北京市昌平區(qū)第一中學(xué) 劉克光

北京市昌平區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 高麗娟

一、問(wèn)題的提出

中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系確立了“一核”“四層”“四翼”的整體框架，回答了“為什么考”“考什么”“怎么考”的問(wèn)題，并指出：素質(zhì)教育的突出特征之一是對(duì)創(chuàng)新性的強(qiáng)調(diào)。發(fā)散思維、逆向思維、批判性思維等思維品質(zhì)是創(chuàng)新思維的重要特征。因此，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力是我們教育的核心任務(wù)。在高三復(fù)習(xí)課中，筆者始終堅(jiān)持把學(xué)生創(chuàng)新思維能力培養(yǎng)放在首位，針對(duì)學(xué)情創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生在探究中創(chuàng)新，在創(chuàng)新中繼續(xù)探究，把創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)融入具體教學(xué)活動(dòng)中，讓問(wèn)題解決內(nèi)化在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中。下面以“直線與橢圓的位置關(guān)系中角的轉(zhuǎn)化策略”單元設(shè)計(jì)為例說(shuō)明。

二、通過(guò)單元整體教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神

（一）深入研究學(xué)情，發(fā)現(xiàn)學(xué)生真問(wèn)題

在高三第二輪復(fù)習(xí)中，筆者發(fā)現(xiàn)“角的關(guān)系”問(wèn)題是當(dāng)前學(xué)生解析幾何復(fù)習(xí)中的突出弱項(xiàng)。

主要表現(xiàn)為四個(gè)方面：一是不能準(zhǔn)確理解題意，理不清圖形變化規(guī)律以及參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)；二是轉(zhuǎn)化意識(shí)不強(qiáng)，不能準(zhǔn)確完成幾何條件代數(shù)化；三是字母運(yùn)算能力太弱，達(dá)不到所建構(gòu)模型的運(yùn)算水平；四是解題思路單一，不能迅速建構(gòu)簡(jiǎn)捷算法。因此，筆者設(shè)計(jì)了關(guān)于“角的轉(zhuǎn)化策略”的教學(xué)單元，取得了良好的教學(xué)效果。

（二）單元教學(xué)目標(biāo)

（1）通過(guò)實(shí)例探究，學(xué)會(huì)從幾何與代數(shù)的雙重視角，解決含有參數(shù)的直線與橢圓的位置關(guān)系中角的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，能正確畫圖、識(shí)圖，能合理轉(zhuǎn)化與規(guī)范表述相應(yīng)問(wèn)題。

（2）通過(guò)對(duì)含有參數(shù)的直線與橢圓的位置關(guān)系中角的轉(zhuǎn)化問(wèn)題的探究過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，提升邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新能力等關(guān)鍵能力，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理素養(yǎng)。

（3）通過(guò)自主探究與小組交流的展示活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)開(kāi)放性問(wèn)題，提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。

（三）單元教學(xué)設(shè)計(jì)

依照課標(biāo)要求與學(xué)情分析，本單元設(shè)計(jì)為3課時(shí)。

第1課時(shí)：直線與橢圓的位置關(guān)系中的基本運(yùn)算（夯實(shí)基礎(chǔ)）

以2021年西城區(qū)期末、2022年石景山區(qū)一模中的解析幾何解答題為母題，拓展探究弦長(zhǎng)、垂直、定點(diǎn)等基本問(wèn)題。培養(yǎng)化歸與轉(zhuǎn)化思想，提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

第2課時(shí)：直線與橢圓的位置關(guān)系中的角的轉(zhuǎn)化策略（1）（本節(jié)課）

以高三一模解析幾何解答題為母題，關(guān)聯(lián)“兩角的二倍關(guān)系”與“兩角互余”問(wèn)題，從建構(gòu)線段長(zhǎng)度、直線斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)、平面向量、三角函數(shù)等不同視角，拓展探究角的轉(zhuǎn)化策略。提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象素養(yǎng)，發(fā)展批判性思維與發(fā)散思維能力。

