◎ 海南省儋州市兩院中學(xué) 王 輝

中學(xué)時(shí)期是潛能開(kāi)發(fā)的最佳階段，發(fā)現(xiàn)并激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能是教師最核心的任務(wù)，為此，教師需要更新教學(xué)理念，提高理論水平和實(shí)踐能力，從“改變學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)歷，提升學(xué)生學(xué)習(xí)力”“提高學(xué)生綜合素質(zhì)，充分發(fā)揮學(xué)生個(gè)性特長(zhǎng)”等角度深入探討“學(xué)生學(xué)習(xí)潛能”開(kāi)發(fā)。

一、編制學(xué)習(xí)材料，啟迪思維開(kāi)發(fā)潛能

課堂教學(xué)要收集大量適合學(xué)生的教學(xué)素材，針對(duì)不同層次的學(xué)生個(gè)性化要求，編制出適合不同學(xué)生數(shù)學(xué)潛能開(kāi)發(fā)及思維能力提升的學(xué)習(xí)材料，環(huán)環(huán)相扣、步步為營(yíng)，充分發(fā)展自身潛能，通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)材料的興趣激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在潛能，實(shí)現(xiàn)思維飛躍。

課前認(rèn)真收集教科書、教輔資料、參考教案、教師教學(xué)用書等教與學(xué)的材料，在充分尊重教科書的前提下，從學(xué)生“何以學(xué)會(huì)”出發(fā)，認(rèn)真編寫每一個(gè)“教——學(xué)——評(píng)”三位一體的大單元——分課時(shí)“單元學(xué)歷案”（也稱微課程），并于課前2 ～3天印發(fā)給學(xué)生，要求學(xué)生做好課前準(zhǔn)備；課中通過(guò)“問(wèn)題串”的方式，按照學(xué)教評(píng)一致性（CLTA）教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)技術(shù)框架及其標(biāo)準(zhǔn)開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)，遵循引起注意、呈現(xiàn)目標(biāo)、激活舊知、提供情境、指導(dǎo)學(xué)習(xí)、引出表現(xiàn)、反饋評(píng)價(jià)、學(xué)習(xí)檢測(cè)、保持遷移等九個(gè)步驟實(shí)施教學(xué)。在新課的引入上，特別注重向?qū)W生講述新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，依據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計(jì)“探究”“思考”，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的積極性，學(xué)完一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，隨即讓學(xué)生代表到講臺(tái)前搖號(hào)抽簽確定到黑板扮演的一位或多位學(xué)生名單，進(jìn)行指向?qū)W習(xí)目標(biāo)的“評(píng)價(jià)”；課后在充分尊重學(xué)生差異設(shè)計(jì)分層次作業(yè)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)與學(xué)習(xí)目標(biāo)相匹配的，體現(xiàn)學(xué)生立場(chǎng)的校本化課后檢測(cè)與練習(xí)作業(yè)。通過(guò)課前學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)意圖的確立；課中調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與課堂及理清數(shù)學(xué)知識(shí)的“前后聯(lián)系”“來(lái)龍去脈”；課后自主建構(gòu)知識(shí)體系，增強(qiáng)學(xué)生信心，激發(fā)了興趣和潛能。下面以普通高中教科書人教A版·數(shù)學(xué)（選擇性必修第一冊(cè)）“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，圍繞目標(biāo)進(jìn)行“教——學(xué)——評(píng)”三位一體設(shè)計(jì)，具體如下。

本節(jié)課其中一個(gè)“學(xué)習(xí)目標(biāo)”為：會(huì)由圓的方程寫出圓的半徑和圓心，能根據(jù)條件寫出圓的方程。

設(shè)計(jì)如下“學(xué)習(xí)過(guò)程”。

思考1：在平面直角坐標(biāo)系中如何確定一個(gè)圓呢？圓的定義是什么？（指向以上“學(xué)習(xí)目標(biāo)”）

小結(jié)：___________

思考2：利用圓的定義可以推導(dǎo)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？圓心為(a，b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又是什么？（指向以上“學(xué)習(xí)目標(biāo)”）

小結(jié)：___________

例1（教材第83頁(yè)）：求圓心為A(2，-3)，半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)M1(5，-7)，M2(-2，-1)是否在這個(gè)圓上。（指向以上“學(xué)習(xí)目標(biāo)”）

練習(xí)1（檢測(cè)以上“學(xué)習(xí)目標(biāo)”）

（1）判斷正誤：

①方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圓。( )

②圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圓心坐標(biāo)是(1,2)，半徑是4。( )

③(0,0)在圓(x－1)2＋(y－2)2＝1上。( )

（2）求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

①圓心是(4,0)，且過(guò)點(diǎn)(2,2)；

②圓心在y軸上，半徑為5，且過(guò)點(diǎn)(3，-4)。

二、由師本課堂向生本課堂轉(zhuǎn)變，增強(qiáng)學(xué)生信心

要改變目前的師本教堂，就要以學(xué)生為主體，尊重學(xué)生的個(gè)性、人格和愛(ài)好，以平等、友善、寬容、民主的氛圍和態(tài)度對(duì)待學(xué)生，讓學(xué)生在一種和諧并寬松的教育環(huán)境中與教師一起參與教和學(xué)，做學(xué)習(xí)的主人，把師本教堂變成生本課堂。下面以普通高中教科書人教A版·數(shù)學(xué)（選擇性必修第三冊(cè)）“二項(xiàng)式定理”為例，進(jìn)行“生本課堂”教學(xué)，課堂實(shí)錄如下。

