許愛林, 代成浩, 陳海波

(1. 中國科學技術大學 中國科學院材料力學行為與設計重點實驗室,合肥 230226;2. 中國科學技術大學 近代力學系,合肥 230026)

在航空航天等工程應用中,結構在復雜惡劣的環(huán)境下容易出現(xiàn)高頻載荷的作用。若設計不當,會成為引發(fā)結構的高量級噪聲、疲勞失效甚至強度破壞的重要因素[1]。因此,研究結構的高頻振動問題對避免結構損傷失效和更好地減振降噪非常重要。20世紀80年代,Koizumi[2]首先提出了功能梯度材料(functionally graded materials,FGM)的概念。功能梯度材料是一種特別的復合材料,通常由兩種或更多材料成分組成,在微觀上不均勻混合分布,其材料特性在選定的方向上平緩漸變[3]。復合材料板是工業(yè)領域最廣泛應用的結構之一。在傳統(tǒng)的復合材料層壓板中,高局部層間應力引起的層間分離會導致結構和功能失效。功能梯度板材料成分在空間上連續(xù)變化,可有效消除層間應力,因此被廣泛應用于渦輪葉片、熱障涂層、火箭噴嘴等結構[4]。近年來,伴隨著飛行器速度提高和輕量化的需求,功能梯度結構的運用越來越多,因此研究功能梯度板的高頻振動響應對提高結構性能有著重要的意義。

傳統(tǒng)有限元法(finite element method,FEM)和邊界元法(boundary element method,BEM)等算法計算高頻響應有計算成本高、非確定性因素敏感等局限[5]。為了避免這些問題,學者們提出了若干能量方法。其中統(tǒng)計能量分析 (statistical energy analysis,SEA)法[6-7]首先被提出并已廣泛應用于計算各類工程問題的平均能量響應,該方法以每個子系統(tǒng)內的平均振動能量為主變量,因此無法預測子系統(tǒng)內的能量分布。為了解決這個問題,相關學者提出了振動傳導法(vibrational conductivity approach,VCA)[8],該方法基于混響場假設,由傅里葉熱傳導定律類比得到能量控制方程,結合邊界條件求解此能量控制方程的方法被稱為功率流分析(power flow analysis,PFA)[9],而用有限元求解該方程的方法被稱為能量有限元法(energy finite element method,EFEM)[10]。VCA假設振動場由平面波疊加而成,由于平面波只在一維系統(tǒng)中嚴格成立,而在二維和三維系統(tǒng)中,振動則分別以柱面波和球面波的形式傳播,因此該方法預測二維、三維系統(tǒng)能量并不準確。于是Le Bot[11-12]提出了能量輻射傳遞法(radiative energy transfer method,RETM),該方法基于幾何聲學,類比熱輻射傳遞,不僅可以給出系統(tǒng)內的能量分布而且對二維、三維系統(tǒng)求解精度高于VCA[13]。周紅衛(wèi)[14]采用RETM求解了薄板和梁的高頻振動的能量響應,并與 EFEM 進行了對比。鐘強等[15-16]將RETM應用到各向異性介質模型中,驗證了在二維結構中RETM結果準確性高于VCA。

目前,學者們已基于不同的理論和數(shù)值方法對功能梯度結構動力學特性進行了研究。Yang等[17]研究了熱環(huán)境下材料分布和溫度場等因素對功能梯度板的振動和聲輻射特性的影響。Chen等[18]建立了功能梯度夾芯板的聲振耦合動力學方程,對功能梯度板的隔振特性進行了研究。Loja等[19]利用Rayleigh-Ritz法和Bolotin法分別研究了功能梯度板自由振動和動力失穩(wěn)問題,并分析了體積分數(shù)分布的影響。Papkov等[20]用動力剛度法研究了正交各向異性Mindlin板的自由振動特性。在高頻能量計算方法方面,張玲等[21]對功能梯度板進行了功率流分析。Liu等[22]建立了功能梯度梁的振動能量流模型,分析了材料梯度因子對能量響應的影響。

