楊碩 張杰 孔寧 王浩威 王曉宇 莊原

摘要：豆莢結構又稱可盤卷管狀伸展臂，是一種具有大展收比的彈性伸展結構，可以被壓縮成板狀裝載在航天器上，需要時自行展開為空心筒，用于展開太陽翼、衛(wèi)星天線等組件，能夠縮小航天器發(fā)射時的體積。設計豆莢結構尺寸時需要考慮其力學性能。針對豆莢結構收納過程中力學特性影響因素變化多、計算量大等問題，利用力學分析設計了一種數(shù)值模型，可以計算不同尺寸參數(shù)的豆莢結構整個壓縮過程中的壓縮力變化。利用有限元分析軟件ABAQUS對壓縮變形進行仿真分析，對比數(shù)值模型的計算結果與仿真結果誤差小于10%。通過數(shù)值模型分析得到了豆莢結構尺寸參數(shù)對壓縮力的影響。

關鍵詞：豆莢結構；空間伸展機構；力學性能；仿真分析

中圖分類號：V423.6

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2023.07.003

Deformation Law Model and Simulation Verification of Pod Structures with

Large Exhibition-to-receive Ratio for Aerospace Applications

YANG Shuo1 ZHANG Jie1 KONG Ning1 WANG Haowei2 WANG Xiaoyu2 ZHUANG Yuan2

1.School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing，100083

2.Beijing Institute of Spacecraft System Engineering，Beijing，100094

Abstract： The pod rod， also named as CTM（collapsible tubular mast）， was an elastic stretching structure with large exhibition-to-receive ratio. It might be compressed into a plate and loaded on the spacecraft and self-deployed into a hollow cylinder when needed， which might be used to expand solar wings， satellite antennas and other components， and might reduce the volume of spacecraft during launch. The mechanics properties of pod structure should be considered when designing the structure size. A numerical model was established by means of mechanics analysis in order to solve the problems of large amount of calculation， and frequent variation of the factors that affecting mechanics properties. The numerical model might be applied to calculate the compressive force variation during the entire compression processes for the pod structure with different size parameters. The finite element analysis software ABAQUS was used to simulate and analyze the compression deformation. The deviations between the calculation results and the simulation ones are less than 10%. The influences of size parameters of the pod structure on the compressive force were obtained through numerical model analyses.

Key words： pod structure; space deployment mechanism; mechanics property; simulation analysis

0 引言

隨著空間探索任務的發(fā)展，航天器需要實現(xiàn)的功能越來越多，其空間構型日趨復雜化、大型化［1］。豆莢桿等空間伸展機構可以設計為在航天器發(fā)射及動力飛行階段能緊密可靠地收納于有限的包容空間內，而在動力飛行階段結束后在航天器的工作軌道上伸展為預定的空間構型來工作，提高航天器在發(fā)射階段的強度，節(jié)約發(fā)射成本［2］。

空間伸展機構的概念始于20世紀60年代，由美國航空航天局（NASA）率先提出，1975年，空間伸展機構作為磁強計支架首次用于美國空軍S23衛(wèi)星后，各類航天器開始裝配不同展開原理的伸展機構。迄今為止，各國已經在各個航天器上使用過數(shù)十種不同種類的空間伸展機構，而空間伸展機構也成為空間科學技術的重要研究方向［3］。