第3課時(shí)：直線與橢圓的位置關(guān)系中的角的轉(zhuǎn)化策略（2）（思維拓展）

關(guān)聯(lián)2015年高考理科、2019年西城區(qū)期末、2017年西城區(qū)理科試卷中的解析幾何解答題，從建構(gòu)線段長(zhǎng)度、直線斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)、平面向量、三角函數(shù)等不同視角，拓展探究角的轉(zhuǎn)化策略。提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理素養(yǎng)，發(fā)展批判性思維與發(fā)散思維能力。

三、深研試題，優(yōu)化課堂探究活動(dòng)，提升關(guān)鍵能力

（一）培養(yǎng)數(shù)學(xué)閱讀理解能力和信息整理能力

信息整理能力是指在對(duì)大量、無(wú)序的信息進(jìn)行篩選、分類、歸納并形成新的意義的過(guò)程中所需要的多種能力，這是創(chuàng)新解決問(wèn)題的重要能力。閱讀理解能力是理解用漢字描述的數(shù)學(xué)定義、定理以及理解相應(yīng)的符號(hào)與圖形語(yǔ)言。數(shù)學(xué)思維以數(shù)和形為思維對(duì)象，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)為載體，以認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目標(biāo)。圖形語(yǔ)言著重展示圖形中各元素之間相對(duì)位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，需要考生讀圖、識(shí)圖或者繪制圖形，要能對(duì)圖形進(jìn)行加工、整理，抽象其中包含的解題關(guān)鍵信息。

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線y＝kx+m（km≠0）與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，線段AB的垂直平分線與AB交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。如果∠MOP＝2∠MNP成立，求k的值。

學(xué)生的典型錯(cuò)誤是不能恰當(dāng)處理?xiàng)l件“∠MOP＝2∠MNP”，建立關(guān)于斜率k的方程，把幾何問(wèn)題恰當(dāng)轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，并完成相關(guān)計(jì)算。

教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀題、審題，畫出有代表性的圖形（如圖1），認(rèn)真觀察圖形，確定點(diǎn)M、N、P的坐標(biāo)。教師提出審題三問(wèn)。

圖1

1．看條件，可以得到什么？（理解參數(shù)變化規(guī)律，繪制動(dòng)態(tài)圖形，計(jì)算基本數(shù)據(jù)）

2．看結(jié)論，需要什么？（探究圖形變化過(guò)程，厘清問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系）

3．從條件到結(jié)論，如何搭建橋梁？（幾何問(wèn)題代數(shù)化：把兩角的二倍關(guān)系轉(zhuǎn)化為與直線斜率有關(guān)的方程）

（二）發(fā)展批判性思維能力與逆向思維能力

批判性思維能力是指面對(duì)各種問(wèn)題情境，運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行審慎思考、分析推理、評(píng)價(jià)重構(gòu)等，這是學(xué)生解決問(wèn)題的重要能力。在數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，通過(guò)部分已知信息對(duì)結(jié)論進(jìn)行猜測(cè)，通過(guò)邏輯推理驗(yàn)證猜想的探究過(guò)程就是批判性思維的具體體現(xiàn)。在高考中，對(duì)批判性思維考查體現(xiàn)在對(duì)于推理和論證的確認(rèn)、分析、評(píng)價(jià)、展示過(guò)程中的邏輯推理。

高考數(shù)學(xué)解題，首先是正確，運(yùn)用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)、符號(hào)、算式、推理步驟表達(dá)自己的思想。其次是規(guī)范，符合數(shù)學(xué)表達(dá)方式和要求，具有邏輯性和條理性。最后是簡(jiǎn)明，不迂回繞路、不拖泥帶水。語(yǔ)言表達(dá)能力的基礎(chǔ)是邏輯推理、運(yùn)算求解能力、推理論證能力，只有清晰條理的思維，才能有規(guī)范流暢的表達(dá)。

問(wèn)題2：（學(xué)生探究活動(dòng)1：角的轉(zhuǎn)化）結(jié)合圖形分析，如何處理?xiàng)l件∠MOP＝2∠MNP？

教師引導(dǎo)學(xué)生，在學(xué)生自主探究與小組合作交流的基礎(chǔ)上，從不同視角展開(kāi)探究活動(dòng)，通過(guò)學(xué)生展示過(guò)程，糾正學(xué)生在角的轉(zhuǎn)化問(wèn)題上的錯(cuò)誤認(rèn)知，優(yōu)選算法，規(guī)范表達(dá)。

