黃賢明 徐敬元

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)理解是國(guó)際數(shù)學(xué)教育研究的熱門話題之一，數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)理解的過(guò)程中也發(fā)揮著重要作用. 文章通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵及特征的分析，指出數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)理解的關(guān)系，揭示數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)理解的價(jià)值是“解釋知識(shí)之源、促進(jìn)意義構(gòu)建、推動(dòng)遷移應(yīng)用和奠定文化理解”，并提出數(shù)學(xué)史的選取應(yīng)遵循啟發(fā)性、探索性和深刻性原則.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)理解；數(shù)學(xué)史；選取原則

理解是教育永恒的追求. 20世紀(jì)90年代以來(lái)，“學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)”與“終身學(xué)習(xí)”得到國(guó)際社會(huì)的廣泛認(rèn)同，有效學(xué)習(xí)的理念也逐漸從“記憶與練習(xí)”轉(zhuǎn)向“理解與應(yīng)用”. 學(xué)習(xí)者必須擁有對(duì)復(fù)雜概念的深層次理解能力，并能將其應(yīng)用于生成新的知識(shí)、新的觀點(diǎn)、新的理論等［1］. 自此，“為理解而教，為理解而學(xué)”的教育理念成為當(dāng)代教育改革的重要思潮. 在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，數(shù)學(xué)理解一直是人們關(guān)注的重點(diǎn)，與問(wèn)題解決并列為國(guó)際數(shù)學(xué)教育研究的兩大主題. 在已有的研究中，人們已經(jīng)重點(diǎn)探討了數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵、數(shù)學(xué)理解的價(jià)值意義、數(shù)學(xué)理解的過(guò)程模型、數(shù)學(xué)理解的實(shí)現(xiàn)等問(wèn)題，其中皮瑞和基倫深入研究了數(shù)學(xué)理解的增長(zhǎng)趨勢(shì)與表征，構(gòu)建了“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型，提出了數(shù)學(xué)理解的八個(gè)水平，對(duì)后續(xù)數(shù)學(xué)理解的研究產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響. 對(duì)于數(shù)學(xué)理解的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的探討，研究者的觀點(diǎn)不盡相同，有的研究強(qiáng)調(diào)教師在課堂教學(xué)中的主導(dǎo)作用，有的研究則關(guān)注數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)理解中的價(jià)值……隨著國(guó)內(nèi)HPM研究的深入，數(shù)學(xué)史“知識(shí)之諧、文化之魅、方法之美、探究之樂(lè)、德育之效”的教育價(jià)值不斷凸顯，基于數(shù)學(xué)史的教學(xué)課例不斷開(kāi)發(fā)，數(shù)學(xué)史亦受到了廣泛關(guān)注［2］. 自然，數(shù)學(xué)史在教學(xué)中的滲透也將在一定程度上促進(jìn)數(shù)學(xué)理解，即數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)理解的實(shí)現(xiàn)中也擁有不容忽視的作用與價(jià)值. 但目前很少有研究者從數(shù)學(xué)史的視角下探索數(shù)學(xué)理解的實(shí)現(xiàn)，HPM研究與數(shù)學(xué)理解的研究處于相對(duì)獨(dú)立的狀態(tài). 鑒于此，本研究嘗試探索數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)理解中的作用，構(gòu)建數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)理解的關(guān)系，并在數(shù)學(xué)史五大選取原則上闡述指向數(shù)學(xué)理解的數(shù)學(xué)史選取新原則.

