李井凡

［摘? 要］ 學(xué)生在初學(xué)全等三角形之后，角平分線的性質(zhì)定理可以簡(jiǎn)化全等判定的推理語(yǔ)句，這使得有些學(xué)生在問(wèn)題條件中看到角平分線就過(guò)分依賴該定理的證明，反而沒(méi)能從目標(biāo)出發(fā)，逆向分析得出更加簡(jiǎn)明的證明思路. 教學(xué)時(shí)教師要重視向?qū)W生傳遞善于比較和善于優(yōu)化的解題追求.

［關(guān)鍵詞］ “爭(zhēng)議證法”；診評(píng)；思維回路；善于優(yōu)化

在學(xué)習(xí)了全等三角形的幾種判定方法之后，角平分線的性質(zhì)定理也隨之出現(xiàn)，學(xué)生才適應(yīng)了全等三角形的推理語(yǔ)句，一下子又可以運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理簡(jiǎn)化證明過(guò)程，這使得學(xué)生往往會(huì)過(guò)分依賴這種“簡(jiǎn)化推理”，讓有些本不需要運(yùn)用該定理的問(wèn)題出現(xiàn)了思維回路，反而產(chǎn)生了“彎彎繞”的證明語(yǔ)句. 本文從一道幾何問(wèn)題的“爭(zhēng)議證法”說(shuō)起，并給出筆者的診評(píng)意見(jiàn)與教學(xué)思考，以供討論.

從一道幾何問(wèn)題的“爭(zhēng)議證法”說(shuō)起

問(wèn)題：如圖1，已知BM平分∠ABC，點(diǎn)P在BM上，PD⊥BA，PE⊥BC，垂足分別為D，E. 求證：BD=BE.

學(xué)生解法：

因?yàn)锽P平分∠ABC，PD⊥BA，PE⊥BC，

所以PD=PE. （角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）

在Rt△BPD和Rt△BPE中，BP=BP，PD=PE，所以Rt△BPD≌Rt△BPE（HL）. 所以BD=BE.

爭(zhēng)議觀點(diǎn)：一部分教師認(rèn)為學(xué)生的以上解法是錯(cuò)誤的，屬于“循環(huán)論證”.他們的說(shuō)法是：學(xué)生運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”證明“PD=PE”，然后再運(yùn)用“HL”證明兩個(gè)三角形全等，而“角平分線的性質(zhì)定理”本身就是由兩個(gè)三角形全等（△BPD≌△BPE）推證而來(lái). 另一部分教師認(rèn)為，學(xué)生的證明“步步有據(jù)”，應(yīng)該是正確的.

診評(píng)意見(jiàn)：我們認(rèn)為，從邏輯性上看學(xué)生的證法是沒(méi)有錯(cuò)誤的，證明的每一步都“步步有據(jù)”. 至于有教師認(rèn)為屬于“循環(huán)論證”的評(píng)價(jià)是站不住的. 所謂“循環(huán)論證”，是指用來(lái)證明論題的論據(jù)本身的真實(shí)性要依靠論題來(lái)證明的邏輯錯(cuò)誤. 如證明“輕音樂(lè)能催眠”，所用的論據(jù)是“輕音樂(lè)有催眠的力量”，而“輕音樂(lè)有催眠的力量”，又要借助“輕音樂(lè)能催眠”來(lái)證明. 這就是犯了循環(huán)論證的自證. 回到學(xué)生的證明來(lái)看，雖然最后是證明兩個(gè)三角形全等，但使用的是“HL”來(lái)判定兩個(gè)三角形全等，而角平分線的性質(zhì)定理是運(yùn)用“AAS”來(lái)推理的，兩種判定三角形全等的方法并不夠成“循環(huán)論證”. 我們還可將“學(xué)生證法”再換一種“等價(jià)”的證法如下：

證明：因?yàn)锽P平分∠ABC，所以∠DBP=∠EBP.? 因?yàn)镻D⊥BA，PE⊥BC，所以∠PDB=∠PEB.? 在△BPD和△BPE中，∠PDB=∠PEB，∠DBP=∠EBP，PB=PB，所以△BPD≌△BPE（AAS）. 所以PD=PE. 在Rt△BPD和Rt△BPE中，BP=BP，PD=PE，所以Rt△BPD≌Rt△BPE（HL）. 所以BD=BE.

