徐曉華 蔣桂平 韓興國 張政潑

摘要：對兩種常用滾珠絲杠支承系統(tǒng)的滾珠絲杠軸承進行分析，采用三折線逼近法推導出滾珠絲杠支承系統(tǒng)滾珠絲杠軸承綜合軸向變形量隨位置和負載變化的雙變量函數關系式，綜合軸向變形量隨位置的變化形態(tài)近似呈開口向下的非對稱弧線形，推導出最大綜合軸向變形量及其位置坐標的計算式。分析和試驗結果表明，隨著滾珠絲杠、軸承兩者最大變形量之比逐漸減小，滾珠絲杠軸承綜合軸向變形量變化形態(tài)趨于平緩，出現(xiàn)最大變形量的位置坐標逐漸沿負載方向離開兩支承跨距的中心。

關鍵詞：滾珠絲杠支承系統(tǒng)；軸向負載；綜合軸向變形；位置坐標

中圖分類號：TG502.1;TH132

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2023.07.009

Analysis and Calculation of Comprehensive Axial Deformations of

Ball Screw-Bearing in Ball Screw Support Units

XU Xiaohua1 JIANG Guiping2 HAN Xingguo1 ZHANG Zhengpo1

1.College of Mechanical and Electrical Engineering，Guilin University of Aerospace Technology，

Guilin，Guangxi，541004

2.Guilin Guanglu Measuring Instrument Co.，Ltd.，Guilin，Guangxi，541213

Abstract： The ball screw-bearing of two kinds of common ball screw support units were analyzed. Using three-broken-line approximation method， the bivariate function of comprehensive axial deformations of ball screw-bearing in ball screw support units was derived with the change of position and load. The comprehensive axial deformations with the change of position was approximately asymmetric arc with the opening downward， and the calculation formula of maximum comprehensive axial deformations and the position coordinate were derived. Analysis and experimental results show that the change form of the comprehensive axial deformations of ball screw-bearing tends to flat while the ratio of maximum deformation between ball screw and bearing decreasing gradually， and the position coordinates of maximum deformation move away gradually from the center of the two supporting spans along the load direction.

Key words： ball screw support unit; axial load; comprehensive axial deformation; position coordinate

0 引言

滾珠絲杠傳動機構是數控機床進給傳動系統(tǒng)的關鍵部分，在負載作用下滾珠絲杠支承系統(tǒng)的軸向變形是影響位置精度的主要部分。

滾珠絲杠支承系統(tǒng)在軸向負載作用下產生的軸向變形量包括絲杠軸向拉壓變形、軸承接觸變形、絲杠螺母接觸變形、絲杠扭轉變形、支承座和螺母座的軸向變形等，其中絲杠和軸向承力軸承（以下簡稱軸承）的軸向變形占總變形的大部分?，F(xiàn)行的絲杠系統(tǒng)軸向變形計算方法主要采用各部分獨立計算和直接疊加的方式計算［1-3］。近年對滾珠絲杠支承系統(tǒng)相關的預拉伸力、軸向變形和精度等進行分析的研究較多，如文獻［4-5］考慮最大負載和溫升作用的滾珠絲杠支承系統(tǒng)預拉伸力，指出了兩端固定絲杠系統(tǒng)受力和變形復雜的相互關聯(lián)性；文獻［6］考慮接觸區(qū)外彈性變形的滾珠絲杠副靜剛度分析，主要研究了一端固定一端浮動的支承形式；文獻［7］研究包括聯(lián)軸器環(huán)節(jié)的滾珠絲杠進給系統(tǒng)靜剛度模型；文獻［8］對滾珠絲杠副主要環(huán)節(jié)進行計算，包括對軸承環(huán)節(jié)的有限元分析；文獻［9］對兩端雙向固定的包括絲杠軸向剛度和絲杠螺母間軸向剛度兩個環(huán)節(jié)的滾珠絲杠副軸向靜剛度進行建模與研究，但沒有包括軸承環(huán)節(jié)。以上研究主要基于各部分變形獨立計算直接疊加的方式。

