賈偉亞，魏岳嵩，徐建中

（1.亳州學(xué)院 教育系，安徽 亳州 236800；2.淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000；3.亳州學(xué)院 電子與信息工程系，安徽 亳州 236800）

0 引言

變點(diǎn)問(wèn)題起源于質(zhì)量控制領(lǐng)域，由于生產(chǎn)線中產(chǎn)出的產(chǎn)品總存在不合格產(chǎn)品，為保證產(chǎn)品質(zhì)量，需將不合格產(chǎn)品及時(shí)抽出，不合格品出現(xiàn)的時(shí)刻就是變化點(diǎn)，這便產(chǎn)生對(duì)變點(diǎn)的研究。隨著變點(diǎn)問(wèn)題研究的深入，其研究方法和分析模型也相應(yīng)多樣化，從而被廣泛應(yīng)用到金融、工業(yè)、醫(yī)學(xué)和水文等領(lǐng)域。如譚長(zhǎng)春等［1］應(yīng)用變點(diǎn)檢測(cè)分析金融傳染問(wèn)題；周佳琪等［2］利用變點(diǎn)模型分析房地產(chǎn)價(jià)格的影響因素；尚云艷等［3］和仲建蘭等［4］應(yīng)用變點(diǎn)模型研究控制圖的問(wèn)題；張羽等［5］和張清杰等［6］在研究水文問(wèn)題中應(yīng)用變點(diǎn)分析法。

變點(diǎn)的在線監(jiān)測(cè)問(wèn)題是指在已有模型基礎(chǔ)上對(duì)新觀察數(shù)據(jù)進(jìn)行在線監(jiān)測(cè)，直到出現(xiàn)變點(diǎn)才停止［7］。許天明等［8］研究AR（p）（p階自回歸）模型中存在一個(gè)均值變點(diǎn)的估計(jì)問(wèn)題；胡堯等［9］研究方差非參數(shù)回歸模型中均值與方差雙重變點(diǎn)的估計(jì)；朱慧敏等［10］研究方差變點(diǎn)模型CUSUM（Cumulative Sum）型估計(jì)量的相合性；胡丹青等［11］研究線性回歸模型多結(jié)構(gòu)變點(diǎn)檢測(cè)方法；李美琪等［12］研究線性回歸模型中相依數(shù)據(jù)的多結(jié)構(gòu)變點(diǎn)問(wèn)題。Gombay等［13］引入有效得分向量，將變點(diǎn)的在線監(jiān)測(cè)問(wèn)題推廣到AR（p）（p階自回歸）模型中。薛義新等［14］對(duì)自回歸模型參數(shù)變點(diǎn)進(jìn)行分析，構(gòu)造殘差累積和監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)量，給出監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)量的極限性。齊培艷等［15］研究多項(xiàng)式回歸模型中系數(shù)變點(diǎn)的在線監(jiān)測(cè)問(wèn)題。Na等［16］討論變系數(shù)和變方差的在線監(jiān)測(cè)問(wèn)題。Qin等［17］研究線性過(guò)程方差變點(diǎn)估計(jì)強(qiáng)相合性。Aue等［18］對(duì)RCA（1）時(shí)間序列模型均值變點(diǎn)的監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析研究，得到統(tǒng)計(jì)量的極限分布性質(zhì)。Li等［19］引入波動(dòng)監(jiān)測(cè)程序?qū)CA（p）模型中參數(shù)變點(diǎn)進(jìn)行在線監(jiān)測(cè)分析研究。窗寬參數(shù)在高頻數(shù)據(jù)波動(dòng)率和短期負(fù)荷區(qū)間預(yù)測(cè)等分析中均有應(yīng)用［20-21］。在變點(diǎn)問(wèn)題的研究中，劉維奇等［22］對(duì)多元時(shí)間序列均值向量變點(diǎn)進(jìn)行研究，引入窗寬參數(shù)構(gòu)造殘差累積和統(tǒng)計(jì)量對(duì)均值變點(diǎn)進(jìn)行在線監(jiān)測(cè)。陳占?jí)鄣龋?3］和李佛曉等［24］通過(guò)引入窗寬參數(shù)分別對(duì)線性回歸模型和自回歸模型的參數(shù)變點(diǎn)進(jìn)行修正后的在線監(jiān)測(cè)。在變點(diǎn)的在線監(jiān)測(cè)過(guò)程中，窗寬參數(shù)對(duì)變點(diǎn)監(jiān)測(cè)運(yùn)行時(shí)間有著重要的影響，故可通過(guò)引入窗寬參數(shù)來(lái)調(diào)整運(yùn)行時(shí)間。