這樣來(lái)看，學(xué)生的證法就是一種典型的“思維回路”，并不是錯(cuò)誤證法. 當(dāng)然，沒(méi)有錯(cuò)誤的解法，并不一定是“好的解法”，學(xué)生的證法是典型的“彎彎繞”的證明方法，需要我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)引導(dǎo)他們進(jìn)行解法上的改進(jìn)，以下給出我們的教學(xué)建議.

講評(píng)設(shè)計(jì)：（投影展示“學(xué)生證法”）

教師提問(wèn)：同學(xué)們看下這種證法能否更簡(jiǎn)捷一些？

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生應(yīng)該想到直接運(yùn)用“AAS”證兩個(gè)三角形全等，即可證明成功. 或者運(yùn)用“等角的余角相等”證出“∠BPD=∠BPE”，再運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理，證明如下：

因?yàn)椤螧PD=∠BPE，PD⊥BA，PE⊥BC，所以BD=BE.

教師點(diǎn)評(píng)：認(rèn)真審題，尋找、接通證明思路后，要再思考一下思路是否簡(jiǎn)明，是否直接，同學(xué)們要學(xué)會(huì)減少“彎彎繞”的多余步驟.

對(duì)一些幾何定理“教學(xué)順序”的對(duì)比分析

查閱不同版本（人教版、蘇科版、北師大版、華師大版等）的初中數(shù)學(xué)教材會(huì)發(fā)現(xiàn)，角平分線的性質(zhì)定理（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）分別出現(xiàn)在全等三角形的判定之后或者軸對(duì)稱圖形一章（與線段垂直平分線的性質(zhì)定理一起出現(xiàn)）. 角平分線的性質(zhì)定理一般都采用的是“AAS”判定兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而明確為定理及符號(hào)語(yǔ)言，以方便后續(xù)簡(jiǎn)化與之相關(guān)的推理證明.

由于上文中“學(xué)生證法”出現(xiàn)了直角三角形全等的判定定理（HL）的運(yùn)用，我們也查閱了不同版本教材中“HL定理”出現(xiàn)的順序，多數(shù)教材都是緊隨“SSS，SAS，ASA，AAS”的判定方法之后就直接以畫(huà)圖驗(yàn)證的方法給出“HL定理”，但又不給出推理證明——不少教材只能含糊地加上一句“這是一個(gè)定理，以后會(huì)給出它的證明（比如，人教版教材在隔了一個(gè)學(xué)期之后，待學(xué)習(xí)到勾股定理以后再以例題的形式對(duì)‘HL定理進(jìn)行了證明）”. 筆者查閱后發(fā)現(xiàn)我國(guó)臺(tái)灣地區(qū)的初中幾何教材則將“HL定理”安排在等腰三角形的學(xué)習(xí)之后（即學(xué)生掌握“等邊對(duì)等角”“等角對(duì)等邊”的定理），其證明如下：

“HL定理”及證明：如圖2，已知在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′. 求證：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.

證明：把△ABC與△A′B′C′拼在一起，使相等的直角邊AC與A′C′重合，并使點(diǎn)B，B′在AC邊（A′C′）的兩旁.

因?yàn)椤螦CB=∠A′C′B′=90°，所以∠B′C′B=2∠ACB=180°. 所以點(diǎn)B′，C′，B在同一直線上.

在△A′B′B中，因?yàn)锳′B′=AB=A′B，所以∠B=∠B′（等邊對(duì)等角）.

在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′，∠B=∠B′，AB=A′B′，

所以△ABC≌△A′B′C′（AAS）.

簡(jiǎn)評(píng)：可以發(fā)現(xiàn)，如果“部分教師”只看到現(xiàn)行的人教版教材上的幾何內(nèi)容呈現(xiàn)順序，對(duì)于上述“HL定理”的證明方法，是不是也會(huì)認(rèn)為是一種“循環(huán)論證”？這也提醒大家，如果只是關(guān)注手頭這一本教材，并把它當(dāng)成“唯一依據(jù)”，“敬如神明”，顯然不是一種科學(xué)的態(tài)度.教師應(yīng)該站在幾何知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)的高度來(lái)認(rèn)識(shí)、理解教學(xué)內(nèi)容所在邏輯鏈條的位置，從而讓自己對(duì)一些教學(xué)疑惑、爭(zhēng)議問(wèn)題看得更加通透、明晰.