另外，文獻［10］應用有限元法對兩端雙向固定、一端雙向固定一端浮動兩種支承形式的滾珠絲杠軸承系統(tǒng)進行軸向剛度的分析研究，通過圖線形式給出剛度變化特性；文獻［11］研究了絲杠螺母位于不同位置以及不同的軸向載荷時，滾珠絲杠系統(tǒng)軸向、橫向和扭轉等多種變形對絲杠螺母接觸載荷分布的聯(lián)合影響特性；文獻［12］研究了滾珠絲杠傳動系統(tǒng)軸向和角度方向的振動變形問題；文獻［13］研究了滾珠絲杠傳動系統(tǒng)軸向彈性變形模型，并提出了變形補償方式以提高定位精度。以上研究主要針對一端雙向固定一端浮動支承形式。

實際上，常用的滾珠絲杠支承形式還包括兩端單向固定、一端雙向固定一端單向固定形式，這兩種形式與兩端雙向固定形式需采取預拉伸安裝措施，此時預拉伸力就是軸承的預緊力。通過分析可知，在軸向負載作用下，絲杠軸向拉壓變形、軸承的軸向接觸變形及作用力相互關聯(lián)和影響，絲杠軸承應作為一個整體進行綜合分析。

現(xiàn)有研究都未涉及滾珠絲杠軸承環(huán)節(jié)的綜合軸向變形隨位置坐標和軸向負載變化的函數解析式，以及出現(xiàn)最大綜合軸向變形時的絲杠螺母位置坐標的計算確定方法。本文采用整體描述和綜合分析方法，對滾珠絲杠支承系統(tǒng)滾珠絲杠軸承環(huán)節(jié)的上述分析計算方法展開研究，主要針對文獻基本沒有涉及但卻常用的兩端單向固定、一端雙向固定一端單向固定兩種支承形式。

1 絲杠軸承受力與變形分析

滾珠絲杠旋轉類型的支承形式主要有以下五種：一端雙向固定一端自由、一端雙向固定一端支承（浮動）、兩端單向固定、一端雙向固定一端單向固定、兩端雙向固定，其中后三種都要采取預拉伸安裝方式，使得在絲杠支承系統(tǒng)最大軸向負載和工作溫升情況下，絲杠始終處于受拉狀態(tài)或臨界狀態(tài)。在預拉伸力作用下，第三、四種絲杠支承系統(tǒng)的絲杠軸承受力和變形特性相同，這是因為，第四種支承形式負載指向單向端時比指向雙向端時的剛度相對較弱，且與第三種支承形式相同，而弱方向特性作為代表特性。因此本研究針對兩端單向固定支承形式開展，結論也適用于一端雙向固定一端單向固定支承形式。

通常滾珠絲杠支承系統(tǒng)需綜合考慮最大軸向負載和工作溫升從而確定綜合臨界預拉伸力，當達到工作溫升，進入熱平衡后，綜合臨界預拉伸力即變?yōu)橹豢紤]最大軸向負載時的臨界預拉伸力［4］，因此筆者分析計算絲杠支承系統(tǒng)的軸向變形時，相當于只考慮最大軸向負載時的狀態(tài)。在下文敘述中，筆者主要提及只考慮最大軸向負載的臨界預拉伸力，但實際施加的是綜合預拉伸力。

圖1為數控機床滾珠絲杠兩端單向固定支承形式示意圖。圖2為絲杠支承系統(tǒng)處于預拉伸狀態(tài)但還未作用有軸向負載時的初始狀態(tài)力學模型圖。其中，F(xiàn)s0為只考慮最大軸向負載時的臨界預拉伸力（以下簡稱臨界預拉伸力），F(xiàn)s0=λFm，λ為臨界預拉伸力系數，F(xiàn)m為最大軸向負載。A、B分別表示左、右軸承，L為支承跨距，C表示絲杠螺母，x為絲杠螺母（以下簡稱螺母）位置坐標。在Fs0作用下，絲杠AC段、BC段拉伸變形分別為Δ0AC、Δ0BC，軸承A、B軸向接觸變形為Δ0A、Δ0B。圖3為軸向負載Fa作用下的力學模型圖，Ls為螺母移動的極限行程位置，F(xiàn)A、FB分別為軸承A、B的軸向反力，ΔA、ΔB分別為軸承A、B的軸向接觸變形，ΔAC、ΔBC分別為絲杠AC段、BC段軸向拉伸變形，Δx為螺母C由于絲杠和軸承變形而形成的綜合軸向變形量。由于當Fa不變時絲杠螺母間的軸向接觸變形為恒定［14］，為了便于分析，此項變形不納入本文的滾珠絲杠軸承變形部分。

