劉 鑫

(瑞金第一中學(xué))

一、原題呈現(xiàn)與改編

(1)原題呈現(xiàn)

圖1

(1)第一次碰撞后瞬間小球和圓盤的速度大小;

(2)在第一次碰撞到第二次碰撞之間,小球和圓盤間的最遠(yuǎn)距離;

(3)圓盤在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)過程中,小球與圓盤碰撞的次數(shù)。

(2)試題改編

第(3)問因涉及連續(xù)碰撞而難度陡增。這顯然是為了確保頂尖名校選才所必需的區(qū)分度和服務(wù)科學(xué)選才量身打造的,對(duì)特尖生而言,它的重要性不言而喻。截至目前,關(guān)于原題解法的討論已經(jīng)很多了。前人之述備矣!為了得到更多、更詳盡的信息,本文接下來僅針對(duì)第(3)問對(duì)原題進(jìn)行改編。

情景、碰撞類型、質(zhì)量關(guān)系和設(shè)問等均不變,只改一個(gè)條件——“圓盤滑動(dòng)摩擦力與其所受重力大小相等(即Ff=Mg=3mg)”,更改為“Ff=kMg=3kmg”,即用一個(gè)無量綱的系數(shù)k對(duì)圓盤滑動(dòng)摩擦力的大小做一般化的處理,再來求解第(3)問。

二、改編試題分析、解答和拓展

(1)改編試題分析

k取不同的值,薄圓盤的受力、運(yùn)動(dòng)情況將發(fā)生改變?？梢圆扇∠纫缀箅y、逐個(gè)擊破的策略,把k分區(qū)間,然后逐一去討論、研究。同時(shí),轉(zhuǎn)換參考系可以迅速地得出一些重要結(jié)論;研究系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)可以避開逐次處理各次碰撞的煩瑣運(yùn)算。這些都將在很大程度上簡(jiǎn)化解答,便于得出碰撞次數(shù)n與k的關(guān)系。

(2)改編試題解答

管內(nèi)不發(fā)生碰撞,因此碰撞次數(shù)n=0。證明較易,從略。

選擇豎直向下為正方向(此后不再贅述)。對(duì)薄圓盤,由牛頓第二定律有

a=(1-k)g

(1)

第一次碰撞時(shí)

發(fā)生第一次碰撞前瞬間,小球和薄圓盤的速度分別為

以薄圓盤為參考系,因它除碰撞瞬間外均向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng),所以是非慣性參考系,牛頓運(yùn)動(dòng)定律經(jīng)修正后方可使用。相對(duì)薄圓盤,除碰撞瞬間外,小球均做加速度為(g-a)的勻變速直線運(yùn)動(dòng)。同時(shí),碰撞均為彈性碰撞(即恢復(fù)系數(shù)為“1”,兩者碰前瞬間的接近速度等于碰后瞬間的分離速度),結(jié)合豎直上拋運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性,從第一次開始推算,發(fā)現(xiàn)每次碰撞前小球總是以v0撞下來,碰撞后它又以v0反彈上去。因此,任意相鄰兩次碰撞的時(shí)間間隔恒為

以小球釋放瞬間作為計(jì)時(shí)起點(diǎn),以圓管的上端口作為坐標(biāo)原點(diǎn),由質(zhì)心的定義,系統(tǒng)質(zhì)心初始位置

因合外力恒定,系統(tǒng)質(zhì)心向下做初速度為零、加速度為ac的勻加速直線運(yùn)動(dòng)

4mg-3kmg=4mac

值得指出的是,ac并不受碰撞內(nèi)力的影響。在M沖出圓管前,發(fā)生第n次碰撞時(shí)(薄圓盤、小球以及系統(tǒng)質(zhì)心三者重合),運(yùn)動(dòng)時(shí)間和質(zhì)心位移分別為

臨界條件滿足如下關(guān)系

(11)

參照②的分析,任意相鄰兩次碰撞的時(shí)間間隔恒為

考慮到薄圓盤摩擦力的突變,為方便計(jì)算,把薄圓盤的初始位置作為坐標(biāo)原點(diǎn),把小球與薄圓盤首次碰撞的瞬間作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。接下來具體的做法同②。這里直接給出結(jié)果。

(16)

經(jīng)過分子有理化

4.89

由前面的討論可知,薄圓盤不會(huì)自發(fā)地下滑,而且在第二次碰撞之前已停下可被小球撞擊。從第一次碰后開始到第二次碰撞前,薄圓盤向下運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和位移分別為

設(shè)小球第二次與薄圓盤前碰的速度為vt則有

由相遇條件(位移相等)

整理上式可得

整理得

同理,小球再次碰撞薄圓盤時(shí),薄圓盤第二段位移

因此,兩段位移之比

而a=(1-k)g,代入(26)式得

值得一提的是:如果第二次碰前薄圓盤已停下。那么,此后每次均是如此。這個(gè)結(jié)論可以用歸納法來證明。即證明:假設(shè)第k次碰后分開,第k+1次碰前薄圓盤已停下。那么,第k+1次碰后分開,第k+2次碰前薄圓盤已停下。設(shè)第k+1次碰前(按假設(shè)薄圓盤已停下),小球向下的速度為vk;第k+2次碰前小球向下(對(duì)地)的速度為vk+1。第k+1次碰后薄圓盤向下運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(按假設(shè),第k+1次碰撞屬“一動(dòng)碰一靜”模型,借鑒原題第一問,計(jì)算較簡(jiǎn)單,此處略)

對(duì)小球

薄圓盤相鄰兩次的位移之比q為與具體的速度無關(guān)的定值,所以薄圓盤每次向下滑行距離yi是等比數(shù)列,求和

(32)

(3)改編試題拓展

三、軟件系統(tǒng)仿真

為了檢驗(yàn)理論分析的正確性,筆者還借助matlab軟件,畫出了碰撞次數(shù)n與k的分段函數(shù)圖像,如圖2。圖像顯示的規(guī)律與本文的理論研究吻合得相當(dāng)之好,證明本文的理論分析完全正確。

圖2

四、總結(jié)和展望