朱 安 陳 力

* (江西理工大學能源與機械工程學院,南昌 330013)

? (福州大學機械工程及自動化學院,福州 350108)

引言

為了持續(xù)、深入地探索太空,人類向太空發(fā)射了大量攜帶有各類電子設(shè)備的探測衛(wèi)星.太陽能帆板是衛(wèi)星系統(tǒng)的電能收集裝置,若其供電不足以支持系統(tǒng)內(nèi)電子設(shè)備的正常運行,衛(wèi)星的大部分功能將被限制,這是影響衛(wèi)星壽命的重要因素之一[1-3].衛(wèi)星一般通過燃燒攜帶的燃料對位姿進行調(diào)節(jié),但燃燒形成的煙霧容易附著在太陽能帆板上;另外,超高速碎片撞擊產(chǎn)生的分子態(tài)污染物也容易附著在太陽能帆板上,這些污染物將極大地降低帆板的工作效率,嚴重時甚至會導致衛(wèi)星失效[4-6].參考文獻[6]的數(shù)據(jù),美國在1996 年的統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)衛(wèi)星因受污染發(fā)生失效的有25 顆.因此,對衛(wèi)星的太陽能帆板進行定期清潔具有重要的研究意義.

目前對地面太陽能電池板的清潔方式主要有:雨水和風自然清潔、空氣調(diào)節(jié)系統(tǒng)清潔、噴水設(shè)備清潔、人工清潔、機器人清潔等[7-9].但衛(wèi)星工作在微重力、高真空和大溫差的太空環(huán)境中,采用空間機械臂對其太陽能帆板進行清潔是一種合適且有效的方法.值得注意的是,與地面太陽能電池板的安裝方式不同,衛(wèi)星的太陽能帆板一般以懸臂的形式安裝[10],在清潔時為了保護太陽能帆板不被破壞,需對衛(wèi)星姿態(tài)、清潔裝置位姿與輸出力進行非常精細的控制.另外,由于太陽能帆板存在一定的柔性,清潔操作中引起的帆板柔性振動將很難被抑制,故對空間機械臂清潔操作的研究有一定的難度.

針對機械臂與外界環(huán)境的接觸、碰撞問題,Hogan[11]提出的阻抗控制可通過調(diào)整阻抗參數(shù),構(gòu)建機械臂末端位姿與輸出力之間的動態(tài)關(guān)系,實現(xiàn)接觸與碰撞的柔順化.在Hogan 研究的基礎(chǔ)上,曾晨東等[12]針對空間機械臂在軌插拔孔操作的控制問題,設(shè)計了一種事件觸發(fā)滑模阻抗控制策略.Kang 等[13]為提高空間機械臂捕獲航天器的效率和安全性,提出一種基于阻抗控制的PD 組合控制策略.Liu 等[14]為保持機器人與非合作衛(wèi)星之間的接觸以降低衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)速度,提出了一種避免中心碰撞后分離的阻抗控制方案.考慮到空間機械臂對太陽能帆板進行清潔操作時,需同時實現(xiàn)衛(wèi)星位姿、清潔裝置位姿與輸出力的精確控制,因此本文結(jié)合阻抗控制原理,并參考文獻[15]的力/位伺服系統(tǒng),設(shè)計了一種力加載隨動控制系統(tǒng).其可根據(jù)清潔裝置輸出力與接觸力的誤差,在線修正清潔裝置的位姿與輸出力.