豆莢結構是空間伸展機構中薄壁管伸展臂的一種經典結構，又被稱為可盤卷管狀伸展臂（collapsible tubular mast，CTM），因其外形又被稱為豆莢桿，本文稱該結構為豆莢結構。NASA、ESA已成功研制并驗證多種基于豆莢結構展開機構的太陽帆［4-5］，驗證了其展收作用的可靠性。由于豆莢結構具有使用方便、性能可靠、蓄能能力強、展收比大等優(yōu)點，在航天領域乃至其他機械機構領域都有著較為廣泛的使用需求［6-7］。豆莢結構主要依靠曲板結構的壓平與自身彈性伸展來實現(xiàn)伸展與壓縮［8］，具有很大的展收比，可以為航天器壓縮大量空間。設計薄壁管伸展臂的結構尺寸需要了解其機械性能，研究薄壁管伸展臂結構壓縮時的力學特性。姬鳴［9］設計了一種薄壁管伸展臂結構展開薄膜天線，并利用有限元軟件校核關鍵元件的強度與剛度。房光強等［10］采用樣機實驗判斷了薄壁管伸展臂的收納與展開具有較高的可重復性與穩(wěn)定性。李冰巖等［11］采用數(shù)學解析的方法判斷薄壁管伸展臂的性能參數(shù)，從而結合設計要求，設計伸展臂的幾何參數(shù)。以上研究主要針對非金屬材料豆莢結構變形過程進行試驗研究，可在此基礎上開展不同材料豆莢結構變形規(guī)律的研究。

設計一種簡單可靠的計算方法，根據(jù)豆莢結構的尺寸參數(shù)計算力學性能，可以節(jié)約大量設計時間與成本。本文在已有研究的基礎上，結合幾何分析的方法［12-14］對豆莢結構的壓縮過程進行力學解析，得到壓縮力隨壓縮行程變化規(guī)律的計算方法。利用ABAQUS軟件分析豆莢結構應變變化規(guī)律，采用控制變量法仿真不同曲率與厚度的豆莢結構力學特性，并對本計算方法的結果進行仿真驗證。

1 薄壁管伸展結構壓縮變形分析

本研究團隊設計制造的鈦合金豆莢結構外形如圖1所示。該結構主要由八段相同曲率與弧度的弧形板組成，在壓縮過程中，各個弧形板的曲率減小，直至被壓為平板，實現(xiàn)該結構由立體空心筒構型到平面板形構型的轉變，繼而將被壓扁平的結構卷起來節(jié)約空間。展開時，在自身彈性力作用下，豆莢結構重新張開為壓縮前空心筒的形狀。

由于豆莢結構的變形在軸向上完全相同，因此研究該結構的壓縮力變化特性可以研究其軸向視圖，將變形簡化為平面變化。豆莢結構壓縮過程中軸向視圖的具體表現(xiàn)形式見圖2（順序從左到右，再從上到下）?？梢园l(fā)現(xiàn)豆莢桿結構的變形具有對稱性，表現(xiàn)為橫向與縱向均保持軸對稱。

2 豆莢結構收納過程中力學特性分析

為了得到豆莢結構壓縮過程的力學特性，需要對該結構變形過程的力學過程進行解析，得到可以反映豆莢結構力學性能的函數(shù)數(shù)值模型。

由于豆莢桿結構在壓縮過程中保持對稱結構，因此在研究其力學特性時只需要壓縮1/4部分即圖3中ABC弧段。ABC弧段由兩段弧形結構AB與BC組成，兩段結構保持為關于B點的中心對稱。縱向壓縮過程中，豆莢結構受到平板壓縮，在壓縮過程早期僅在最外側的A、D兩點受到壓縮力F。而弧段ABC由于在A點與C點均與其他部分連接，無法彎曲，所以可以視作在A點與C點固定，B點自由的弧形懸臂梁形式，并且在B點受縱向壓縮力F/2（豆莢結構左右對稱，一側只受到壓縮力F的一半）作用，使得弧段的曲率減小，兩端縱向距離減小。