在實際應用中，可能根據需要采用比臨界預拉伸力略大的預拉伸力，但對分析計算影響較小，因此本研究只考慮按臨界預拉伸力安裝的場合。

根據圖3狀態(tài)的受力平衡，有

FA=FB+Fa（1）

根據圖2、圖3的變形狀態(tài)，有如下變形量平衡方程

Δx=（ΔAC－Δ0AC）+（ΔA－Δ0A）=（Δ0BC－ΔBC）+（Δ0B－ΔB）（2）

在力F作用下，絲杠軸向拉壓變形為［15］Δ=k1xF，式中k1為絲杠的變形因數， k1=1/（SE），S為絲杠截面積（精確分析時按中徑，設計校核時也可按底徑算），E為絲杠材料彈性模量；根據彈性接觸理論，球軸承的軸向接觸變形為［1，4，16］Δ=k2F2/3，k2為軸承軸向接觸變形因數，與軸承的幾何參數和材料特性相關。通常兩端的軸承規(guī)格和數量不一定相同，即兩端的k2不一定相同，但為了簡化分析，可按平均值取值。將絲杠、軸承變形計算式代入式（2），得

結合式（1），整理后得

式（3）、式（4）即為滾珠絲杠支承系統(tǒng)滾珠絲杠軸承綜合軸向變形與位置坐標、軸向負載的關系方程組。原理上可從式（4）中解出FA，再代入式（3）得出以x、Fa為變量的Δx函數表達式，并可采用極值解法求出Δx最大值及相應位置坐標，但由于式（3）、式（4）的指數函數性質，很難求出準確的解析式和相應解。

2 滾珠絲杠軸承綜合軸向變形分析和近似計算

通過考察分析可知，式（3）、式（4）的近似解法可有多種，較為實用的主要有圖線算法和解析式算法。圖線算法是預先將數值代入式（3）、式（4）計算并繪制相應圖線簇而形成的方法，應用計算時，根據實際Fa、x從對應圖線中查出FA，再將相對應的x、FA代入式（3）即可求出Δx。由于圖線簇只能是離散的，因此在實際應用時可能還需采用線性插值法計算。本方法在作圖、查圖取值和插值計算過程都會存在一定的誤差，而且對于每一具體結構參數組都需計算繪制一簇圖線，且不易求解最大變形量，應用不方便。如果能夠建立適用于所有常規(guī)結構參數的近似解析式計算方法將更有利于應用。

考察式（3）、式（4），難以進行方程組解析求解的原因是方程中同時包含有指數項k2F2/3A和k2（FA－Fa）2/3，因此尋求近似解析式計算方法也應從這兩項的近似表達分析著手，并在滿足一定精確程度條件下盡可能簡單。

2.1 指數項的近似表達式

2.1.1 指數項近似表達式的初步推導

根據式（1）、式（2）對應的受力變化關系，F(xiàn)A隨x單調遞減，并有

式中，F(xiàn)Amax、FAmin分別為軸承A的最大、最小軸向反力。

式（5）即FA的變動范圍。為方便分析，同時也不影響精確性，可假定絲杠螺母行程等于支承跨距。令yA=k2F2/3A，圖4給出了yA函數曲線，并以D1D2直線段近似。同時根據式（1）得FA－Fa=FB，并令yB=k2F2/3B，即

根據式（1）、式（5）及臨界預拉伸力的定義，即最大軸向負載下絲杠螺母移動至末端時末端軸承正好不出現(xiàn)間隙，得0≤FB≤λFm，因此FB取值范圍在圖4的OD1段。直接按直線段OD1代替相應的yB曲線段誤差較大，而采用雙折線OD3-D3D1代替則近似程度更好，其中D3位置的選擇有多種方案。根據定性分析，通常出現(xiàn)最大綜合軸向變形時的螺母C位置不出現(xiàn)在靠近兩端的位置，因此，較長的D3D1段更有利于計算。