數(shù)學(xué)理解的理論框架

1. 從理解到數(shù)學(xué)理解

“理解”在《辭海》中被定義為：“了解、領(lǐng)會(huì). 是通過(guò)揭露事物間的聯(lián)系而認(rèn)識(shí)新事物的過(guò)程. ”而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）則將“理解”作為描述目標(biāo)的行為動(dòng)詞，解釋為：“描述對(duì)象的由來(lái)、內(nèi)涵和特征，闡述此對(duì)象與相關(guān)對(duì)象之間的區(qū)別和聯(lián)系.［3］”理解是一個(gè)較難界定的概念，不同學(xué)科流派也會(huì)產(chǎn)生截然不同的認(rèn)識(shí). 從哲學(xué)的角度來(lái)看，理解最早源于對(duì)古代文化的解釋. 隨著人們對(duì)“理解”問(wèn)題的探索，理解最終被視為人的交往實(shí)踐活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)理解的創(chuàng)造性和主體性，關(guān)注理解的多元性和差異性. 從認(rèn)知心理學(xué)的角度來(lái)看，理解本質(zhì)上是學(xué)習(xí)者以信息的傳輸、編碼為基礎(chǔ)，根據(jù)對(duì)已有信息建構(gòu)內(nèi)部的心理表征，獲得心理意義的過(guò)程［4］. 從腦科學(xué)的角度來(lái)看，理解是學(xué)習(xí)者在浸潤(rùn)性地主動(dòng)參與動(dòng)態(tài)的、整體性的、實(shí)踐性的知識(shí)的建構(gòu)，即以整體、浸潤(rùn)、聯(lián)系的觀點(diǎn)來(lái)解釋理解.

“數(shù)學(xué)理解”區(qū)別于一般的“理解”，它是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想等的理解，研究者對(duì)其內(nèi)涵的解釋也各具特色，具體從以下三個(gè)角度進(jìn)行說(shuō)明：一是網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系的角度，數(shù)學(xué)理解是指數(shù)學(xué)對(duì)象被納入學(xué)習(xí)者的內(nèi)部表征網(wǎng)絡(luò)，即學(xué)習(xí)者將新知識(shí)與已有知識(shí)建立聯(lián)結(jié)，使之納入學(xué)習(xí)者頭腦中的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)一步豐富、完善網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu). 二是表征轉(zhuǎn)化的角度，數(shù)學(xué)理解是指用不同的方式表征數(shù)學(xué)對(duì)象，并實(shí)現(xiàn)表征方式相互轉(zhuǎn)化的能力. 在表征方式相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，學(xué)習(xí)者需重新解釋和建構(gòu)數(shù)學(xué)對(duì)象，獲得對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的新認(rèn)識(shí)，形成深刻的理解. 三是類型層次的角度，斯根普提出工具性理解和關(guān)系性理解的分類，并指出數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)是使學(xué)生獲得關(guān)系性理解. 研究者在此基礎(chǔ)上提出了理解的四面體模型，即數(shù)學(xué)理解可以劃分為直觀理解、程序理解、抽象理解和形式理解，詮釋了數(shù)學(xué)理解的多樣性、過(guò)程性等特點(diǎn).

2. 數(shù)學(xué)理解的特征

從數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵中不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)理解擁有以下幾個(gè)特征.

其一，數(shù)學(xué)理解是集過(guò)程與結(jié)果于一體的概念. 這意味著數(shù)學(xué)理解既是一個(gè)動(dòng)態(tài)、連續(xù)、螺旋式發(fā)展的過(guò)程，也是經(jīng)歷數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)后所達(dá)成的對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的理解結(jié)果. 從過(guò)程來(lái)看，數(shù)學(xué)理解是從淺層理解出發(fā)，在一系列外部刺激的作用下，逐漸形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深層理解的過(guò)程. 從結(jié)果來(lái)看，數(shù)學(xué)理解是指學(xué)習(xí)者表露出來(lái)的對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)提取、應(yīng)用的能力，所謂數(shù)學(xué)理解的達(dá)成就是學(xué)習(xí)者能夠準(zhǔn)確描述數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)涵、區(qū)別、聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)對(duì)象的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并能夠隨時(shí)將其應(yīng)用于問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與解決.

其二，數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)在于建立聯(lián)結(jié). 其既是建立新舊知識(shí)聯(lián)系的過(guò)程，從而形成數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；又是建立聯(lián)結(jié)、知識(shí)納入網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果，即達(dá)成了關(guān)系性理解，從而表露出將數(shù)學(xué)對(duì)象的不同表征方式相互轉(zhuǎn)化的能力.