利用上述解析方法可以將豆莢結構壓縮變形過程簡化為單段弧形懸臂梁受縱向力變形的過程，極大地降低了計算難度。然而這個方法有其局限性，即該結構的前提是平板壓縮豆莢結構時，受力點僅作用在A、D兩點。壓縮早期豆莢結構縱向最外側僅A、D兩點受力，但是隨著壓縮作用的進行，A、D兩點處的曲率不斷減小，直至降為0。若按照弧形懸臂梁模型計算，A、D兩點處的曲率變?yōu)樨撝?，形狀上呈現(xiàn)A、D兩點縱向內凹，那么此時壓縮力將無法作用在A、D兩點，弧形懸臂梁模型不成立。因此，在A、D兩點曲率降為0時（此時該處的應變值稱為“壓平應變值”，數(shù)值為板厚與兩倍曲率半徑的商值），壓縮量稱為“邊界臨界值”，從此處開始需要更改力學模型。

假設當A、D兩點的應變達到壓平應變值時不再升高?；⌒螒冶哿耗Ｐ椭?，懸臂梁固定端應變最大，向自由端逐漸降低，隨著壓縮的進行，應變較低處的應變值會升高至壓平應變值后停止。該過程持續(xù)進行，直至整段弧段ABC曲率都減小為0，即被壓為平板，整個壓縮過程完成，具體過程見圖4。在此基礎上，建立了豆莢結構壓縮后期的簡化力學變形模型［15］。

需要說明的是，圖4中的模型對變形作了適當簡化，如壓平段在壓平完成前會具有一定波動形狀，也會產生內凹現(xiàn)象。然而由于內凹現(xiàn)象輕微，因此忽略該現(xiàn)象的影響。

明確了豆莢結構壓縮變形過程，可將該變形過程分為變形前期弧形懸臂梁模型及后期壓平變形模型，下面具體研究豆莢結構變形過程的力學特性。

按照上述解析，將一個豆莢結構視作8塊弧形板AB拼接而成，且8塊弧形板受力情況相同。設該豆莢結構尺寸如圖5所示，單片弧形板弧長為L，曲率半徑為r1，厚度為h，豆莢結構的軸向長度為b。

取一片弧形板可以視作一端固定一端自由的懸臂梁，自由端受到縱向力F作用，整個懸臂梁發(fā)生大撓度變形，省略梁彎曲中性層與幾何中軸之間的差異，如圖6a所示。取弧形板一段弧度為θ1，軸線半徑為r1的梁單元，變形后弧度變?yōu)棣?，軸線半徑為r2，示意圖見圖6b。

梁單元的原長為幾何中軸的弧長L，變形前后弧長不變，即

L=r1θ1=r2θ2（1）

則曲率徑向上與幾何中軸距離為y的應力σ為

式中，E為懸臂梁材料的彈性模量；ε為y處的應變。

計算截面積為S的梁上的正應力FN與彎矩M如下：

將上式變形可得該梁單元變形后的曲率半徑r2與懸臂梁轉角θ與變形后懸臂梁弧長s之間的關系：

故本模型中存在如下關系：

式中，x、y為變形后梁單元距離固定端的橫縱坐標位置；xL為變形后梁自由端的橫坐標。

坐標圖見圖6a。

將式（6）中的第一式對弧長s求導，并利用式（6）中的后二式可得

易知懸臂梁壓平前，自由端的轉角最大，設此處轉角θ=θL，且曲率半徑不變，即dθ/ds=1/r1，可得積分常數(shù)項：

將式（10）代入式（9）可得

即

式（12）求積分，根據(jù)邊界條件，當F=0、θL=60°時，s=L，可得

其中，c為常數(shù)多項式，完整展開式為c=br1ln（（2r1+h）/（2r1－h(huán)））－S，θL可由下式計算：

式中，Δ為粱中軸的長度變化量。

采用工程應變的定義，則Δ可由下式計算：

通過式（14）與式（15）可以計算得到梁變形后構形的最大轉角θL以及縱向壓縮力F。由于計算時對中性層位置進行簡化，故壓縮力F在計算結果的基礎上設置1.1的修正系數(shù)。