本文對(duì)RCA時(shí)間序列模型的均值變點(diǎn)進(jìn)行研究，在模型中引入窗寬參數(shù)，并插入窗寬參數(shù)的一致估計(jì)，用來(lái)調(diào)整監(jiān)測(cè)的起始時(shí)刻，以此來(lái)提高變點(diǎn)分析檢驗(yàn)勢(shì)，縮短監(jiān)測(cè)平均運(yùn)行時(shí)間，給出一種改進(jìn)變點(diǎn)監(jiān)測(cè)方法。給出監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)和備擇假設(shè)下的極限分布以及其后驗(yàn)檢驗(yàn)，并對(duì)極限分布和后驗(yàn)檢驗(yàn)進(jìn)行證明，得出極限分布的一致性，以及后驗(yàn)檢驗(yàn)提高檢驗(yàn)準(zhǔn)確率的有效性。數(shù)據(jù)模擬結(jié)果表明，可根據(jù)變點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)刻與監(jiān)測(cè)起始時(shí)刻的遠(yuǎn)近選取適當(dāng)?shù)拇皩拝?shù)，以縮短平均運(yùn)行長(zhǎng)度，達(dá)到更有效檢驗(yàn)效果，并通過(guò)后驗(yàn)檢驗(yàn)對(duì)歷史樣本數(shù)據(jù)穩(wěn)定性進(jìn)行分析，提高模型檢驗(yàn)準(zhǔn)確性。

1 模型假設(shè)

設(shè)隨機(jī)變量{Xn} 是一階隨機(jī)系數(shù)自回歸時(shí)間序列模型，滿足下列等式

這里Z 表示任意正整數(shù)，φ是待估系數(shù)，{bn} 和{en} 分別是白噪聲序列，且滿足如下條件

這里條件（i）保證{Xn} 的嚴(yán)平穩(wěn)性，條件（ii）是{Xn} 二階平穩(wěn)性充要條件?？紤]隨機(jī)變量的均值模型

這里{ }Xn是RCA（1）時(shí)間序列模型。假設(shè)歷史數(shù)據(jù)前m個(gè)觀測(cè)樣本是沒(méi)有變化的，檢驗(yàn)如下假設(shè)H0:Δm=0，H1:Δm≠0。當(dāng) |Q(m,k,h) |第一次超過(guò)g(m,k,h)時(shí)，拒絕H0并停止。因此，定義如下停止時(shí)刻

這里inf?=∞，Q(m,k,h)，g(m,k,h)分別表示累積和監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)量和邊界函數(shù)，定義為

引理1（RCA（1）時(shí)間序列的強(qiáng)不變性） 令{ }Xn是滿足式（1）中條件（i）和（ii）的RCA（1）時(shí)間序列，則存在k ＞2，使得。然后，存在一個(gè)維納過(guò)程{W(t)}t≥0，使得

這里t→∞，v ＞2，St=X1+X2+…+Xt，且令

證明 類似文獻(xiàn)［16］中5.1對(duì)定理2.1的證明方法可證得。

由于上述統(tǒng)計(jì)量中的參數(shù)σs未知，便需引入另一個(gè)合適估測(cè)參數(shù)來(lái)代替方差參數(shù)σ2s，為此通過(guò)RCA（1）時(shí)間序列模型參數(shù)一致估計(jì)引入?yún)?shù)估計(jì)，其中m∈N。