解題教學(xué)要注重“比較和優(yōu)化”

第一，對(duì)學(xué)生解法不能止于判斷“對(duì)與錯(cuò)”

在當(dāng)前“雙減”背景下，很多學(xué)校對(duì)教師批改作業(yè)提出了“精批細(xì)改”的要求. 我們認(rèn)為，“精批細(xì)改”有一個(gè)內(nèi)涵就是不能止步于判斷學(xué)生解法的“對(duì)與錯(cuò)”. 具體來(lái)說(shuō)，以上文提及的“學(xué)生證法”為例，這種證法雖然不能被認(rèn)為是錯(cuò)誤解法，但教師應(yīng)該對(duì)這種證法寫(xiě)出必要的點(diǎn)評(píng)（證明過(guò)于煩瑣，“彎彎繞”），并要求學(xué)生進(jìn)行優(yōu)化和訂正. 同樣，在課堂教學(xué)中，對(duì)學(xué)生的一些解法或思路，教師在傾聽(tīng)理解之后，也可組織學(xué)生進(jìn)行分析和比較，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)解題不僅要關(guān)注結(jié)果，還要注意過(guò)程的簡(jiǎn)化、表達(dá)的優(yōu)化［1］.

第二，解題教學(xué)中要重視從糾錯(cuò)走向究錯(cuò)

數(shù)學(xué)解題教學(xué)離不開(kāi)糾錯(cuò)，善于糾錯(cuò)并幫助學(xué)生答疑解惑是每個(gè)數(shù)學(xué)教師需要修煉的教學(xué)基本功之一. 課堂教學(xué)中，“捕捉”學(xué)生的錯(cuò)誤資源，并將這種“生成性資源”化用在教學(xué)進(jìn)程中，帶領(lǐng)學(xué)生從糾錯(cuò)走向究錯(cuò)，正是小學(xué)著名特級(jí)教師華應(yīng)龍老師所主張的“化錯(cuò)教學(xué)”［2］. 我們也常常看到一些經(jīng)驗(yàn)豐富的教師在解題教學(xué)中總會(huì)設(shè)置一兩處糾錯(cuò)的教學(xué)環(huán)節(jié)，通過(guò)這些化錯(cuò)教學(xué)的場(chǎng)景運(yùn)用，教師會(huì)先稚化自己的思維，裝作看不懂、看不出學(xué)生的錯(cuò)誤，激發(fā)學(xué)生參與糾錯(cuò)、優(yōu)化的學(xué)習(xí)興趣，往往能取得很好的教學(xué)效果.

第三，思路貫通后要讓推理表達(dá)更加簡(jiǎn)明

多年之前，鄭毓信教授曾在《人民教育》發(fā)過(guò)一組關(guān)于數(shù)學(xué)教師“三項(xiàng)基本功”（善于舉例、善于提問(wèn)、善于優(yōu)化）［3］的文章，其中關(guān)于“善于優(yōu)化”的相關(guān)論述中，鄭教授特別指出教師要向?qū)W生傳遞“善于比較和優(yōu)化”的教學(xué)思想. 比如，本文開(kāi)篇關(guān)注的角平分線的基本問(wèn)題中，當(dāng)“學(xué)生證法”出現(xiàn)后，教師要再挑選一些更加簡(jiǎn)明的方法進(jìn)行對(duì)比分析，讓學(xué)生在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)“更初等”（相較于角平分線的性質(zhì)定理來(lái)看，直接運(yùn)用AAS證明全等的思路是“更初等”的）的解法、更簡(jiǎn)明的解法.

寫(xiě)在后面

本文從一些教師面對(duì)學(xué)生的“爭(zhēng)議證法”說(shuō)起，通過(guò)查閱不同版本教材中一些幾何定理出現(xiàn)的“序”，思考了與這些定理相關(guān)的解題教學(xué)過(guò)程中的思路和推理語(yǔ)句的優(yōu)化. 有些想法可能比較個(gè)性化，還缺少?gòu)V泛討論，期待更多同行的深入研討，使大家對(duì)相關(guān)問(wèn)題理解得更加透徹.

參考文獻(xiàn)：

［1］潘榮菲. 展望新加坡2013年中學(xué)數(shù)學(xué)課程［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2012（08）：1-3.

［2］華應(yīng)龍. “化錯(cuò)教育”的實(shí)踐根基與文化底蘊(yùn)［J］. 江蘇教育，2020（78）：15-18.

［3］鄭毓信. “數(shù)學(xué)教師的基本功”之三 善于優(yōu)化［J］. 人民教育，2008（20）：43-44.