王麗兵

一、教材與學情分析

本拓展內容為探尋組合數(shù)列規(guī)律的相關知識。從教材的角度看，數(shù)列規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與表達，實質就是一個數(shù)學思維建模的過程，有著獨特的課程開發(fā)價值。如何有效激發(fā)學生的直覺思維，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和表達規(guī)律的能力，一直是小學數(shù)學課堂教學的重點之一。

從學生角度看，他們已在人教版教材一年級上冊學習過“找規(guī)律”的相關內容，在日常學習中也頻繁接觸與數(shù)學規(guī)律和模型思想相關的知識內容?；诖?，筆者對一道題目進行重組與設計，將其開發(fā)成一節(jié)課，力求開創(chuàng)既有難易梯度，又有一定思維發(fā)展的數(shù)學拓展課，努力嘗試走出一條“一題成課”的數(shù)學拓展課例開發(fā)新路徑。

二、適合年級

適合三、四年級。

三、教學目標

（1）能夠掌握相應數(shù)列中存在的數(shù)學規(guī)律，并能夠應用所學規(guī)律，準確判斷某個數(shù)在數(shù)列中具體所處的位置，且能夠確定某一位置上的數(shù)值。

（2）通過對數(shù)列的觀察、猜想和驗證，經(jīng)歷數(shù)列規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程，掌握發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的方法。

（3）培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力，發(fā)展數(shù)感。

四、教學過程

（一）教學引入：直覺思維，初感規(guī)律

（教師直接出示課題——探尋數(shù)列中的規(guī)律，并讓學生齊讀課題）

師：讀了這個課題之后，你知道了什么？

生：我知道今天我們要尋找規(guī)律。

生：我知道今天我們要研究數(shù)列。

（教師出示題目，如圖1）

師：仔細閱讀上面的文字、圖表，你看懂了什么？有什么問題？

生：從表格看，每組數(shù)列前后兩個數(shù)之間都相差3。

生：這是三組等差數(shù)列的組合，感覺它們都和3有關系。

師：根據(jù)這些信息，大家能夠提出什么數(shù)學問題？

生：它們各自有什么規(guī)律？

生：a、b、c三條數(shù)軸上的第100個數(shù)各是幾？

生：我想知道，1000應該在哪一條數(shù)軸上？有沒有能快速判斷的方法？

【設計意圖】通過引導學生對學習材料進行觀察和自主提問，一方面幫助學生加深對圖形中a、b、c三條數(shù)軸和表格中的各組數(shù)列排列的了解，另一方面培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，為課堂后續(xù)的學習與討論生成學習資源。

（二）展開教學：舉一反三，表征規(guī)律

1.猜想規(guī)律

師：整體觀察這三條數(shù)軸，你覺得哪一條數(shù)軸的規(guī)律最為明顯？

生：c軸。因為它上面的數(shù)一目了然，都是3的倍數(shù)。

生：我也認為是c軸。它前后相鄰的兩個數(shù)，依次相差3。

小結：看來c軸上的規(guī)律一目了然，大家的觀點一致。

（教師板書：都是3的倍數(shù)，相鄰兩數(shù)依次相差3）

2.驗證規(guī)律

師：按這樣的規(guī)律，c軸上12后面的數(shù)是幾？

生（齊說）：15。

師：你們是怎么知道的？為什么不是18或24呢？

生：因為 12+3=15，所以12后面的數(shù)是15。

生：因為5×3=15，所以12的后面必定是15。

師：這里的“5”表示什么意思？

生：這個“5”表示第5個數(shù)，或者序號數(shù)。

師：那如果是18呢？24呢？它們分別是第幾個數(shù)？

生：18是c軸上的第6個數(shù)，24是第8個數(shù)。

師：看來，c軸上的數(shù)不僅和3有關，還和它所處的序號位置有關系。

（教師板書：序號數(shù)×3=c軸上的數(shù)；c軸上的數(shù)÷3=序號數(shù)）

師：剛才有同學提問，想知道c軸上的第100個數(shù)是幾，大家能回答嗎？

生（齊說）：100×3=300。

【設計意圖】設計本環(huán)節(jié)的目的是先舉一再反三。師生從規(guī)律最明顯、最容易發(fā)現(xiàn)的c軸數(shù)列入手進行猜想與驗證，全面梳理和滲透數(shù)列研究的方向與方法，以便為后續(xù)更復雜數(shù)列規(guī)律的探尋，提供認知經(jīng)驗及方法策略上的支持，也為學生的自主探究夯實能力基礎。

3.活動探究

師：剛才我們通過整體觀察、猜想規(guī)律和舉例驗證，對c軸上的數(shù)進行了研究。憑借學到的觀察數(shù)列的本領和方法，我們接著來研究a軸和b軸上的數(shù)，看看它們有沒有規(guī)律？有怎樣的規(guī)律？