引理2 隨機(jī)變量{Xn} 是滿足式（1）中條件（i）和（ii）的RCA（1）時(shí)間序列，對(duì)任意m∈N，令和分別是參數(shù)φ，σ2和ω2的弱一致估計(jì)，有

其中m→∞，→P表示依概率收斂，是的弱一致估計(jì)。

證明 結(jié)合引理1，由可測(cè)映射定理和弱一致收斂原理可證。

2 極限分布定理

定理1 令{Xn} 是滿足式（1）中條件（i）和（ii）的RCA（1）時(shí)間序列，則存在k ＞2，使得＜∞和E|φ+b1|k ＜1，則存在一個(gè)維納過(guò)程{Wˉ(t)}t∈[0,1]，使得在假設(shè)H0下有

證明 由引理1和引理2，對(duì)任意k∈N 和，當(dāng)m→∞時(shí)，有

和

又因?yàn)?/p>

其中m→∞，證明得

其中m→∞。令，其中維納分布和m是獨(dú)立的，得

其中=D表示等號(hào)兩邊函數(shù)分布相同。{W(t)} 和{W(t)} 是2個(gè)相互獨(dú)立的維納過(guò)程，由

和

其中0 ≤t＜∞, →D表示依分布收斂。{Wˉ(t)}是一個(gè)維納過(guò)程，可得

結(jié)論得證。

證明 由文獻(xiàn)［15］中定理2，類似得證。

3 后驗(yàn)檢驗(yàn)

令Y1,Y2,…,Ym是隨機(jī)變量觀測(cè)值，考慮均值模型

這里{Xn} 是RCA（1）時(shí)間序列模型。應(yīng)用基于固定數(shù)據(jù)m個(gè)觀測(cè)值的監(jiān)測(cè)程序代替時(shí)間序列模型體系，檢測(cè)平均假設(shè)變化，假設(shè)H0:Δm=0，H1:Δm≠0，k*＜m，構(gòu)造累積和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

其中m→∞，σ?S,m定義在式（8）中。

證明 由引理1和引理2，存在一個(gè)維納過(guò)程{W(t)} ，且v ＞2 時(shí)，有

其中k→∞。因此

其中m→∞，則

其中m→∞。最后，由模型變換可得，其中{B(t)}t∈[0,1]表示布朗橋，類似①的證明，可得②也成立。

定理4 令{Xn} 表示滿足式（1）中的條件（i）和（ii）的RCA（1）時(shí)間序列，存在k ＞2，使得E|e1|k ＜∞和E|φ+b1|k ＜1，有

證明 令k?=m+k*，其中k*表示變點(diǎn)發(fā)生的時(shí)刻，由式（22）的累積和統(tǒng)計(jì)量的假設(shè)

4 模擬計(jì)算

4.1 模型檢驗(yàn)?zāi)M

應(yīng)用python軟件對(duì)模型進(jìn)行數(shù)據(jù)模擬檢驗(yàn)，主要通過(guò)檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量經(jīng)驗(yàn)水平、檢驗(yàn)的勢(shì)和平均運(yùn)行長(zhǎng)度來(lái)說(shuō)明模型優(yōu)越性。表1是用5 000個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的歷史樣本和10 000個(gè)檢測(cè)樣本經(jīng)過(guò)10 000次循環(huán)得到的部分臨界值表cα(γ)?；谶吔绾瘮?shù)

表1 不同的檢驗(yàn)水平α 和γ 的臨界值

令參數(shù)γ=0.00、0.15、0.25、0.35、0.45、0.49，顯著性水平α=0.01、0.025、0.05、0.1、0.25，可以由公式得到對(duì)于不同的檢驗(yàn)水平α和γ的臨界值，如表1所示。