目前,一階剪切變形理論和RETM還未被用于求解功能梯度板的高頻振動響應。本文根據(jù)功能梯度板的力學性能,推導了振動控制方程,建立了一階剪切理論框架下功能梯度板的高頻振動能量輻射傳遞模型。與模態(tài)疊加法和PFA計算結果進行了對比,驗證了RETM模型的正確性以及在計算不同物理參數(shù)下功能梯度板高頻振動響應的準確性。最后討論了激勵頻率、材料梯度因子和結構阻尼對能量響應的影響。本文工作是功能梯度板高頻振動分析方法研究的一個新進展,為結構高頻振動能量空間分布的高精度計算提供了新手段。

1 功能梯度板振動模型

1.1 功能梯度板材料特性

考慮一長寬高為a×b×h的功能梯度板,建立如圖1所示的笛卡爾坐標系,板由兩種材料組成,材料在z方向連續(xù)變化,下面假設材料特性P(z)按照冪函數(shù)形式分布[23]

圖1 功能梯度板模型Fig.1 Functionally graded plate model

(1)

式中:Ptm和Pbm分別為頂層和底層材料特性;P(z)為彈性模量、質量密度以及阻尼損耗因子等材料參數(shù)。

1.2 功能梯度板振動控制方程

不同于均勻各向同性板,功能梯度板的材料組成和特性關于幾何中面并不對稱,在該基準面上存在平面內拉伸或壓縮,因此,通過合理地選擇沒有面內位移的平面作為參考平面,可以消除面內拉伸和彎曲的耦合,該平面被稱為中性面。功能梯度板的中性面到幾何中面的位置表達式為[24]

(2)

式中,E(z)和μ(z)分別為彈性模量和泊松比。

一階剪切變形理論(first-order shear deformation theory,FSDT)考慮了轉動慣量和剪切變形的影響,基于FSDT對功能梯度板振動控制方程進行推導,板內任意一點位移可以表示為

ux(x,y,z,t)=(z-z0)φx(x,y,t),
uy(x,y,z,t)=(z-z0)φy(x,y,t),
uz(x,y,z,t)=w(x,y,t)

(3)

式中:ux,uy,uz分別為x,y,z方向的位移;φx和φy分別為沿x軸和y軸的旋轉角度;w為中性面的位移。

與位移相關的應變分量可表示為

(4)

功能梯度板中的應力應變關系可表示為

(5)

式中,Qij為模量系數(shù)。

(6)

式中,κ為剪切修正因子。在一階剪切功能梯度板中,勢能和動能可以表示為

(7)

(8)

總外力做功為

(9)

式中: 外力f(x,y,t)=Feiωtδ(x-xs)δ(y-ys); (Aij,Dij)分別為面內拉伸剛度矩陣和彎曲剛度矩陣; (I0,I2)為質量的慣性矩。

(10)

建立拉格朗日算子δL=δT-δU+δW,根據(jù)哈密頓原理,得到一階剪切功能梯度板橫向振動控制方程

(11)

1.3 板中的波傳播

由于振動控制方程中橫向位移與轉角耦合,為了得到面外運動的通解,需要引入亥姆霍茲分解定理進行解耦[25],定義位移勢函數(shù)φ和ψ

(12)

將式(12)代入控制方程式(11)中,得到解耦后的控制方程

(13)

(14)

(15)

考慮板上沒有外力時的自由振動問題。將行波解ψ=A1e-i(k1xx+k1yy)+iωt代入式(14)中,得到位移勢函數(shù)ψ的波數(shù)k1和頻率關系的頻散方程

(16)

得到位移勢函數(shù)ψ的波數(shù)k1為

(17)

(18)

將w=A2e-i(kxx+kyy)+iωt和φ=A3e-i(kxx+kyy)+iωt的行波解代入式(13)和式(15)的齊次形式,得到頻散方程

D11A55k4-(D11I0ω2+A55I2ω2)k2-
A55I0ω2+I0I2ω4=0

(19)

方程的四個根為

(20)

(21)

位移勢函數(shù)φ和橫向位移w的臨界頻率與位移勢函數(shù)的臨界頻率相同,因此在一階剪切板橫向振動中只存在一個臨界頻率ωc,該臨界頻率由功能梯度板的材料屬性與厚度決定。臨界頻率隨著彈性模量增大而增大,隨著密度增大而減小,并與板厚度成反比。