（教師出示學習任務，讓學生與同桌合作進行探究活動）

學習要求：

選一選：同桌合作，在a軸和b軸中任選一條進行研究。

找一找：用自己喜歡的方式將數(shù)列蘊含的規(guī)律表達出來。

說一說：通過研究你發(fā)現(xiàn)了什么，嘗試寫出后面幾個數(shù)。

（學生完成活動探究之后，進行教學反饋）

（1）a軸上數(shù)探究活動的教學反饋

生：a軸上前后兩個數(shù)也依次相差3，但0除外。

生：a軸上的數(shù)也和它所處的位置（序號數(shù)）有關，我發(fā)現(xiàn)序號數(shù)×3-2= a軸上的數(shù)，（a軸上的數(shù)+2）÷3=序號數(shù)。（教師順勢板書規(guī)律）

生：a軸上第100個數(shù)應該是298，因為100×3-2=298。

師：這么有價值的發(fā)現(xiàn)，大家是怎么做到的？

生：我們根據(jù)剛才研究c軸時發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，依葫蘆畫瓢找出來的。

師：看來，同學們已經(jīng)能學以致用了，了不起！

（2）b軸上數(shù)探究活動的教學反饋

生：b軸上的數(shù)，除0外，也是前后依次相差3。

生：序號數(shù)×3-1= c軸上的數(shù)，（b軸上的數(shù)+1）÷3=序號數(shù)。（教師順勢板書規(guī)律）

生：b軸上第100個數(shù)應該是299，因為100×3-1=299。

師：同學們不僅能提出問題，還能自己解決問題，真棒！

師：從整體上觀察三條數(shù)軸，它們有什么相同的地方？有什么不同的地方？

生：它們都和3的倍數(shù)有關，除0外，每條數(shù)軸上相鄰的兩個數(shù)都相差3。

生：a軸上的數(shù)都比c軸上對應位置的數(shù)少2，b軸上的數(shù)都比c軸上對應位置的數(shù)少1。

生：我發(fā)現(xiàn)三條數(shù)軸上的數(shù)以三個數(shù)為一組，呈螺旋形規(guī)律遞增。

師：此話怎講？你能把這個螺旋給我們畫出來嗎？

（學生借助多媒體技術進行板演，如圖2）

師：了不起的發(fā)現(xiàn)！看來將數(shù)與形結合起來，不僅要關注局部，還要學會整體觀察，這樣才能讓我們有新的發(fā)現(xiàn)。

【設計意圖】在任務驅動下，通過同桌合作，有效調動并激發(fā)學生的認知與表達需求，有效增強研究活動成果的個性化與多元化。值得強調的是，本環(huán)節(jié)通過對數(shù)軸與數(shù)列的整體觀察，以數(shù)形結合的形式，將數(shù)列間的聯(lián)系與區(qū)別生動地表征了出來。

（三）練習應用：拓展思維，創(chuàng)造規(guī)律

1.基礎練習

（教師出示題目）

下列各數(shù)在哪一條數(shù)軸上？分別是第幾個數(shù)？

24? ? ? 49? ? ?50? ? ? 57? ? ?983

（讓學生獨立完成練習，全班進行教學反饋）

師：課前也有同學問，想知道1000在哪條數(shù)軸上，現(xiàn)在大家能判斷了嗎？

生：因為1000=333×3+1，所以它應該是a軸上第334個數(shù)。

生：根據(jù)研究a軸時發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，（1000+2）÷3=334，也可以判定它是a軸上第334個數(shù)。

2.思維拓展

師：大家還有什么疑問？為什么我們觀察發(fā)現(xiàn)的規(guī)律會和“3”有關呢？

生：可能和這個組合數(shù)軸的形狀有關。

師：如果改變數(shù)軸的數(shù)量和圖形的形狀，數(shù)軸的規(guī)律會發(fā)生什么變化？具體可以如何改變？請你嘗試自主設計看一看。

（讓學生嘗試設計組合數(shù)軸，全班交流反饋，學生設計如圖3所示）

師：這些圖形分別又和哪個數(shù)有關系呢？你還能設計出不一樣的數(shù)列嗎？（全課小結）

【設計意圖】對開放性的拓展問題的思考，不僅打破了學生原先在課堂中所形成的固有思維，而且通過創(chuàng)造性的設計活動，拓展了學生的思維空間，滿足了不同思維層次學生的需求，有助于促進學生知識的結構化。