表2是由定理1經(jīng)過(guò)2 500次模擬得到的經(jīng)驗(yàn)水平。采用數(shù)據(jù)生成模型Xn=(φ+bn)Xn-1+en（n∈Z），其中φ=0,w2=0.5,σ2=0.5。取歷史樣本量m=200、500，并且令窗寬參數(shù)h=0.0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5，邊界函數(shù)中參數(shù)γ=0.00、0.25、0.45，檢驗(yàn)水平α=0.05，檢測(cè)樣本量q=m,q=2m,q=4m。由表2可以看出，當(dāng)歷史樣本量m和窗寬h不變時(shí)，檢測(cè)樣本量q和參數(shù)γ在逐漸增大的時(shí)候檢驗(yàn)勢(shì)也在逐漸增大，即誤報(bào)率在逐漸增大。當(dāng)歷史樣本數(shù)據(jù)m在逐漸增大時(shí)，保持其他3個(gè)變量相同時(shí)的經(jīng)驗(yàn)水平值基本呈現(xiàn)減少趨勢(shì)。當(dāng)γ=0.25，m=200，q=m，h=0.4；γ=0.25，m=500，q=2m，h=0.5 和γ=0.45，m=500，q=4m，h=0 時(shí)，統(tǒng)計(jì)量的模擬值和顯著性水平更接近，但是在其他給定參數(shù)下，兩者有一定的偏差。

表2 經(jīng)驗(yàn)水平

表3和表4分別是檢驗(yàn)勢(shì)和平均運(yùn)行長(zhǎng)度。在數(shù)據(jù)生成模型中取k=0.1q和k=0.5q時(shí)加入變點(diǎn)，將均值在k處由0變到1，測(cè)試監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)量，得到檢驗(yàn)勢(shì)和平均運(yùn)行長(zhǎng)度。取歷史樣本量m=200，監(jiān)測(cè)樣本量q=m，窗寬參數(shù)h=0.0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5，邊界函數(shù)中的參數(shù)γ=0.00、0.25、0.45，比較參數(shù)γ和窗寬h變化時(shí)監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)勢(shì)和平均運(yùn)行長(zhǎng)度變化。由表3 和表4 可以看出，當(dāng)k=0.1q時(shí)，在不同γ和h取值下，檢驗(yàn)勢(shì)基本相同，但是隨著h的增大，平均運(yùn)行長(zhǎng)度有所減小。當(dāng)k=0.5q時(shí)，隨著h的增大，檢驗(yàn)勢(shì)逐漸提高，平均運(yùn)行長(zhǎng)度逐漸減小。故在進(jìn)行變點(diǎn)分析時(shí)，選取合適參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)可以有效降低誤差，提高檢驗(yàn)的準(zhǔn)確性。與不加窗寬參數(shù)h原模型進(jìn)行對(duì)比分析，加入窗寬參數(shù)后效果更顯著。

表3 檢驗(yàn)勢(shì)

表4 平均運(yùn)行長(zhǎng)度

由表1～4綜合分析可得，引進(jìn)窗寬參數(shù)以后，能夠調(diào)整監(jiān)測(cè)起始時(shí)刻，提高檢驗(yàn)勢(shì)，縮短平均運(yùn)行長(zhǎng)度，特別是在變點(diǎn)出現(xiàn)較晚時(shí)，效果更加顯著。在進(jìn)行變點(diǎn)實(shí)際分析時(shí)，可根據(jù)變點(diǎn)與監(jiān)測(cè)起始時(shí)刻距離選取合適γ和h。

表1～4中參數(shù)α,γ,h選取受監(jiān)測(cè)樣本量和歷史樣本量影響而會(huì)有所不同。如文獻(xiàn)［7］所給邊界函數(shù)以及參數(shù)γ取值接近于0時(shí)，監(jiān)測(cè)方法過(guò)于保守，使得監(jiān)測(cè)樣本量相對(duì)較小時(shí)，會(huì)降低監(jiān)測(cè)功效。實(shí)際變點(diǎn)監(jiān)測(cè)問(wèn)題中，監(jiān)測(cè)過(guò)程遲早要結(jié)束，所以當(dāng)監(jiān)測(cè)樣本量相對(duì)于歷史樣本量較小時(shí)，可取較大γ值，反之可取較小γ值，從而使經(jīng)驗(yàn)水平接近于給定檢驗(yàn)水平。