計算得到梁變形后構形的最大轉角θL，繼而得到變形后梁的橫向、縱向位置xc與yc：

已知弧形板變形后位置，可以利用弧形板變形前的橫向縱向位置計算豆莢結構橫向縱向的變形量x與y：

上述數(shù)值模型計算豆莢結構力學特性的方法命名為“弧形懸臂梁模型法”，該方法可計算得到弧形板ABC的應力分布情況，發(fā)現(xiàn)自由端應力值較小，固定端應力值較大。當豆莢結構應力最大處的曲率為0時，變形力學模型如圖7所示。

豆莢結構的最大應力處被壓縮至曲率為0時，隨著變形量的增大，壓平接觸面積逐漸增大。結合有限元分析結果作出如下假設：

（1）未壓平的部分弧形板等效弧度值φ大小可由下式計算：

（2）壓力集中在變形區(qū)域的邊緣，由于該模型完全繞點O對稱，所以設置力臂為l，計算公式如下：

l=r1sin φ（20）

（3）由于該模型計算結果與弧形板懸臂梁計算結果在邊界臨界值處y1產生階躍，為使模型更接近真實變形情況，可以使用弧形板懸臂梁解析公式在邊界臨界值y1的壓縮力F1，對該模型計算結果邊界值進行修正，引用式（18）為該模型引入修正系數(shù)μ，μ為式（18）計算的壓縮力F1與縱向變形量為y1時式（20）計算的M/L的比值：

式中，I為梁截面的慣性矩，I=bh3/12。

上述數(shù)值模型計算豆莢結構力學特性的方法稱為“壓平模型法”，將“弧形懸臂梁模型法”與“壓平模型法”兩種模型結合，可以得到不同縱向壓力F下豆莢結構的縱向變形量y，進而確定豆莢結構壓縮過程的力學特性。

3 豆莢結構有限元仿真驗證

3.1 應變與力變化規(guī)律研究

利用ABAQUS建立仿真模型，驗證上述豆莢結構力學特性解析計算方法的正確性。首先研究豆莢結構在壓縮與回彈過程中應變與力的變化規(guī)律。

模型主要由豆莢結構以及兩塊平板組成，為了方便說明，同樣將豆莢結構按圖3進行分段。豆莢結構的曲率半徑為5 mm，厚度為0.2 mm，軸向長度20 mm，具體形狀見圖8。結構材料選用鈦合金，彈性模型為110 GPa，泊松比為0.3，密度為4.5×103 kg/m3。

為模型豆莢結構與上下平板之間、豆莢結構軸內表面之間添加表面接觸約束，上平板表面耦合其幾何中心參考點RP-1。分析步類型選擇靜力通用分析，總分析時間為2 s，每個分析步長為0.05 s，每步下壓量相同，在1 s時達到最大下壓量，之后結構逐漸回彈，直至2 s時恢復到壓縮前的初始狀態(tài)。邊界條件設置縱向下平板表面完全固定，控制上平板表面耦合點RP-1向下壓縮后回彈，最大下壓量為9.8 mm，壓縮過程如圖9所示，為方便觀察壓縮過程的應力分布情況，隱藏上平板。

觀察圖9豆莢結構壓縮過程的應變云圖變化情況，圖9f即豆莢結構被完全壓平時的應變云圖，最大應變值約為2.1%，當模型板厚0.2 mm、曲率半徑5 mm時，計算壓平應變值為2%，兩者結果相近。分析豆莢結構的壓縮過程圖9a～圖9f，有限元仿真得到的應變分布變化情況與解析模型類似，可分為兩個階段：

（1）圖9a～圖9d所示階段，壓縮過程前0.7 s，弧段AB呈現(xiàn)A端應變較高，越接近B端應變越小的分布情況，類似于圖3中A端固定，B端自由并且在B端施加載荷的懸臂梁模型，弧段BC同理。豆莢結構上分布的最大應變值隨壓縮行程逐漸升高，在第0.7 s時應變值達到2.0%，近似等于壓平應變值。