教師指導(dǎo)學(xué)生精細(xì)化閱讀題目，再次提出審題三問(wèn)。

1．兩個(gè)角的位置關(guān)系。（所在的三角形，關(guān)聯(lián)的直線等）

2．如何處理角的“二倍”關(guān)系？如何代數(shù)計(jì)算？如何構(gòu)造“等角”？（相等的角的幾何轉(zhuǎn)化）

3．用代數(shù)方法如何表達(dá)角？（用直線斜率、線段長(zhǎng)度、點(diǎn)的坐標(biāo)等建構(gòu)方程）

教學(xué)片段1：

學(xué)生1：因?yàn)镸P⊥MN，所以以線段PN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)M，圓心為點(diǎn)O。

教師追問(wèn)：圓心在哪里？（未必是點(diǎn)O）。

學(xué)生2：因?yàn)椤螹OP＝2∠MNP，利用同弧所對(duì)圓周角與圓心角的關(guān)系可知，點(diǎn)M、N、P位于以O(shè)為圓心，｜OM｜為半徑的圓周上。

教師追問(wèn)：點(diǎn)P的位置能由條件∠MOP＝2∠MNP確定嗎？

針對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤認(rèn)知，教師提出下列問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生討論，通過(guò)作圖分析，辨明真?zhèn)巍?/p>

（1）因?yàn)镸P⊥MN，所以以線段NP為直徑的圓過(guò)點(diǎn)M，所以｜OP｜＝｜OM｜＝｜ON｜。

（2）因?yàn)椤螹OP＝2∠MNP，所以點(diǎn)M、N、P位于以O(shè)為圓心，｜OM｜為半徑的圓周上，所以｜OP｜＝｜OM｜＝｜ON｜。

通過(guò)學(xué)生課堂探究與交流展示，完成了如下解題策略，并完成了相應(yīng)規(guī)范解答（如表1）。

表1 關(guān)于條件∠MOP＝2∠MNP的不同轉(zhuǎn)化視角

（三）發(fā)展發(fā)散思維與收斂思維能力

類比是一種重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題研究方法與學(xué)習(xí)方法，是一種常用的教學(xué)方法，也是一種發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)造思維的研究策略。教學(xué)的不同階段，學(xué)生運(yùn)用類比的能力各異。數(shù)學(xué)概念與運(yùn)算的抽象性強(qiáng)，學(xué)生不容易理解和掌握，如果教師能通過(guò)新知識(shí)與已有知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆绞?，發(fā)現(xiàn)兩者的異同點(diǎn)，對(duì)新舊知識(shí)的領(lǐng)悟與理解，將大有益處。

問(wèn)題3：（學(xué)生探究活動(dòng)2：落實(shí)轉(zhuǎn)化、規(guī)范運(yùn)算）

把條件“∠MOP＝2∠MNP”換成“∠MNP+∠MOP＝，求k的值。

教師通過(guò)改編題設(shè)條件，引導(dǎo)學(xué)生思考題目條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，弄清楚“等角”與“斜率”“線段長(zhǎng)度”或“點(diǎn)的坐標(biāo)”的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，落實(shí)通法，優(yōu)選算法。

教學(xué)片段2：

在自主探究與小組交流的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生從不同視角分析，展開(kāi)探究活動(dòng)。通過(guò)學(xué)生展示交流，糾正學(xué)生的認(rèn)知錯(cuò)誤，規(guī)范表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生選擇適合自己的方法（設(shè)直線AB與x軸相交于點(diǎn)T，如圖3）。

圖3

學(xué)生3：因?yàn)椤螹NP＝∠MTO，所以tan∠MNP＝tan∠MTO＝kAB。

教師追問(wèn)：tan∠MNP＝kAB？（tan∠MNP＝｜kAB｜）

學(xué)生4：因?yàn)閠an∠MNP·tan∠MOP＝1，所以｜kAB｜·｜kOM｜＝1。

教師追問(wèn)：tan∠MOP＝｜kOM｜？直接表達(dá)不方便時(shí)，可以嘗試換個(gè)角研究。

學(xué)生5：因?yàn)椤螹NP＝∠MTO，∠MOP+∠MOT＝，所以∠MTO＝∠MOT。

教師追問(wèn)：如何用代數(shù)方法表示“∠MTO＝∠MOT”？

學(xué)生6：轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度，因?yàn)椤螹TO＝∠MOT，所以