4.2 后驗(yàn)檢驗(yàn)?zāi)M

由于模型監(jiān)測(cè)中用到歷史數(shù)據(jù)，即監(jiān)測(cè)中前m個(gè)數(shù)據(jù)是給定的，由上面對(duì)經(jīng)驗(yàn)水平表、檢驗(yàn)勢(shì)和平均運(yùn)行長(zhǎng)度分析可知，歷史樣本量m對(duì)檢測(cè)結(jié)果有重要影響，并且前m個(gè)歷史數(shù)據(jù)也有存在變點(diǎn)可能，若存在變點(diǎn)則影響更大。故利用python 軟件對(duì)歷史樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，通過(guò)后驗(yàn)檢驗(yàn)判別前m個(gè)歷史樣本是否存在變化。

表5 是基于定理3 經(jīng)過(guò)1 000 次模擬得到的后驗(yàn)檢驗(yàn)表。數(shù)據(jù)生成采用模型1 ≤n≤m。取歷史樣本量m=200、500，并且令窗寬參數(shù)h=0.0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5，邊界函數(shù)中的參數(shù)γ=0.00、0.25、0.45。

表5 后驗(yàn)檢驗(yàn)勢(shì)

由表5可以看出，當(dāng)歷史樣本量m和參數(shù)γ固定時(shí)，檢驗(yàn)勢(shì)隨著窗寬參數(shù)h增大逐漸增大。當(dāng)歷史樣本量m和窗寬參數(shù)h固定時(shí)，檢驗(yàn)勢(shì)隨著參數(shù)γ的增大逐漸增大。但當(dāng)窗寬參數(shù)h和參數(shù)γ固定時(shí)，檢驗(yàn)勢(shì)隨著歷史樣本量m的增大呈現(xiàn)增大或者減小變化。并且當(dāng)γ=0.45,m=200,h=0.3 和γ=0.45,m=500,h=0.3 時(shí)，統(tǒng)計(jì)量的模擬值和顯著水平更為接近。綜上，給定不同的參數(shù)值對(duì)分析結(jié)果有一定影響，并且本次模擬給定的前m個(gè)歷史樣本數(shù)據(jù)基本符合要求，可有效降低原模型檢驗(yàn)錯(cuò)誤率。故對(duì)于此類模型檢驗(yàn)問(wèn)題，可通過(guò)進(jìn)行后驗(yàn)檢驗(yàn)判斷歷史數(shù)據(jù)穩(wěn)定性，以提高模型檢驗(yàn)準(zhǔn)確度。

5 結(jié)論

本文給出改進(jìn)變點(diǎn)監(jiān)測(cè)方法，用于RCA（1）時(shí)間序列模型均值變點(diǎn)監(jiān)測(cè)。通過(guò)在模型中引入窗寬參數(shù)，用來(lái)調(diào)整監(jiān)測(cè)起始時(shí)刻，以此來(lái)提高變點(diǎn)分析檢驗(yàn)勢(shì)，縮短監(jiān)測(cè)平均運(yùn)行時(shí)間。給出監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)和備擇假設(shè)下的極限分布以及其后驗(yàn)檢驗(yàn)，并對(duì)極限分布和后驗(yàn)檢驗(yàn)進(jìn)行證明，得出極限分布的一致性。數(shù)據(jù)模擬結(jié)果表明，可根據(jù)變點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)刻與監(jiān)測(cè)起始時(shí)刻遠(yuǎn)近選取適當(dāng)窗寬參數(shù)，以縮短平均運(yùn)行長(zhǎng)度，達(dá)到更有效的檢驗(yàn)效果，并通過(guò)后驗(yàn)檢驗(yàn)對(duì)歷史樣本數(shù)據(jù)穩(wěn)定性進(jìn)行分析，以提高模型檢驗(yàn)準(zhǔn)確性。