其三，數(shù)學(xué)理解擁有不同的水平層次. 對(duì)于相同的數(shù)學(xué)知識(shí)，受限于不同學(xué)習(xí)者的理解能力、學(xué)習(xí)習(xí)慣等因素，所獲得的數(shù)學(xué)理解也是參差不齊的. 具體來(lái)說(shuō)，可以分為記憶性理解水平、解釋性理解水平和探究性理解水平［5］，高水平層次的數(shù)學(xué)理解是數(shù)學(xué)教育所追求的目標(biāo).

3. 數(shù)學(xué)理解與數(shù)學(xué)史的關(guān)系

數(shù)學(xué)理解與數(shù)學(xué)史既相互獨(dú)立又相互聯(lián)系. 第一，數(shù)學(xué)史是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)理解的重要手段. 數(shù)學(xué)史正如“使面包和黃油更加可口的蜂蜜”，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具有吸引力［6］，其教育價(jià)值不言而喻. 因此，數(shù)學(xué)史不僅要在課堂教學(xué)中有所滲透，在教材、習(xí)題、考試中也應(yīng)該有所體現(xiàn). 在知識(shí)理解的過(guò)程中，數(shù)學(xué)史的加入能夠有效解決“知識(shí)何來(lái)源”“知識(shí)何價(jià)值”“知識(shí)何應(yīng)用”等疑惑，構(gòu)建學(xué)生對(duì)知識(shí)意義的理解，同時(shí)也能夠激發(fā)學(xué)生的探索興趣，促使學(xué)生文化性理解的形成. 第二，數(shù)學(xué)理解必將促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史的探索. 數(shù)學(xué)理解的實(shí)現(xiàn)是多種因素相互作用而達(dá)成的結(jié)果，學(xué)生的好奇心與求知欲將不斷驅(qū)動(dòng)他們探索知識(shí)及其相關(guān)內(nèi)容，包括對(duì)知識(shí)背后數(shù)學(xué)史的理解. 第三，數(shù)學(xué)理解與數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中是相互制約、相互引導(dǎo)、相互促進(jìn)的. 在數(shù)學(xué)理解的過(guò)程中總會(huì)存在一些只能通過(guò)數(shù)學(xué)史來(lái)回答的問(wèn)題，如“‘函數(shù)一詞是怎么來(lái)的？”“無(wú)理數(shù)是‘沒(méi)有道理的數(shù)嗎？”等等. 當(dāng)然，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平會(huì)影響他們對(duì)數(shù)學(xué)史的認(rèn)識(shí)與理解. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要把握好數(shù)學(xué)理解與數(shù)學(xué)史的關(guān)系，巧妙地將數(shù)學(xué)史滲透于數(shù)學(xué)理解的始終，使其更好地為數(shù)學(xué)理解的實(shí)現(xiàn)而服務(wù).

數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)理解的價(jià)值

1. 解釋知識(shí)之源

學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解往往是一種經(jīng)驗(yàn)性理解，即源于學(xué)生已有認(rèn)知或生活經(jīng)驗(yàn)的對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)表層的、不全面的、主觀的，甚至錯(cuò)誤的理解與認(rèn)識(shí)，是學(xué)生知識(shí)理解道路的起點(diǎn). 學(xué)生的學(xué)習(xí)困難具有歷史的相似性，數(shù)學(xué)史恰巧可以承擔(dān)起學(xué)生理解道路中“指明燈”的角色，解決“知識(shí)何源”的問(wèn)題. 例如，勾股定理最早可能是由畢達(dá)哥拉斯在觀察等腰直角三角形拼成的地磚中發(fā)現(xiàn)的. 在教學(xué)中，教師就可以創(chuàng)設(shè)相似情境，呈現(xiàn)圖1，讓學(xué)生在觀察中發(fā)現(xiàn)勾股定理的雛形，得到相關(guān)假設(shè)并加以驗(yàn)證. 在這個(gè)過(guò)程中，可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)性理解，闡述勾股定理的來(lái)源，并有效推動(dòng)勾股定理的探索進(jìn)程，促進(jìn)學(xué)生對(duì)勾股定理的理解.

