谷紅亮

(銀川市第六中學(xué),寧夏回族自治區(qū) 銀川 750011)

“蒙日?qǐng)A”曾出現(xiàn)于2014年廣東卷,隨后在各省份的?？碱}中以此為背景被反復(fù)創(chuàng)新.本文以“蒙日?qǐng)A”為背景的一道試題為例進(jìn)行探究,呈現(xiàn)出了問(wèn)題的分析路徑,進(jìn)而探索找到了涉及該問(wèn)題的試題特點(diǎn),如定點(diǎn)問(wèn)題、三點(diǎn)共線問(wèn)題及面積范圍問(wèn)題等,希望起到拋磚引玉的作用.

1 題目呈現(xiàn)

表面平平無(wú)奇的題目,仔細(xì)思考可以發(fā)現(xiàn)其中豐富的內(nèi)涵.初看題目是一個(gè)存在性問(wèn)題,涉及了圓的知識(shí)、橢圓的切線等,但是該題的題眼是“兩條切線相互垂直”,所以需要進(jìn)一步思考如何利用這一條件才能順利解決該題目[1].下面從橢圓的切線方程談起.

2 橢圓切線方程問(wèn)題

2.1 橢圓上某點(diǎn)處的切線方程

此時(shí)點(diǎn)P(x0,y0)處的切線斜率為

2.2 切點(diǎn)弦方程

又直線PA,PB均過(guò)點(diǎn)P(x0,y0),代入得

運(yùn)用橢圓的切點(diǎn)弦方程,可以擴(kuò)展出兩種題型——定點(diǎn)問(wèn)題和三點(diǎn)共線問(wèn)題.

則lAB:3mx+4(m+1)y-12=0.

整理,得m(3x+4y)+4y-12=0.

所以直線AB過(guò)定點(diǎn)(-4,3).

所以O(shè),M,P三點(diǎn)共線,也即OP平分弦AB.

3 蒙日?qǐng)A

又PA⊥PB,所以kPA·kPB=-1.

綜上所述,點(diǎn)P的軌跡為圓x2+y2=a2+b2.

4 以“蒙日?qǐng)A”為背景的面積問(wèn)題

又點(diǎn)P(x0,y0)到直線AB距離為

本文對(duì)以“蒙日?qǐng)A”為背景的模考題進(jìn)行了解題分析和思考探究,希望學(xué)生能夠?qū)W會(huì)分析題目,教師能夠在已知的題目下,引導(dǎo)學(xué)生多加思考,真正做到舉一反三.此過(guò)程可以很好地鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,從而跳出“題海戰(zhàn)術(shù)”的怪圈,適應(yīng)新高考對(duì)考生的要求.