針對空間系統(tǒng)的控制問題,宋新宇等[16]研究了撓性航天器動力學模型的非約束模態(tài).郭聞昊等[17]基于粒子群算法對空間機器人抓捕衛(wèi)星碰撞前構(gòu)型進行優(yōu)化,減小了碰撞對機器人系統(tǒng)角動量的影響.范紀華等[18]針對多桿空間鏈式柔性機器人系統(tǒng),采用假設(shè)模態(tài)法、有限元法、Bezier 插值法和B 樣條插值法對變形場進行描述.機械臂在清潔操作的各階段切換時會因系統(tǒng)狀態(tài)變化導致清潔裝置輸出力突變,過大的輸出力將造成太陽能帆板的損壞.近年來,障礙Lyapunov 函數(shù)(barrier Lyapunov functions,BLFs)在求解時變約束問題上取得了較好的效果[19-22],為了盡量減小輸出力突變造成的影響,本文針對機械臂清潔太陽能帆板的控制特點,設(shè)計了一種對數(shù)型的BLFs 約束系統(tǒng)狀態(tài),且基于此提出了一種全狀態(tài)約束控制(full state constraint control,FSCC)策略.該策略將BLFs 運用在控制器的每一步反演設(shè)計中,有效地防止了設(shè)置的約束被突破.

一般情況下,由于攜帶的燃料消耗、機械臂質(zhì)心偏移等原因,衛(wèi)星系統(tǒng)的參數(shù)難以精確獲得,而RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBF neural networks,RBFNN) 對非線性不確定系統(tǒng)具有很好的擬合效果[23-26],考慮到學者對RBFNN 的研究已相對成熟,因此本文采用Huang 等[27]提出的RBFNN 對衛(wèi)星系統(tǒng)的不確定參數(shù)進行擬合.另外,考慮到太陽能帆板的柔性及衛(wèi)星與機械臂系統(tǒng)存在的動力學耦合問題,在清潔操作中微小的振動將可能引起帆板的激振,嚴重時可能導致設(shè)備的損壞.即使未產(chǎn)生激振,由于清潔操作對位姿與輸出力均有較高的要求,從此方面考慮也有必要對帆板的柔性振動進行抑制.為此本文參考文獻[28],運用虛擬力的概念,采用混合軌跡法對帆板的柔性振動進行抑制.

本文對機械臂擦抹清潔衛(wèi)星太陽能帆板操作進行了研究,導出了衛(wèi)星姿態(tài)受控形式的系統(tǒng)動力學模型.結(jié)合阻抗控制原理,設(shè)計一種力加載隨動控制系統(tǒng)在線修正清潔裝置的位姿與輸出力.提出一種基于BLFs 的FSCC 策略,且通過RBFNN 擬合系統(tǒng)不確定參數(shù)提高了控制的精度.

1 動力學建模

機械臂清潔衛(wèi)星太陽能帆板操作如圖1 所示.圖1 中O0,Oci和Oi(i=1,2,3) 分別為衛(wèi)星載體質(zhì)心、機械臂質(zhì)心和各關(guān)節(jié)鉸中心,Os為帆板的起始點,P為清潔裝置的末端點;XOY為系統(tǒng)隨軌道平動的慣性參考坐標系;x0O0y0為固定在衛(wèi)星載體質(zhì)心上的坐標系,xiOiyi為固定在關(guān)節(jié)鉸中心的坐標系.文中所用部分符號定義如表1 所示.

表1 部分符號定義Table 1 Definition of some Symbols

圖1 衛(wèi)星太陽能帆板清潔機械臂Fig.1 Satellite solar panel cleaning manipulator

清潔操作中衛(wèi)星太陽能帆板的彎曲如圖2 所示,通過參考文獻[29]可將太陽能帆板等效為簡支梁.為方便后續(xù)建模分析,選取太陽能帆板軸線方向與直線O0Os重合,取其抗彎剛度EI與線密度 ρs均為定值.

圖2 太陽能帆板的彎曲Fig.2 Bending of solar panel

圖2 中xs(0 ≤xs≤Ls) 為太陽能帆板與Os的軸向距離,為t時刻太陽能帆板在xs處的徑向柔性位移,?g(xs),δg(t) 分別表示帆板的第g階模態(tài)函數(shù)與模態(tài)坐標,這里取n=2.