2. 促進(jìn)意義構(gòu)建

在《標(biāo)準(zhǔn)》的課程內(nèi)容中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“理解……的意義”的要求，如“理解負(fù)數(shù)的意義”“能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義”等. 那何為“理解知識(shí)的意義”呢？這是在理解數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的基礎(chǔ)上，還要理解其產(chǎn)生的意義和學(xué)習(xí)的意義，乃至對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值的理解，屬于數(shù)學(xué)理解的重要一環(huán). 數(shù)學(xué)知識(shí)的意義并非無(wú)源之水、無(wú)根之木，需要以歷史的視角來(lái)審視，整體構(gòu)建知識(shí)的多種意義，以此促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解. 以韋達(dá)定理的教學(xué)為例，大多數(shù)教材都選擇用求根公式來(lái)求證韋達(dá)定理，這種方法雖然簡(jiǎn)便、直觀、易于理解，但其恰恰忽視了對(duì)韋達(dá)定理的意義的構(gòu)建. 求根公式的實(shí)質(zhì)就是用一元二次方程的系數(shù)來(lái)表示方程的根，也就是說(shuō)學(xué)生已經(jīng)掌握了根與方程系數(shù)的具體關(guān)系，那為何還要學(xué)習(xí)兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系呢？再加上初中階段對(duì)韋達(dá)定理的應(yīng)用較少，這不禁讓學(xué)生質(zhì)疑韋達(dá)定理的意義，進(jìn)而阻礙學(xué)生深入理解. 從歷史上看，韋達(dá)定理最早可以追溯到16世紀(jì)，其證明方法大多圍繞的是“設(shè)而不求”思想，如吉拉爾的代入相減法、歐拉的因式分解法等. 直到19世紀(jì)，華里斯才運(yùn)用韋達(dá)定理得到了求根公式. 因此，教學(xué)中可以選取較為復(fù)雜的一元二次方程（如系數(shù)過(guò)大的一元二次方程）用于學(xué)生感受求根公式的“失效”，進(jìn)而引出韋達(dá)定理，并利用歷史上的方法加以證明，最后設(shè)置用韋達(dá)定理證明求根公式的環(huán)節(jié)，促使學(xué)生建立韋達(dá)定理與求根公式之間的聯(lián)結(jié)，達(dá)成對(duì)韋達(dá)定理的意義的理解.

3. 推動(dòng)遷移應(yīng)用

遷移性理解是指將知識(shí)應(yīng)用于陌生的情境中解決相關(guān)問(wèn)題的過(guò)程，是在數(shù)學(xué)理解過(guò)程中檢測(cè)學(xué)生數(shù)學(xué)理解水平的重要階段，也詮釋了數(shù)學(xué)理解的價(jià)值意義. 數(shù)學(xué)史在此階段充當(dāng)著“素材庫(kù)”的作用，教師可以選擇相關(guān)數(shù)學(xué)史料作為背景設(shè)計(jì)相關(guān)試題，以達(dá)到檢測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平，促使學(xué)生遷移應(yīng)用知識(shí)的目的. 例如，在初中函數(shù)概念的教學(xué)中，教師可以圍繞函數(shù)概念的發(fā)展歷史設(shè)計(jì)問(wèn)題（如圖2所示），引導(dǎo)學(xué)生思考?xì)v史上的數(shù)學(xué)家所定義的函數(shù)存在的缺陷，將如今的函數(shù)概念與歷史上的函數(shù)概念作對(duì)比，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)概念的理解. 當(dāng)然，《九章算術(shù)》《幾何原本》等數(shù)學(xué)專著中的數(shù)學(xué)問(wèn)題及其改編題也能在教學(xué)中達(dá)到相應(yīng)的目的.