五、教學反思

（一）把“一題”學透

1.聚焦學生疑問，以學定教

“以學定教，學為中心”是當前課堂教學的主流趨勢，無論是基礎性課程，還是拓展性課程，都需要在日常教學中落實這一生本理念。基于此，筆者在教學引入階段引導學生根據(jù)學習材料提出問題，并將這些問題進行梳理排列，使其成為課堂教學的依據(jù)和學習路徑。這樣不僅充分尊重了學生的主體地位，體現(xiàn)以學定教，還使教學重點圍繞學生的疑難點展開。

2.強化多元表征，深化認知

面對同一數(shù)列，不同學生觀察的角度不同，就會產生不同的觀察結果。

（1）局部與整體的角度差異

無論是哪一條數(shù)軸上的數(shù)列，從局部觀察得到的規(guī)律，與將其放在整體之中觀察得到的規(guī)律有著較為明顯的區(qū)別。如以1000這個數(shù)為例，如果在a軸進行局部觀察，那么它的位置就可以描述成（1000+2）÷3=334，即除0外，它是a軸上第334個數(shù)。如果從圖形的整體觀察，那么最接近1000的3的倍數(shù)是999（333×3），這意味著999這個數(shù)是c軸上第333個數(shù)，按照數(shù)的排列順序，1000應是a軸上第334個數(shù)。因此，雖然觀察數(shù)列的角度不同，但規(guī)律是相同的。

（2）順向思維與逆向思維的互譯

學生對某個規(guī)律的理解與掌握程度如何，一個比較顯性的標志就是看他是否能熟練地進行順向思維與逆向思維的互譯轉化。具體來講，就是學生不僅要能根據(jù)自主發(fā)現(xiàn)的數(shù)列規(guī)律，熟練地判斷某一個數(shù)所處的具體位置，還要能根據(jù)某個具體位置，推斷出位置上的數(shù)。如判斷100在哪一條數(shù)軸上，就屬于順向思維；而判斷a、b、c三條數(shù)軸上的第100個數(shù)分別是幾，就屬于逆向思維。思維的方向不同，掌握規(guī)律的難易程度也會有所不同。只有當學生能在兩者之間熟練地進行轉化時，才說明學生在知識技能的理解與掌握方面已經(jīng)較為全面與透徹。

（3）數(shù)據(jù)與圖形之間的相互溝通

數(shù)學家斯蒂恩曾說：如果一個特定的問題可以轉化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法。圖形規(guī)律的表征和描述也是這樣一個道理，當學生感悟到數(shù)列整體呈現(xiàn)出螺旋狀的排列規(guī)律時，也就意味著學生從整體上把握了各組數(shù)列之間的變化規(guī)律。

（二）把“一題”學厚

1.構筑明暗兩條序列

從本內容教學來看，筆者安排了兩條線索推動教學的有序發(fā)展。一條是由易到難的知識明線，另一條是學生自主提問的暗線。從知識明線看，師生從規(guī)律最明顯的c軸入手，逐漸遷移至規(guī)律較為復雜的a軸和b軸，體現(xiàn)了學生探索的難易層次。從學生自主提問的暗線看，教學隨著學生自主提出的問題系列逐次展開，體現(xiàn)由特殊到一般、由簡單到復雜的梯度變化。因此，借助多維度的教學序列，可以有效增強教學的層次感和設計感。

2.運用多種學習方法

從學習方法來看，本內容先通過對數(shù)列規(guī)律的猜想，激發(fā)學生的直覺思維，讓學生初步感知規(guī)律，再通過同桌合作探究，引導學生借助“整體觀察、規(guī)律猜想、舉例驗證”，由點及面，實現(xiàn)數(shù)列規(guī)律的多元表征。

3.滲透多元數(shù)學思想

一節(jié)數(shù)學課的厚度，既可以體現(xiàn)在知識內容的豐富性上，也可以體現(xiàn)在它所承載的數(shù)學思想方法上。基于此，筆者在開展本內容教學時，努力賦予課堂教學豐富的數(shù)學思想方法。既有數(shù)感的培養(yǎng)，又滲透數(shù)形結合思想、模型思想、歸納與推理的思想等?？傊嘣臄?shù)學思想方法，使得本內容的教學層次鮮明、內涵豐富。

（三）把“一題”學活

教師如何將教學內容教活，讓學生學活，關鍵是要在涉及學生思維培養(yǎng)的關鍵問題上下功夫，要努力通過一節(jié)課達到一類課的教學目的和效果。如本內容教學中，教師通過一個關鍵問題“為什么我們觀察發(fā)現(xiàn)的規(guī)律會和‘3有關”，打破學生的認知共識，促使他們向更廣闊的思維空間探尋，從而實現(xiàn)上限不封頂?shù)拈_放式教學效果。

總之，嘗試將“一題”開發(fā)成一節(jié)數(shù)學拓展課，目的不在于解決這個題目，而是以這“一題”為載體，開發(fā)數(shù)學拓展課的新樣態(tài)。

（浙江省杭州市競舟小學）