通過圖1 和圖2 可知,在慣性參考坐標系XOY下各分體質(zhì)心的位置矢徑為

由于在清潔操作中系統(tǒng)未受外力影響,且衛(wèi)星的位置不受控,因此整個系統(tǒng)滿足動量守恒關(guān)系.若令系統(tǒng)的初始動量為零,則通過系統(tǒng)動量守恒關(guān)系可得

式中,Nυ,k,Nυ,s,Ns,k和Ns,s均為包含系統(tǒng)參數(shù)的常量.

通過式(2)可得系統(tǒng)的動能為

式中,ωk為系統(tǒng)第k個分體的角速度.

若忽略太空的微重力影響,則系統(tǒng)的勢能來源于太陽能帆板,因此系統(tǒng)勢能為

將T與U的表達式代入如下形式的Lagrange方程

式中,L=T-U為Lagrange 函數(shù),Q∈R6×1為系統(tǒng)的廣義力,q=[θ0,θ1,θ2,θ3,δ1,δ2]T為系統(tǒng)的廣義坐標.

通過式(5)可得系統(tǒng)動力學模型為

式中,Mr11∈R4×4,Mr12∈R4×2,Mr21∈R2×4,Mr22∈R2×2為系統(tǒng)的慣量矩陣Mr的分塊矩陣,Hr11∈R4×4,Hr12∈R4×2,Hr21∈R2×4,Hr22∈R2×2為包含科氏力、離心力矩陣Hr的分塊矩陣;qr=[θ0,θ1,θ2,θ3]T,δ=[δ1,δ2]T,Kδ∈R2×2為帆板的等效剛度矩陣,τr=[τ0,τ1,τ2,τ3]T為載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)的控制力矩.

通過式(6)對系統(tǒng)進行剛?cè)嵝苑纸?得系統(tǒng)的剛性動力學模型為

由于清潔操作考慮的是清潔裝置相對衛(wèi)星載體的運動情況,故將P點在x0O0y0上投影可得

式中,xO1和yO1為O1在x0O0y0下的位置坐標,θP=θ1+θ2+θ3.

通過式(8)可得P點相對載體的運動學關(guān)系為

通過式(9)可將式(7)所示的關(guān)節(jié)空間動力學模型轉(zhuǎn)換為基于末端位置的慣性空間動力學模型

2 阻抗模型

阻抗控制可通過設(shè)置合適的阻抗參數(shù)調(diào)節(jié)機械臂位姿和接觸力之間的關(guān)系,考慮到擦抹清潔操作中為了防止發(fā)生劇烈的接觸、碰撞,需精確控制機械臂末端輸出力與位姿,故將阻抗控制應(yīng)用于擦抹清潔操作.

參考文獻[30],機械臂的阻抗關(guān)系可描述為

式中,Xd為期望位姿,X為實際位姿;MP∈R4×4,BP∈R4×4,KP∈R4×4分別為慣量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣;Fd∈R4×1,Fe∈R4×1分別為清潔裝置的期望輸出力與實際接觸力.

根據(jù)是否需要控制清潔裝置的輸出力,清潔操作過程可分為自由和接觸兩個階段.在自由階段,清潔裝置末端的接觸力為零;在接觸階段,清潔裝置末端受到環(huán)境力的作用,其運動狀態(tài)受到限制.因此擦抹清潔操作中阻抗關(guān)系可描述為

3 控制器設(shè)計

3.1 預備知識

定理1對于大于零的常數(shù)ka與任意的變量x,若滿足條件 |x|

這里稱ka為x的約束值.

在定義域y∈(0,+∞) 內(nèi),有不等式y(tǒng)-1 ≥lny成立,則可知定理1 成立.

式中,Γj>0 為增益系數(shù),ψj(y) 為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基函數(shù),且 ‖ψ(y)‖≤ψN;y為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入,εj>0 為很小的正數(shù),用于提高控制器的魯棒性.

假設(shè)1神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對不確定項的逼近誤差 ? 有界,即 ‖?‖≤?N,?N>0.