當ω<ωc,與彎曲效應相關的項占主導地位。只有波數(shù)k2是純實數(shù),對應著板中只存在一種傳播波并由彎曲變形主導,k1和k3對應倏逝波;隨著頻率增大,剪切變形和轉動慣量對板中波傳播的影響變大。當ω>ωc,波數(shù)中與剪切變形和轉動慣量效應相關的大于與彎曲效應相關的項。k1和k3僅在剪切變形占主導地位時傳播,此時板中存在k1,k2,k3均為實數(shù),對應為三種傳播波。

位移勢函數(shù)φ和橫向位移w的通解可以用各個行波分量疊加表示為

(22)

式中,j為波的類型。波分量的群速度可定義為

(23)

1.4 能量密度與功率流強度

功能梯度板中的能量密度包含動能密度和勢能密度,即W=Wk+Wp。

動能密度由橫向運動的動能和旋轉動能組成,表達式為

(24)

勢能密度由彎曲變形和剪切變形的勢能組成,表達式為

(25)

功率流強度由剪力和力矩傳遞,可表示為I=Ixex+Iyey

(26)

式中,剪切力Qxz和Qyz、彎矩Mx和My以及扭矩Mxy和Myx可表示為

(27)

時間平均的能量密度和功率流強度可以分解為每個傳播波的疊加,將ψ,φ和w的通解代入式(24)、式(25)和式(26),得到功能梯度板能量密度和功率流強度表達式

(28)

(29)

能量速度為

(30)

可以推出能量速度與波群速度相等,因此,對于基于一階剪切變形理論的功能梯度板,功率流強度與能量密度成正比,比例關系為群速度。

1.5 板在點激勵下的遠場響應和輸入功率

對板的控制方程式(13)和式(15)進行傅里葉變換,得到波數(shù)空間下的橫向振動響應幅值

w∞(k,t)=

(31)

并用極坐標表示其解,根據(jù)貝塞爾函數(shù)性質和留數(shù)定理[26]可得橫向位移的遠場解

(32)

激勵點(r=0)處的橫向振動速度為

(33)

輸入功率通過無限場導納Y∞估計

(34)

2 功能梯度板的能量輻射傳遞模型

在穩(wěn)態(tài)條件下,二維結構能量平衡方程為

?I+Pdiss=Pin

(35)

在PFA中,基本假設為振動場由平面波控制,功率流強度與能量密度的梯度成正比

(36)

得到功能梯度板振動傳導法的能量控制方程[27]

(37)

在RETM中,假設功率流強度I直接與能量密度W成正比I=ceW,比例系數(shù)為能量速度向量ce。前一節(jié)已證明能量速度與群速度相等,因此I=cgW。這樣,基于RETM的功能梯度板能量平衡方程

?·(cgjWj)+mjcgjWj=Pin,jδ(x-xs,y-ys)

(38)

式中,mj=ηω/cgj為能量衰減系數(shù)。求解式(38)可以獲得第j類波的能量密度Wj和功率流強度Ij的自由場解

(39)

式中:r為距離;u(θ)為方向向量。對于二維結構,板上任意接受點M的能量由點源S對點M產(chǎn)生的直接場與邊界虛源產(chǎn)生的反射場疊加而成。

(40)

(41)

式中,r=|S-M|或r=|P-M|分別為點源S或虛源P到接收點M的距離。由橫向位移的遠場解表達式(32)可知,W(r)∝e-2Im(kj)r/r,對比核函數(shù),得到能量衰減系數(shù)的等效表達式,得到mj=2Im(kj)。

板邊界Pk處虛源的功率流平衡方程可以表示為

(42)

在數(shù)值模擬中,將板邊界劃分為n個單元,單元長度為Lk。離散的二維板結構能量輻射模型如圖2所示,式(42)可寫為

圖2 離散邊界的二維結構能量輻射傳遞模型Fig.2 Radiative energy transfer model of a two-dimensional structure with discrete boundaries

(43)

臨界頻率以下,板中只有一種傳播波,能量場為波場2控制的直接場與反射場能量的疊加;臨界頻率以上,能量場為三種波場控制的實源產(chǎn)生的直接場與虛源輻射能量的疊加。通過離散邊界,板內接收點的能量密度和功率流強度表示為

W(M)=

(44)

I(M)=

(45)