學(xué)生7：轉(zhuǎn)化為直線斜率，因?yàn)椤螹TO＝∠MOT，所以kAB+kOM＝0。

學(xué)生8：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)椤螹TO＝∠MOT，所以xT＝2xM。

教師引導(dǎo)學(xué)生作圖分析，小組討論，糾正錯(cuò)誤認(rèn)知，得到正確結(jié)論。

在課堂小結(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納與類比，總結(jié)直線與橢圓位置關(guān)系中角的轉(zhuǎn)化策略（如圖4）。

圖4

（四）創(chuàng)設(shè)開(kāi)放性問(wèn)題，發(fā)展創(chuàng)新思維

開(kāi)放性試題由于條件、方法與結(jié)果的不確定性，所以呈現(xiàn)出條件開(kāi)放、過(guò)程開(kāi)放、結(jié)論開(kāi)放等特點(diǎn)，且沒(méi)有唯一固定答案，因此，在教育和評(píng)價(jià)中有特定的功能。開(kāi)放性試題在考查學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性上更為突出。

筆者設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題，作為學(xué)生的課后思考題：

直線y＝kx+m（km≠0）與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，線段AB的垂直平分線與AB交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（如圖5）。

圖5

圖6 學(xué)生GGb軟件作品

圖7 學(xué)生幾何畫板作品

（1）如果∠MOP＝2∠MNP成立，求橢圓C的離心率e的取值范圍；

（2）當(dāng)a＝2時(shí)，認(rèn)真觀察本題圖形，您還可以得到哪些結(jié)論？

第二問(wèn)，學(xué)生得到了以下六個(gè)結(jié)論：

①kAB·kOM＝-；

②△ABN是等腰三角形（NA＝NB）；

③四點(diǎn)M，S，O，P共圓（直徑是PS）；

④四點(diǎn)T，M，O，N共圓（直徑是TN）；

⑤TN⊥PS（先猜后證，看似正確，幾何論證不易，解析法計(jì)算彰顯魅力）；

⑥△TON與△POS相似，且∠OTN＝∠OPS。

作為課堂例題的拓展探究，本題解法靈活，運(yùn)算的復(fù)雜度略有增加，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)條件的加強(qiáng)與減弱，理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)內(nèi)涵，也即解題中適度的“進(jìn)與退”策略，實(shí)現(xiàn)“化未知為已知，化繁為簡(jiǎn)，化難為易”，從而建構(gòu)解題規(guī)范模式。其中，第二問(wèn)開(kāi)放性問(wèn)題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維與聚合思維，考查學(xué)生探究問(wèn)題的敏感度、洞察力與獨(dú)創(chuàng)性。

四、通過(guò)創(chuàng)新課程等方式，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維

“好的數(shù)學(xué)問(wèn)題”是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的重要載體，激發(fā)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維需要精心設(shè)計(jì)問(wèn)題情境。為此，筆者開(kāi)設(shè)了“高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維引領(lǐng)”校本課程，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)文化（數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美學(xué)）、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)軟件（幾何畫板、GeoGebra軟件等）、對(duì)策論（最佳策略）、分形幾何（經(jīng)典曲線）等方面的小專題講座，深化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，開(kāi)闊了學(xué)生的視野。

在函數(shù)復(fù)習(xí)時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)：請(qǐng)用不少于4個(gè)函數(shù)、曲線或者圖形組合，借助GeoGebra、幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件自主設(shè)計(jì)創(chuàng)意Logo。要求上交源文件、成果圖以及創(chuàng)意說(shuō)明。

學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期、漸進(jìn)的過(guò)程，需要教師在教學(xué)的不同階段，采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)模式，通過(guò)建構(gòu)開(kāi)放性課堂，創(chuàng)新問(wèn)題情境，倡導(dǎo)學(xué)以致用理念，優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新精神，發(fā)掘?qū)W生潛能，從而最大限度地提升教學(xué)效率，真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力。