3.2 FSCC 控制器設(shè)計

將式(10)的動力學模型改為狀態(tài)空間表達式

定義如下形式的位置與速度誤差

式中,zd=Xd為清潔裝置的期望位姿.

設(shè)計如下形式的虛擬變量

基于式(17)設(shè)計如下參考速度誤差

通過式(16)～式(18)可得

對式(18)求導且結(jié)合式(15)可得

為防止機械臂在運動過程中突破設(shè)置的狀態(tài)約束,采用反演算法設(shè)計控制力矩.首先選取如下形式的Lyapunov 函數(shù)

對式(21)求導且結(jié)合式(17)和式(19)可得

式中,e2j為e2中的元素.

基于式(21)和式(22)選取新的Lyapunov 函數(shù)

對式(23)求導可得

結(jié)合特性1 與式(20),式(24)可化簡為

根據(jù)Moore-Penrose 偽逆矩陣有

式(27)設(shè)計的控制率需精確知道系統(tǒng)的參數(shù),然而其一般難以精確獲得,由此導致 ρ(t) 的不確定.ρ(t)的不確定將嚴重降低系統(tǒng)的位姿與輸出力控制精度,考慮到RBFNN 可較好地對非線性項進行擬合,故采用RBFNN 對 ρ(t) 進行擬合.

假設(shè)存在理想的權(quán)值矩陣W*使得 ρ (t) 可以被擬合為

式中,νn和 ?n分別為高斯基函數(shù)的中心和寬度.

由于W*為理想值,其存在但不可知,因此在控制中對不確定項 ρ(t) 擬合的實際值為

通過式(30),控制率式(27)被改寫為

參考文獻[27]設(shè)計如下形式的RBFNN 學習率

定理2對于式(10)所示的系統(tǒng),若滿足假設(shè)1,且采用式(31) 所示的控制力矩,式(32) 所示的RBFNN 學習率,則可保證系統(tǒng)全狀態(tài)收斂.

證明選取如下的Lyapunov 函數(shù)

對式(33)求導可得

將式(31)和式(32)代入式(34)可得

結(jié)合定理1、引理1 與式(36),式(35)可被化簡為

基于以上分析,只要滿足 λminK2-3E/4>0 即可保證系統(tǒng)收斂.進一步,對式(37)積分可得

式中,D1=V3(0)-C2/C1.

結(jié)合式(33)可知系統(tǒng)各狀態(tài)量的收斂域為

3.3 太陽能帆板振動抑制

上節(jié)設(shè)計的控制器僅考慮了系統(tǒng)的剛性,未將帆板的柔性考慮在內(nèi).由于清潔操作對系統(tǒng)的控制精度有較高的要求,而太陽能帆板的柔性振動會對清潔操作的控制產(chǎn)生干擾,故本節(jié)采用虛擬控制力原理對設(shè)計的期望軌跡進行修正,使得太陽能帆板的柔性振動能被抑制.

引入虛擬力Fh∈R4×1,期望軌跡與混合軌跡誤差eh=zh-zd由如下二階指令發(fā)生器生成

式中,μ和η∈R4×4為正定常數(shù)矩陣.

將式(40)代入式(15)可得

結(jié)合式(39)和式(41)可得

將式(42)代入式(6)可得系統(tǒng)的柔性部分為

參考文獻[28] 可知,當取Fh=時可保證S收斂,即控制器可同時保證軌跡的高精度控制與帆板的振動抑制.

3.4 結(jié)合阻抗模型的FSCC

為了同時控制清潔裝置的位姿與輸出力,參考文獻[15]的力/位伺服系統(tǒng),設(shè)計了一種力加載隨動控制系統(tǒng),其控制框圖如圖3 所示.

圖3 力加載隨動系統(tǒng)控制框圖Fig.3 Control diagram of force load servo system

圖3 所示的控制系統(tǒng)可根據(jù)機械臂清潔裝置輸出力與接觸力的誤差,在線修正清潔裝置的位姿,并實現(xiàn)對輸出力的跟蹤.