4. 奠基文化理解

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的有機(jī)組成部分，也是數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的內(nèi)容. 在知識(shí)理解中，文化性理解貫穿數(shù)學(xué)理解始終，為數(shù)學(xué)理解的各個(gè)環(huán)節(jié)提供著源源不斷的“能量”. 文化性理解是立足知識(shí)本身，并追溯到知識(shí)背后所隱藏的發(fā)展脈絡(luò)、名人軼事、思想方法等，形成學(xué)生獨(dú)特的數(shù)學(xué)文化體系. 數(shù)學(xué)史的加入能夠在學(xué)生心里埋下一顆“文化的種子”，這顆“種子”將會(huì)在學(xué)生后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)中生根發(fā)芽，長(zhǎng)成一棵參天大樹(shù). 例如，學(xué)生在七年級(jí)學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)等內(nèi)容時(shí)，教師可以滲透中西方關(guān)于負(fù)數(shù)的歷史，引導(dǎo)學(xué)生自主思考西方為何不接受負(fù)數(shù)等問(wèn)題，捋清負(fù)數(shù)的發(fā)展脈絡(luò). 而后隨著學(xué)習(xí)的深入，在探索一元二次方程的幾何解法時(shí)學(xué)生就會(huì)意識(shí)到，西方數(shù)學(xué)家更傾向于在直觀的幾何中找到對(duì)數(shù)學(xué)的解釋，比如幾何解法只能表示正根. 此時(shí)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解不再停留于知識(shí)本身，而是在此基礎(chǔ)上以整體的視角構(gòu)建一種文化理解觀，達(dá)到較高水平的數(shù)學(xué)理解.

指向數(shù)學(xué)理解的數(shù)學(xué)史選取原則

從已有研究來(lái)看，數(shù)學(xué)史的選取要遵循“趣味性、可學(xué)性、有效性、人文性和科學(xué)性”五大原則，這是數(shù)學(xué)史選取的基本原則［2］. 在指向數(shù)學(xué)理解的視角下，數(shù)學(xué)史不能如蜻蜓點(diǎn)水般地簡(jiǎn)單羅列，而要在“好”中取“精”，選擇最適合幫助學(xué)生達(dá)成數(shù)學(xué)理解的史料. 因此，數(shù)學(xué)史的選取原則應(yīng)有所補(bǔ)充——加入啟發(fā)性、探索性和深刻性原則，具體見(jiàn)表1.

在指向數(shù)學(xué)理解的數(shù)學(xué)史的選取中，首先要遵循啟發(fā)性和探索性原則，做到讓數(shù)學(xué)史為推動(dòng)數(shù)學(xué)理解的實(shí)現(xiàn)而服務(wù)，既幫助學(xué)生激活舊知、激發(fā)求知欲，又有效推進(jìn)學(xué)生深入數(shù)學(xué)理解. 其次，以深刻性原則保證數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)的有效性，以期學(xué)生通過(guò)所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)史獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)更為全面的理解，這種理解包括知識(shí)背后的歷史文化等內(nèi)容，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生自主探索的欲望. 當(dāng)然，深刻性也可以是數(shù)學(xué)史料中的德育、美育等因素對(duì)學(xué)生留下的深刻印象.

結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)理解的實(shí)現(xiàn)中發(fā)揮著重要作用，指向數(shù)學(xué)理解的教學(xué)自然也離不開(kāi)相關(guān)數(shù)學(xué)史的融入. 在數(shù)學(xué)理解實(shí)現(xiàn)的道路中，教師要關(guān)注理解過(guò)程，聚焦理解本質(zhì)，明晰理解目標(biāo)，在五大原則的基礎(chǔ)上以啟發(fā)性、探索性和深刻性原則選取史料，并在恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)環(huán)節(jié)中展示出來(lái)，以此促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的實(shí)現(xiàn).

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