（2）圖9d～圖9f所示階段，在后續(xù)0.3s的壓縮過程中，最大應變值沒有明顯變化，最高達到2.26%，稍高于壓平應變值，說明豆莢結構不會發(fā)生大幅度內凹現(xiàn)象。最大應變值的分布范圍從A、C點向B點擴散，最終形成圖9f中整個AB弧段分布相同大小的應變情況，與圖4簡化的變形模型相同。整個壓縮過程中，豆莢兩段圓弧AB與BC的應變都呈大小相等、正負相反的對稱特性。

上述豆莢結構的應變云圖變化情況與第2節(jié)豆莢結構壓縮變化的力學模型解析基本類似，可以分為曲板應變達到壓平應變值前，弧段AB應變值一端高一端低的“弧形懸臂梁模型法”，與曲板最大應變達到壓平應變值后，逐步使整弧段AB呈現(xiàn)壓平應變值的“壓平模型法”。

分析豆莢結構的回彈過程，如圖9f～圖9h所示。圖9g中，t=1.3 s時刻的應變云圖與圖9d中t=0.7 s時刻的圖相似，提取完整壓縮與回彈仿真結果中上平板表面耦合點RP-1受到的反作用力，其變化規(guī)律如圖10所示。結果顯示變化曲線關于t=1 s時刻的軸對稱，在壓縮階段，力隨變形行程不斷增大，而在回彈階段是壓縮階段的反過程，力則以類似的變化速度隨變形行程不斷減小，直至為0。

圖10表明，針對豆莢結構壓縮過程中力的變化規(guī)律的數(shù)值模型同樣適用于該結構在回彈過程中的力學規(guī)律。反作用力隨壓縮行程而增大、隨回彈行程而減小的特性也驗證了該結構不會在變形過程中發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象。

3.2 力學特性數(shù)值模型驗證

根據(jù)上述關于豆莢結構的仿真分析，豆莢結構在壓縮變形過程中，應變變化規(guī)律與幾何分析中建立的力學模型表現(xiàn)形式相同，接下來提取有限元模型壓縮力變化曲線，與本文推導的函數(shù)關系式（18）與式（21）的計算結果進行對比驗證。

計算表1中2種不同規(guī)格尺寸的豆莢結構，材料性能與邊界條件都和3.1節(jié)的設置相同，進行仿真運算，提取耦合點RP-1的縱向支反力與縱向位移，將豆莢結構的規(guī)格尺寸參數(shù)與材料性能參數(shù)代入解析所得豆莢結構壓縮過程中的力學特性函數(shù)關系式（18）、式（21）中，可計算得到縱向壓縮量y與壓縮力F之間的關系，并進行對比，驗證本文提供的解析方法計算豆莢結構壓縮過程中的壓縮力與壓縮行程之間關系的準確性。

將2種規(guī)格的豆莢結構壓縮力仿真結果與本文的解析結果進行對比，得到壓縮力變化曲線，如圖11所示。由上述2種規(guī)格的豆莢子結構也可以提取得到其壓縮剛度的變化曲線，如圖12所示。

從圖11與圖12中可以發(fā)現(xiàn)，無論是壓縮力變化曲線還是壓縮剛度變化曲線，本文提供的計算方法在各個規(guī)格尺寸的豆莢結構的應用上都與仿真曲線相似，厚度為0.1～0.3 mm、曲率半徑為5～15 mm的常規(guī)尺寸豆莢結構計算與仿真結果的壓縮力誤差小于10%，驗證了本文解析結果的可靠性。

同時，豆莢結構在壓縮過程中，不僅力學模型具有階段性，壓縮力與壓縮剛度曲線也明顯具有相應的階段性：約整個壓縮過程前2/3階段內，即“懸臂梁模型法”解析段，壓縮力曲線呈穩(wěn)定上升趨勢，上升斜率即壓縮呈下降趨勢，但下降值小于初始剛度值1/3；壓縮過程后1/3階段內，即“壓平模型法”解析段，壓縮力與壓縮剛度曲線都急劇升高。