圖4中D1、D2坐標值為D1（λFm，k2λ2/3F2/3m）、D2（（1+λ）Fm，k2（1+λ）2/3F2/3m），則直線D1D2方程如下：

yA=c1FA+c2（7）

式中，yA為直線D1D2函數值。

如圖4選擇D3的橫向位置坐標，則D3坐標為D3（0.2λFm，0.342k2λ2/3F2/3m），令yB為OD3-

D3D1折線段的函數值，則

分析D1、D2范圍內的函數值差別如下。令ΔyA=yA－yA，則

式中，τA為相對誤差率。

顯然式（9）有最大值。對τA求導并令之為0，得

dτAdFA=c13k2F－23A－2c23k2F－53A=0

將參數c1、c2值代入，求得相應函數最大值時的FA，記為FA1：

為簡便又不失一般性，常規(guī)臨界預拉伸力系數λ按0.55～0.75取值［4-5］。代入式（10）、式（9）得τA最大值，記為τAm，范圍為－2%～-2.9% ，與λ為遞減關系。τAm很小，顯然以直線D1D2近似代替yA曲線段是有效的。參照上述分析方法，式（8）第二式即D1D3段的最大相對誤差率為τBm=－6.8%，同樣τBm很小，可認為近似代替有效。由于OD3段通過原點，無法采用相對誤差率計算評定，后面將采用絕對誤差形式證明其近似有效。

2.1.2 補償修正和最終近似表達式

根據圖4形態(tài)及相對誤差率的分析計算，可對式（7）、式（8）進行補償修正。將式（10）和λ取值范圍代入ΔyA=yA－yA，得到相應的絕對誤差值ΔyAm的范圍為－（0.021～0.027）k2F2/3m。同樣可算出τBm=－6.8%對應的絕對誤差ΔyBm的范圍為－（0.026～0.031）k2F2/3m。由于ΔyAm、ΔyBm范圍相對很小，可按其中間值的1/2作為參考值進行補償搜索優(yōu)化，考慮到各端點的關聯(lián)和相應變化，確認0.01k2F2/3m為整體補償修正的相對最佳值，即端點D1、D2、D3及相應線段整體上移0.01k2F2/3m（圖5），得到更為精確的最終近似表達式：

2.1.3 近似計算誤差

可以驗證，考慮D1、D2、D3點，采用式（11）、式（12）計算的最大相對誤差率τAm范圍縮小為－1.1%～-1.8%，τBm范圍縮小為－4.3%～-4.6%。根據式（3）、式（4）中的近似項構成，并在誤差估算中可認為k1LFA近似等同于k1xFA，將誤差項代入式（3）、式（4）進行代數運算，可得對應OD3段時Δx的最大計算誤差ΔΔxmax為

ΔΔxmax=（ΔyAmax+Δy′Bmax）－ΔyAmax=Δy′Bmax

式中，Δy′Bmax、ΔyAmax分別為OD3、D1D2段近似的最大誤差。

采用極值求解方法，代入λ值范圍，得

ΔΔxmax=Δy′Bmax=－（0.031～0.039）k2F2/3m

由于OD3段絕對誤差比D1D3段絕對誤差要大，因此上述誤差也是Δx的最大絕對誤差。其中k2F2/3m為軸承的最大獨立變形量，從而上述誤差相對于常規(guī)的變形量很小，可滿足正常應用要求，因此OD3段也近似有效。

2.2 絲杠軸承綜合軸向變形的解析計算

整理式（4）、式（11）～式（13）得

式（14）和式（15）即為軸承A軸向反力FA的近似計算表達式，F(xiàn)A與x為遞減關系。將式（14）、式（15）代入式（11），得

將式（16）代入式（3），并整理得

式（17）即為滾珠絲杠支承系統(tǒng)滾珠絲杠軸承綜合軸向變形與螺母位置x的函數關系式。式（17）第五式表示參數v1、v2、v3與變形因數、臨界預拉伸力系數、支承跨距、軸向負載和最大軸向負載都有關系。為便于表達，v1、v2、v3按復合參數形式表示，由式（11）～式（15）、式（17）確定。由于存在兩段取值范圍，Δx隨x的變化呈開口向下的非對稱弧線形。將式（17）轉化為