4 仿真模擬

4.1 摩擦力未突變下的擦抹清潔操作

采用圖1 所示的系統(tǒng)進行仿真分析,系統(tǒng)參數(shù)如下:m0=200 kg,m1=m2=10 kg,m3=5 kg,L0=0.5 m,L1=L2=2 m,L3=0.5 m,Ls=3 m,d1=d2=1 m,d3=0.25 m,Los=1.2 m,I0=128 kg·m2,I1=I2=15 kg·m2,I3=2 kg·m2,ρs=45 kg/m,EI=1000 N·m2.

控制參數(shù)如下:k1j=20,k2j=50,ka1=ka2=π/1800,ka3=ka4=10-3,Γj=40,εj=0.5,Mp=diag(100,100,100,100),Bp=diag(200,200,200,200),Kp=diag(500,500,500,500),μ=η=diag(5,5,5,5).

為保證清潔過程中對清潔裝置位姿與輸出力的精確控制,將整個過程劃分為3 個階段:預備階段、靠近階段和擦抹清潔階段.假設(shè)清潔裝置與帆板的摩擦系數(shù)為0.2,為防止自鎖,在清潔過程中清潔裝置與太陽能帆板的夾角應(yīng)始終大于11.31o,系統(tǒng)的初始狀態(tài)為qr=[12o,20o,130o,-20o]T.

(1) 預備階段:關(guān)閉阻抗控制,調(diào)整衛(wèi)星的姿態(tài)與清潔裝置的位姿,使清潔裝置移動到太陽能帆板起始點Os的正上方,且調(diào)整清潔裝置與太陽能帆板的夾角.此過程中,衛(wèi)星與清潔裝置的期望位姿、期望輸出力為

(2) 靠近階段:在5～10 s 調(diào)整清潔裝置位置,使其緩慢地靠近太陽能帆板;為防止清潔裝置與太陽能帆板在剛接觸時因輸出力太小而達不到預期的清潔效果,在10～15 s 開啟阻抗控制進行輸出力的預加載,且將清潔裝置移動到與太陽能帆板剛接觸.假設(shè)摩擦力為1 N,則衛(wèi)星與清潔裝置的期望位姿、期望輸出力為

(3) 擦抹清潔階段:開啟阻抗控制,使清潔裝置沿期望軌跡克服太陽能帆板的摩擦阻力進行清潔操作,衛(wèi)星與清潔裝置的期望位姿、期望輸出力為

首先分析清潔操作中太陽能帆板的柔性振動,及所采用的混合軌跡抑振方法對振動的抑制效果.仿真結(jié)果如圖4 和圖5 所示,其中圖4 為未采用抑振算法的帆板模態(tài)變化情況,圖5 為采用了抑振算法的能帆板模態(tài)變化情況.

圖4 未采用抑振算法的太陽能帆板模態(tài)Fig.4 Modal of solar panels without vibration suppression

圖5 采用抑振算法的太陽能帆板模態(tài)Fig.5 Modal of solar panels with vibration suppression

從圖4 可知,在未對帆板的柔性振動進行抑制的情況下,由于存在系統(tǒng)動力學耦合,帆板的振動幅度會越來越大,導致清潔操作無法完成.通過圖5 可知,所采用的抑振算法可有效抑制帆板的柔性振動,保證了清潔操作中對清潔裝置軌跡和輸出力的高精度控制.

接下來將在帆板柔性振動抑制的前提下,對所提控制策略的性能進行分析,且將其與文獻[33]中的滑?？刂?sliding mode control,SMC)策略進行對比分析,SMC 中同樣采用RBFNN 擬合系統(tǒng)的不確定項,仿真結(jié)果如圖6～圖11 所示.