4 豆莢結構參數(shù)對壓縮力的影響

首先分析“懸臂梁模型法”解析段的壓縮力影響關系，從式（18）中提取關于縱向壓縮量y的關系式。由于曲率半徑不同，結構的總壓縮行程不同，所以采用行程量綱一形式，將縱向壓縮量y與曲率半徑r1的比值作為量綱一縱向壓縮量y′：

對式（22）等式兩邊的轉角θ進行微分，經過變形得到下式：

式（23）中，相同量綱一縱向壓縮量y′下，弧形板的位置轉角θ與最大轉角θL均相同，因此決定壓縮力F的大小主要取決于多項式c：

b［r1（ln（2r1+h）－ln（2r1－h(huán)））－h(huán)］（24）

壓縮力F與豆莢桿軸向長度b成正比毋庸置疑，求解下式中與豆莢結構曲率半徑r1與板厚h之間的關系：

f（r1，h）=r1（ln（2r1+h）－ln（2r1－h(huán)））－h(huán)（25）

式中，r1為豆莢結構壓縮變形前的曲率半徑，h為板厚，兩者都是正數(shù)且r1遠大于h。

對式（25）中的厚度h進行多階求導：

將式（25）根據(jù)麥克勞林公式展開可得

再分析“壓平模型法”解析段的壓縮力影響關系，將式（21）變形得

根據(jù)式（27）與式（28）可得，在豆莢結構整個壓縮過程中，相同量綱一縱向壓縮量y′下，壓縮力F均與厚度h的立方成正比，與曲率半徑r1的平方成反比。具體驗證工況參數(shù)如表2所示。

當豆莢結構壓縮行程或量綱一壓縮行程相同時，使用表2中的尺寸參數(shù)計算其壓縮力，比較厚度與曲率半徑對壓縮力的影響，如圖13所示。圖13a橫坐標為實際縱向壓縮行程量，圖13b橫坐標采用量綱一形式。

觀察圖13a可得厚度0.3 mm與0.2 mm之間豆莢結構的壓縮力比值η1為3.375，厚度0.3 mm與0.1 mm之間的壓縮力比值η2為27，豆莢結構壓縮力與板厚的立方成正比成立。圖13b中，曲率半徑5 mm與10 mm之間的豆莢結構壓縮力比值m1為4，曲率半徑5 mm與15 mm之間的壓縮力比值m2為9，豆莢結構壓縮力與曲率半徑的平方成反比成立。

5 結論

本文采用力學分析建立了一種可用于研究航天用大展收比豆莢結構變形規(guī)律的數(shù)值計算模型，并采用有限元仿真驗證了其模型準確性，得出結論如下：

（1）通過解析法建立豆莢結構壓縮過程中壓縮力與壓縮行程之間的數(shù)值模型，計算結果與仿真結果的壓縮力誤差小于10%。在設計豆莢結構尺寸時，使用本數(shù)值模型可節(jié)約大量設計時間與成本。

（2）豆莢結構壓縮過程前2/3階段內，壓縮力呈穩(wěn)定增大趨勢，壓縮剛度則呈減小趨勢，減小值小于初始剛度值的1/3；壓縮過程后1/3階段內，壓縮力與壓縮剛度均急劇增大。整個變形過程的力學特性呈現(xiàn)“懸臂梁模型”與“壓平模型”相結合的變化規(guī)律。

（3）豆莢結構在相同量綱一壓縮行程時壓縮力的大小與厚度的立方成正比，與曲率半徑的平方成反比。在設計豆莢結構尺寸時，可量化控制厚度與曲率半徑，實現(xiàn)力學性能的預設計，可為豆莢結構的設計工作提供設計參照和理論指導。

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