式（18）即為滾珠絲杠軸承綜合軸向變形Δx與位置x和軸向負載Fa的雙變量函數解析式，wi為復合參數。應用式（18）及復合參數計算式，可以計算某一負載作用下任一位置的滾珠絲杠軸承綜合軸向變形量?？梢宰C明，Δx與Fa為單調遞增關系。

2.3 滾珠絲杠軸承綜合軸向變形最大值及其位置坐標計算

顯然式（17）存在最大值，假設滾珠絲杠支承系統(tǒng)滾珠絲杠軸承對應某一Fa的相對最大綜合軸向變形為Δm時，螺母位置為xm，根據極值求解公式得

由于采用復合參數形式，在進行計算時需聯(lián)合求解式（11）～式（15）、式（17）、式（19） ；在u1、u2、u3中間參數計算中存在式（14）、式（15）兩個值域，根據經驗，通常情況下Δm、xm計算滿足式（14）范圍，可先按式（14）計算和驗證值域。根據式（17）、式（19），Δm與Fa為單調遞增關系。當Fa=Fm時，Δm最大，為絕對最大綜合軸向變形，記為ΔM，相應的位置坐標xm記為xM。

上述近似解析式算法可適用于所有常規(guī)結構參數范圍內的滾珠絲杠支承系統(tǒng)在取值范圍內的任一軸向負載作用下、在任一位置坐標處的滾珠絲杠軸承綜合軸向變形量的直接計算，以及最大綜合軸向變形及其對應位置坐標的直接計算，且計算誤差較小，滿足一般應用要求，因此相對于圖線算法，近似解析式計算方法應用更為方便。

3 近似解析式算法的計算示例和試驗分析

3.1 計算示例

令δB=k1LFm，δT=k2F2/3m，δT、δB分別為最大負載作用下滾珠絲杠和軸承的軸向變形量，δT/δB為滾珠絲杠軸承最大變形比，表示滾珠絲杠、軸承的變形或剛度大小的關系，決定臨界預拉伸力系數λ［4］。

根據式（17），求得Δx變化曲線如圖6中實線。通過驗算，以上計算符合相應FA值域要求。

3.2 試驗驗證和分析

根據支承結構原理，對于一端雙向固定一端單向固定支承形式，當負載作用于滾珠單向固定端時，其軸向剛度相對于負載作用于雙向固定端時的軸向剛度弱，弱方向特性應作為該支承形式的代表特性，而這一弱方向的受力變形特性與兩端單向固定支承形式的受力變形特性相同，因此可以只按兩端單向固定支承形式進行試驗。

3.2.1 試驗參數

采用可適應兩組參數的裝置進行試驗。為便于開展試驗，兩組參數主要在于絲杠直徑的不同，從而形成兩組不同的k1和δT/δB值；并按只考慮最大軸向負載取臨界預拉伸力，得到不同的λ值。

3.2.2 試驗裝置和試驗原理

搭建滾珠絲杠支承系統(tǒng)試驗平臺，如圖7所示。在絲杠兩端設置精密千分表對絲杠預拉伸量進行測量，通過換算確認預拉伸力。采用可移動調整位置的螺旋施力機構和杠桿機構對絲杠螺母施加軸向作用力，具體作用力可根據杠桿力平衡方程求出。為了簡化試驗裝置，采用直徑規(guī)格相同、配合間隙較小的T型絲杠螺母副代替滾珠絲杠螺母副，其受力變形效果一致，但可避免施力過程絲杠螺母副產生逆運動。采用精密杠桿千分表直接檢測靠近絲杠螺母兩端、安裝固定在絲杠上的可調整測量環(huán)，此方法避開了絲杠螺母的接觸變形。由于施加作用力后可能出現(xiàn)支承座變形，故設置精密檢測表對左支座的右端面進行監(jiān)控（圖7中未示出監(jiān)控表）。絲杠螺母處的位置變化（即變形）等于杠桿千分表（圖7中9、12）的變化值均值減去監(jiān)控表變化值。進行兩次試驗檢測并取均值。

試驗檢測采集間隔如圖6、圖8所示。進行最大軸向變形量及其位置坐標檢測時，首先根據式（19）計算理論xM值，在計算xM值的附近進行加密搜索試驗，可找出試驗最大值ΔM及其對應位置坐標xM。