3 數(shù)值算例和討論

建立一個材料由金屬和陶瓷組成的功能梯度板模型,頂層材料為Si3N4,底層材料為SUS304,表1為所用的材料屬性。長寬厚為1 m×1 m×0.01 m,板中間位置(0.5,0.5)施加幅值為1的橫向諧波點激勵Feiωt。

表1 Si3N4和SUS304的材料屬性Tab.1 Material properties of Si3N4 and SUS304

首先分析功能梯度板的波傳播特性。圖3給出了分別基于FSDT和CPT下,功能梯度板各個傳播波分量的波數(shù)和波速隨頻率的變化曲線,并將兩種理論模型得到的波數(shù)和波速進行了對比。從圖3中可以看出,在頻率較低的情況下,兩種理論得到的波數(shù)和波速是一致的,群速度cg為相速度cp的2倍,此時彎曲變形占主導地位;當頻率達到20 kHz左右時,FSDT的波數(shù)大于CPT的,而FSDT的波速小于CPT的,群速度cg與相速度cp逐漸相等;隨著頻率增大,剪切變形和轉動慣量對板中波傳播的影響變大。該模型的臨界頻率為fc=214 kHz,當頻率低于臨界頻率時,一階剪切功能梯度板中只有一個彎曲主導波,高于臨界頻率時,第二、第三個傳播波開始出現(xiàn),稱為面外剪切波和剪切主導波,當頻率高于1 000 kHz時,其群速度和相速度隨頻率增大逐漸趨于一致。

圖3 功能梯度板波數(shù)與波速隨頻率變化Fig.3 Variation of wave number and wave velocity of functionally graded plate with frequency

圖5 不同頻率下PFA解與解析解對比,η=0.01 (fc=214 kHz)Fig.5 Comparison of energy results by VCA and Analytic solution at different frequencies η=0.01 (fc=214 kHz)

圖6 不同厚度下功能梯度板能量變化,η=0.01, f=250 kHzFig.6 Energy density of functionally graded plate under different thicknesses, η=0.01, f=250 kHz

從圖5中可以觀察到,阻尼相等的情況下,當f=80 kHz,波在傳播過程中的能量衰減速度較慢,直接場與反射場的干涉現(xiàn)象明顯。隨著頻率增大,板中傳播波波數(shù)增加,波傳播的周期增多。當f=250 kHz,能量衰減速度變快,自由場主導范圍增加,衰減能級跨度增大,邊界附近振蕩幅度減小。

一階剪切變形理論考慮了板的剪切變形與轉動慣量的影響,在高頻振動或厚板問題分析中,它們對波傳播的影響非常大。對于長寬為1 m,厚度分別為0.001 m,0.005 m,0.010 m,0.050 m的功能梯度板模型,在激勵頻率250 kHz作用下,沿板中心線x=0.5 m截取的能量密度如圖 6所示,對比了模態(tài)疊加法、RETM和PFA三種方法的解。在不同厚度下,RETM解與解析解均能吻合得非常好。當波在不同厚度的板中傳播,隨著板厚度的增大,臨界頻率fc減小,且與成正比。當厚度較小時,ffc,剪切變形和轉動慣量的影響是不可忽略的,此時FSDT的能量水平明顯高于CPT,CPT不再適用。

圖7 不同n的功能梯度板波數(shù)與頻率變化關系Fig.7 Variation of wave number with frequency of functionally graded plate with different n

圖8給出了不同n的功能梯度板RETM能量變化。由于n增大不銹鋼趨于主導地位,波數(shù)增大,導致波在板內傳播所經(jīng)歷的衰減周期數(shù)增加。因此可以由圖8觀察到,阻尼和頻率一定時,n越大,能量密度衰減速度越快,同時激勵點處的能量密度增大,導致不同n的能量密度曲線之間有交匯。

圖8 不同n下功能梯度板的RETM能量變化Fig.8 Energy density levels of functionally graded plate of RETM for various n

圖9為不同材料梯度因子下,RETM解與解析解的對比。在這個算例中,將氮化硅的結構阻尼系數(shù)設為0.02,不銹鋼的結構阻尼系數(shù)設為0.08,阻尼同樣以冪函數(shù)形式漸變。對于不同的n,RETM解與解析解均能很好的吻合。n增大,結構的阻尼系數(shù)增大,能量損耗變大,邊界附近的能量振蕩幅度變小。