圖6 衛(wèi)星載體姿態(tài)角軌跡Fig.6 Trajectory of satellite base attitude angle

圖6 為衛(wèi)星載體的姿態(tài)角,圖7 為機械臂關(guān)節(jié)角,圖8 和圖9 為清潔裝置的位姿,圖10 為清潔裝置的輸出力,圖11 為載體與清潔裝置的位姿誤差(e11和e12為載體與清潔裝置姿態(tài)角誤差,e13和e14為清潔裝置x和y方向的位置誤差).由圖6 可知在清潔操作過程中,載體姿態(tài)角雖然在各階段的切換過程中產(chǎn)生了波動,但隨后迅速平穩(wěn).由圖7～圖9可知,清潔裝置的位姿可較好地跟蹤上期望值,且具有較快的響應(yīng)速度.結(jié)合圖10 和圖11 可知FSCC策略下,BLFs 可在清潔操作的各階段切換中有效地避免系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生突變,從而防止清潔裝置輸出力發(fā)生突變,這是保證清潔操作安全執(zhí)行的重要條件.

圖7 機械臂關(guān)節(jié)角軌跡Fig.7 Trajectory of the manipulator joint angles

圖8 清潔裝置姿態(tài)角軌跡Fig.8 Trajectory of the cleaning device attitude angle

圖9 清潔裝置位置軌跡Fig.9 Trajectory of the cleaning device position

圖10 清潔裝置輸出力Fig.10 Output force of the cleaning device

圖11 衛(wèi)星與清潔裝置位姿誤差Fig.11 Position and attitude angle error of the satellite base and cleaning device

4.2 摩擦力突變下的擦抹清潔操作

在擦抹清潔過程中可能會出現(xiàn)太陽能帆板結(jié)構(gòu)變化導致局部摩擦力突變的情況,為保證在此情況下仍能順利地完成清潔任務(wù),采取在摩擦力突變時保持載體與清潔裝置姿態(tài)不變,將清潔裝置輸出力緩慢增加至最大靜摩擦,待清潔裝置與帆板相對滑動后再將輸出力恢復至原值.假設(shè)在25 s 時候摩擦力突變至2 N,因此保持4.1 中的預備、靠近階段不變,將擦抹清潔階段調(diào)整為

仿真結(jié)果如圖12～圖14 所示,其中圖12 為清潔裝置的位置,圖13 為清潔裝置的輸出力,圖14 為衛(wèi)星與清潔裝置位姿誤差.

圖12 清潔裝置位置軌跡Fig.12 Trajectory of the cleaning device position

圖13 清潔裝置輸出力Fig.13 Output force of the cleaning device

圖14 衛(wèi)星與清潔裝置位姿誤差Fig.14 Position and attitude angle error of the satellite base and cleaning device

結(jié)合圖12 和圖13 可知,在25 s 摩擦力突變時清潔裝置保持末端位置不變,其輸出力緩慢增加,到28 s 時克服靜摩擦繼續(xù)執(zhí)行清潔操作;且通過圖13 可知在各階段的切換中FSCC 的清潔裝置輸出力相較于SMC 更加平穩(wěn).通過圖14 可知,在清潔操作的各階段切換中,BLFs 可有效地將系統(tǒng)狀態(tài)限制在約束范圍內(nèi),保證了任務(wù)的安全、順利執(zhí)行.

5 結(jié)論

文章針對空間太陽能帆板的擦抹清潔操作進行了研究,得到以下結(jié)論.

(1) 通過結(jié)合阻抗控制原理,擦抹清潔操作可較好地控制清潔裝置輸出力,使其在系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生突變時也能穩(wěn)定輸出,在保證清潔效果的同時避免了對太陽能帆板的破壞.

(2) 所采用的抑振算法可有效地抑制帆板的柔性振動,所提的FSCC 策略可將系統(tǒng)的狀態(tài)限制在設(shè)置的約束范圍內(nèi),且通過結(jié)合RBFNN 對不確定系統(tǒng)進行擬合,實現(xiàn)對衛(wèi)星載體與清潔裝置位姿的精確控制.

(3) 對太陽能帆板擦抹清潔操作進行分段控制可有效劃分操作的流程,在一定程度上保證清潔操作順利的完成.