3.2.3 理論計算和試驗對比

兩組試驗參數組合下滾珠絲杠軸承綜合軸向變形的數值計算和試驗結果見圖6、圖8。最大綜合軸向變形及其位置計算和試驗結果見表1。

3.2.4 誤差分析

由于理論推導過程作了近似簡化，同時機械裝置制作存在一定誤差，機械系統(tǒng)運行和試驗操作影響因素多且復雜，如可能出現(xiàn)微小徑向分力及隨機因素，因此理論計算和試驗值存在一定偏差。本計算模型采用三折線近似取代指數曲線，根據2.1.3節(jié)分析計算方法，Δx的最大計算絕對誤差分別為－0.000 56 mm、－0.000 52 mm，從而最大計算相對誤差率為－3.9%、－4.6%。本次試驗中精密杠桿千分表經過檢定和扣除系統(tǒng)偏差后，其測量誤差為0.0005 mm，相對測量誤差率分別為4.4%和4.8%，考慮其他環(huán)節(jié)（如軸承與支座接觸面的接觸變形、操作誤差等）的誤差影響，理論計算和試驗對比存在的誤差是合理的。另外還可以看出，由于本試驗裝置絲杠軸承系統(tǒng)本身綜合軸向變形較小，而基本試驗操作誤差難以縮小，相對偏差率較大是正常的，當絲杠軸承本身綜合軸向變形較大時，這一相對偏差率將減小。同時，理論計算和試驗值變化趨勢相同。綜上可知，所推導的解析式計算方法是合理可行的。

3.2.5 對比分析結論

（1）根據式（11）～式（18），可以針對在某一軸向負載Fa作用下，絲杠螺母處于某一位置x時的軸承反力FA和滾珠絲杠軸承綜合軸向變形Δx進行計算，以及對相應的相對最大綜合軸向變形Δm及其位置xm進行計算；FA與x為單調遞減關系，Δx隨x的變化形態(tài)呈開口向下的非對稱弧線形；Δm與Fa為單調遞增關系，當Fa=Fm時，Δm為最大ΔM。

（2）根據文獻［4-5］，λ取決于δT/δB。根據式（19），當δT/δB=∞時λ=1，軸承為相對完全剛性，可推出xM=L/2；當δT/δB=0時λ=0.35，絲杠為相對完全剛性，可推出xM=∞，意味著各處綜合軸向變形相等。以上是兩個極端情況，實際是不存在的，但可體現(xiàn)變化規(guī)律。

（3）根據理論計算和試驗結果分析，當δT/δB逐步減小，即λ逐步減小時，相當于滾珠絲杠軸承系統(tǒng)從軸承相對完全剛性這一極端逐步向絲杠相對完全剛性這一極端方向變化，Δx變化趨于平緩，xM逐步沿負載方向離開兩支承跨距的中心。

（4）與近似圖線算法比較，圖線算法也存在一定的誤差，且應用相對不方便；而近似解析式算法雖然存在相對固定的計算誤差，但誤差較小，滿足要求且應用方便。

4 結論

（1）絲杠支承系統(tǒng)滾珠絲杠軸承綜合軸向變形的近似計算可有多種方式，可實用的有近似圖線算法和本文近似解析式算法，但近似解析式算法應用更為方便，便于對數控裝備該兩種支承形式進給機構的滾珠絲杠軸承綜合軸向變形分布形態(tài)和精度變化特性進行細化分析及精確校核，有利于數控裝備位置精度的預測和運行監(jiān)控。

（2）通過解析計算和試驗對比分析可知，滾珠絲杠軸承綜合軸向變形隨螺母位置的變化形態(tài)呈開口向下的非對稱弧線形；當絲杠軸承最大變形比逐步減小時，綜合軸向變形的變化趨于平緩，最大值對應的位置坐標逐步沿負載方向離開兩支承跨距中心。

（3）對于所推導的近似解析式算法，后續(xù)還可作進一步改進和擴展研究，如增加變系數誤差修正項及誤差敏感性研究、將其他變形環(huán)節(jié)（如絲杠副滾珠滾道接觸變形）納入計算模型的研究，以及增加對一端雙向固定一端單向固定支承形式的試驗等。

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