表格的類比，你們有什么收獲？

師：這里面存在哪些變量？變量之間是什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖? 由特殊到一般的表格匯總，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)各組所填寫的表格內(nèi)容的對(duì)比，獲得相應(yīng)的結(jié)論，使得函數(shù)形式的概念自然生成. 表格的“可視性”，讓學(xué)生親歷了函數(shù)概念發(fā)生與發(fā)展的過(guò)程，為后繼更多類型的三角函數(shù)的學(xué)習(xí)積累了研究經(jīng)驗(yàn)，也為學(xué)習(xí)能力的提升奠定了基礎(chǔ).

4. 表格練習(xí)，辨析概念

練習(xí)：∠A為一個(gè)已知的角，若過(guò)∠A一條邊上的點(diǎn)B作垂線，請(qǐng)判斷以下各種操作方法的正確性，并改正錯(cuò)誤結(jié)論. （見(jiàn)表5）

生16：我認(rèn)為第一、三列的兩張圖的表達(dá)與題意相符，其他兩張圖是錯(cuò)誤的.

師：哦？說(shuō)說(shuō)你這么判斷的理由是什么呢？

生16：我就是目測(cè)圖形而得到的結(jié)論.

生17：我認(rèn)為第一、四列的兩張圖與題意相符，其他兩張圖表達(dá)得不正確. 剛剛這位同學(xué)是從圖的模樣進(jìn)行的判斷，這種方法不夠嚴(yán)謹(jǐn)，比如將第四列的圖調(diào)轉(zhuǎn)位置，則與第一列的圖一樣. 因此，本題應(yīng)從分子與分母的角度進(jìn)行判別，即分別從對(duì)應(yīng)三角形的直角邊與斜邊進(jìn)行考慮.

師：那么正弦函數(shù)sinA是不是可以確定為對(duì)應(yīng)直角三角形直角邊比斜邊的值呢？

生18：這么表達(dá)還不夠嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)該說(shuō)是∠A所對(duì)應(yīng)的直角三角形中，∠A的對(duì)邊長(zhǎng)與斜邊長(zhǎng)的比值.

師：為什么要這么明確地表示呢？

是否也是確定的呢？

生20：對(duì)于直角三角形來(lái)說(shuō)，三條邊的比還存在其他兩對(duì)，通過(guò)填表可以發(fā)現(xiàn)其他兩對(duì)邊的比值也是確定的，可通過(guò)相似三角形的比例關(guān)系而得. （邊說(shuō)邊填寫表格，見(jiàn)表6）

師：如表格所示，直角三角形中的其他兩個(gè)比，分別定義為∠A的余弦與正切.

5. 表格追問(wèn)，應(yīng)用概念

練習(xí)：已知在Rt△ABC中，∠C為直角，CD為斜邊AB上的高，若AB=5，AC=3，則∠A的三角函數(shù)值是多少？

由學(xué)生審題、分析，教師順勢(shì)將學(xué)生的答案填入表格.

生21：根據(jù)勾股定理，已知AB=5，AC=3，則可確定BC=4，此時(shí)可明確∠A的三角函數(shù)值.

生22：生21是利用Rt△ABC來(lái)獲得的結(jié)論，其實(shí)用Rt△ACD也可以獲得答案，即先求出BC的值為4，再獲得CD的值，而后分別獲得AD，BD的值.

師：具體過(guò)程是怎樣的？

師：說(shuō)說(shuō)這么解的理由是什么.

生23：這么解的關(guān)鍵在于∠A=∠DCB.

師：通過(guò)對(duì)表7的觀察，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

生24：從表格來(lái)看，從三個(gè)不同的直角三角形中計(jì)算∠A的三角函數(shù)值，結(jié)論都一樣，由此基本可以確定三角函數(shù)和角的大小有著直接關(guān)系，與其所在的三角形并沒(méi)有什么聯(lián)系. 也就是說(shuō)，同一角度的三角函數(shù)值是相等的.

設(shè)計(jì)意圖? 追問(wèn)的應(yīng)用，促使學(xué)生從不同的直角三角形中計(jì)算∠A的三角函數(shù)值，教師將每一種解題方法都羅列在表格中，讓學(xué)生能一目了然地發(fā)現(xiàn)其中所存在的內(nèi)在聯(lián)系，從而真切感知到一個(gè)角的三角函數(shù)值和該角的邊的長(zhǎng)短與位置都無(wú)關(guān)，唯與角的大小有一定聯(lián)系. 構(gòu)造的一些直角三角形純粹是為了方便計(jì)算，由此讓學(xué)生從真正意義上理解“相同大小的角，在不同的三角形中所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值是不變的”.

教學(xué)思考

1. 表格能輔助概念教學(xué)

概念學(xué)習(xí)有“形成學(xué)習(xí)”與“同化學(xué)習(xí)”兩類方式，形成學(xué)習(xí)是指從豐富、典型的實(shí)例中找出共性內(nèi)容，從而抽象出這類事物的本質(zhì)屬性；同化學(xué)習(xí)是在學(xué)習(xí)者原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，揭示新授概念與原有知識(shí)的共同特征，將新知納入原有認(rèn)知中，抽象出新的概念［2］.

這兩種學(xué)習(xí)方式都離不開(kāi)問(wèn)題的引領(lǐng)，學(xué)生在問(wèn)題中經(jīng)歷觀察、歸納、辨析與抽象的過(guò)程，建構(gòu)新知. 表格作為一種特殊的表達(dá)形式，能有效地激發(fā)學(xué)生的直觀想象力，讓學(xué)生的思維變得更具條理性、層次性，從而更好地整合信息，促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系間的規(guī)律，為抽象概念奠定基礎(chǔ).

本節(jié)課教學(xué)，教師正是通過(guò)表格的方式引領(lǐng)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題并分析問(wèn)題，隨著典型實(shí)例的呈現(xiàn)，有效地促進(jìn)學(xué)生獲得從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，尤其是表格式的練習(xí)形式，有效地幫助學(xué)生完善對(duì)三角函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生獲得辨析概念的能力，而后的追問(wèn)，則讓概念自然而然地生成.

2. 關(guān)注表格的可視化作用

對(duì)于初中生而言，他們的思維處于直觀形象與抽象邏輯的交界點(diǎn)，可視化的表格，能快速促進(jìn)學(xué)生的直觀想象力的發(fā)展，為抽象邏輯思維的形成奠定基礎(chǔ)［3］. 表格的可視化特征，能將知識(shí)毫無(wú)遮擋地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，是學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題的依據(jù)，同時(shí)，表格的整理與歸納，也是促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)認(rèn)識(shí)的主要途徑之一. 因此，關(guān)注表格的可視化作用，不僅能提高教學(xué)效率，還能有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

總之，表格直觀、簡(jiǎn)潔、清晰的特點(diǎn)，能集中體現(xiàn)一定角度的信息，對(duì)概念學(xué)習(xí)時(shí)的信息類比、總結(jié)與歸納等，都具有直接影響. 作為一線數(shù)學(xué)教師，應(yīng)結(jié)合學(xué)情與教學(xué)內(nèi)容的特征，應(yīng)用好表格，讓表格最大限度地輔助數(shù)學(xué)教學(xué).

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍. 如何幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（09）：1-8.

［2］邵光華，章建躍. 數(shù)學(xué)概念的分類、特征及其教學(xué)探討［J］. 課程·教材·教法，2009，29（07）：47-51.

［3］約翰·杜威. 我們?cè)鯓铀季S·經(jīng)驗(yàn)與教育［M］. 姜文閔，譯. 北京：人民教育出版社，2005.