圖9 不同n下功能梯度板能量變化RETM解與解析解 對比, ηt=0.02, ηb=0.08, f=80 kHzFig.9 Comparison of energy density of functionally graded plate by RETM solution and analytic solution for various, ηt=0.02, ηb=0.08, f=80 kHz

圖10對比了不同阻尼下功能梯度板的能量密度分布。當頻率一定時,阻尼較小,射線到達邊界時仍攜帶較高的能量,經(jīng)邊界反射后,反射射線傳播一定距離后才被吸收,板中從邊界開始一定范圍內的能量都由反射射線主導。相反,阻尼較大,衰減速度較快,反射波能量較小,與入射波干涉的范圍有限,邊界處振動幅度較小。

圖10 不同阻尼下功能梯度板的能量密度f=100 kHzFig.10 Distribution of energy density in the FGM plate for various damping loss factors f=100 kHz

圖11中對比了不同阻尼和頻率下功能梯度板的功率流流場和等能量曲線。由于RETM忽略波和波之間的相互干涉,能量流線為平滑的曲線,從激勵點開始以近似直線發(fā)射狀傳播,到達邊界處被阻擋而彎曲。由圖11(a)和圖11(b)可看出,當頻率一定,圖11(a)的阻尼較大,能量等勢線較為密集,梯度明顯;圖11(b)的阻尼較小,能量等勢線稀疏,相鄰等勢線距離較遠。對比圖11(b)和圖11(c),當阻尼一定,激勵頻率分別在臨界頻率以下和臨界頻率以上,發(fā)現(xiàn)頻率越大,能量衰減因子越大,因此圖11(c)比圖11(b)從激勵點到邊界處能量跨度范圍更大,等能量曲線更密集。

圖11 不同阻尼、頻率下功能梯度板的能量流場Fig.11 Energy flow fields in the FGM plate for various damping loss factors

在板中取坐標為(0.65 m,0.65 m)、(0.75 m,0.75 m)和(0.85 m,0.85 m)的三個位置,其能量響應水平隨頻率變化如圖12所示。對于接受點的局部能量響應,RETM解與解析解整體變化趨勢吻合較好。對于固定的位置,高頻段反射波攜帶的能量耗散更快。越靠近邊界處,反射場越占主導,當頻率超過40 kHz,(0.65 m,0.65 m)處基本上只有入射波,反射波無法到達;點(0.85 m,0.85 m)較其他位置的局部能量仍有明顯的振蕩。

4 結 論

本文以功能梯度板為研究對象,基于一階剪切變形理論,推導了功能梯度板的振動控制方程,得到了頻散方程,分析其波傳播特性。建立了激勵頻率分別小于和大于臨界頻率情況下功能梯度板的能量傳遞模型。數(shù)值算例中,將模態(tài)疊加法作為解析解,RETM和PFA分別與之對比,驗證了能量傳遞模型的準確性。對比了不同厚度下,基于FSDT和CPT功能梯度板的能量響應水平。對功能梯度因子n、結構阻尼因子和激勵頻率的影響進行了參數(shù)敏感性對比分析,以研究功能梯度板的能量響應特性。得到了以下結論:

(1) 一階剪切板橫向振動中存在臨界頻率ωc。當ω<ωc,板中存在一種傳播波,兩種倏逝波;能量響應由該傳播波控制;當ω>ωc,板中的倏逝波轉變?yōu)閭鞑ゲ?能量響應由三種傳播波控制。不同物理參數(shù)下,能量傳遞模型與解析解均能吻合較好。

(2) 當板厚度較小時,臨界頻率較大,剪切變形和轉動慣量的影響與彎曲變形相比較小,FDST與CPT的能量密度差別不大;隨著板厚度增大,剪切變形和轉動慣量的影響增大,FSDT下的能量水平明顯高于CPT,CPT對高頻厚板模型不再適用。

(3) 隨著n增大,功能梯度板中陶瓷材料占比減小,金屬材料占比增大,板的韌性增加,波數(shù)變大,波在板內傳播所經(jīng)歷的衰減周期數(shù)增加,衰減速度變快,能量衰減跨越能級越大。

(4) 頻率和阻尼較小時,直接場在能量場中占主導地位,頻率和阻尼的增加會導致波在板中傳播時攜帶的能量被快速吸收,衰減幅度增加,振動幅度變小。