1.引入

問(wèn)題：4個(gè)容器有白、紅小球各1個(gè)，每次從4個(gè)容器各取出1個(gè)球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？

生：取法及取法種數(shù)如下：

取4個(gè)白球（4白0紅，共取4個(gè)球）：C44=C04，即取4個(gè)白球相當(dāng)于取0個(gè)紅球；

取3個(gè)白球（3白1紅，共取4個(gè)球）：C34=C14，即取3個(gè)白球相當(dāng)于取1個(gè)紅球；

取2個(gè)白球（2白2紅，共取4個(gè)球）：C24=C24，即取2個(gè)白球相當(dāng)于取2個(gè)紅球；

取1個(gè)白球（1白3紅，共取4個(gè)球）：C14=C34，即取1個(gè)白球相當(dāng)于取3個(gè)紅球；

取0個(gè)白球（0白4紅，共取4個(gè)球）：C04=C44，即取0個(gè)白球相當(dāng)于取4個(gè)紅球。

易得性質(zhì)：Cmn=Cnn-m。

可以在企業(yè)對(duì)外提供網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器上進(jìn)行部署，進(jìn)行聚合的網(wǎng)卡必須是同一廠商的產(chǎn)品，通過(guò)廠商提供的驅(qū)動(dòng)工具進(jìn)行捆綁。

2.試驗(yàn)

問(wèn)題：寫出(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4展開(kāi)式未合并同類項(xiàng)前的式子。

生：(a+b)2=(a+b)·(a+b)=aa+ab+ba+bb；(a+b)3=(a+b)·(a+b)·(a+b)=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+b ba+bbb；(a+b)4=(a+b)·(a+b)·(a+b)·(a+b)=aaaa+aaab+…+bbba+bbbb。

師追問(wèn)：（1）以上每項(xiàng)的各個(gè)因子分別來(lái)自哪里？（生：分別來(lái)自各個(gè)括號(hào)的一因式）

（2）換句話說(shuō)，展開(kāi)式中的每一項(xiàng)是怎樣構(gòu)成的？（生：分別從每一個(gè)(a+b)中取出一個(gè)字母相乘構(gòu)成）

（3）展開(kāi)式中各項(xiàng)次數(shù)是否都相同？（生：相同）

（4）展開(kāi)式未合并前分別共有多少項(xiàng)？（生：4=22項(xiàng)；8=23項(xiàng)；16=24項(xiàng)）

3.發(fā)現(xiàn)

生：以上展開(kāi)式與白、紅小球取法類似。比如：a3即在3個(gè)(a+b)的因式中取出3個(gè)a，有C33個(gè)a2b；a2b即在3個(gè)(a+b)的因式中取出2個(gè)a，自然留下1個(gè)b，共有C33個(gè)a2b……

師：很好！

4.歸納

請(qǐng)同學(xué)們一起來(lái)歸納(a+b)n的展開(kāi)式，并歸納出各項(xiàng)次數(shù)與二項(xiàng)式指數(shù)、各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)。

生：有2n項(xiàng)，各項(xiàng)系數(shù)均是1。

師：合并后各項(xiàng)系數(shù)分別是多少？

生：C0n，C1n，C2n，…，Cnn。

5.應(yīng)用

練習(xí)：寫出(p+q)5的展開(kāi)式。（解答過(guò)程此處略）

6.小結(jié)

本節(jié)課通過(guò)實(shí)例引入、試驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、歸納，研究了(a+b)n展開(kāi)式的規(guī)律，運(yùn)用從特殊到一般的思想方法，推導(dǎo)出了二項(xiàng)式定理。

與傳統(tǒng)采用記憶型的教學(xué)相比，以上教學(xué)過(guò)程建構(gòu)在對(duì)學(xué)生認(rèn)知分析的基礎(chǔ)上，在探究的過(guò)程中構(gòu)建起二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)和指數(shù)的特點(diǎn)，開(kāi)發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)潛能。

三、利用生活實(shí)例構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，開(kāi)發(fā)潛能

在應(yīng)用意識(shí)日益加深的今天，數(shù)學(xué)與生活緊密聯(lián)系、息息相關(guān)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)“要我學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)“我要學(xué)”，讓學(xué)生在不斷解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)興趣，開(kāi)發(fā)潛能。下面以普通高中教科書人教A版·數(shù)學(xué)（必修第一冊(cè)）“函數(shù)的應(yīng)用（二）”，汽車剎車距離和人口增長(zhǎng)問(wèn)題為例分別構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

1.汽車剎車距離問(wèn)題

示例1：已知汽車剎車距離y（米）與行駛速度的平方v2（v的單位：千米/小時(shí)）成正比，當(dāng)汽車行駛速度為60千米/小時(shí)，剎車距離為20米.若某人駕駛汽車的速度為90千米/小時(shí)，則剎車距離為_(kāi)___________米。

學(xué)生解答如下：依題意可設(shè)y=kv2，則有20=3600k，解得

若v=90千米/小時(shí)，則

2.人口增長(zhǎng)問(wèn)題

示例2：目前海南某市有100萬(wàn)人，經(jīng)過(guò)x年后為y萬(wàn)人。如果年平均增長(zhǎng)率為1.2%，請(qǐng)回答以下問(wèn)題：

（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）計(jì)算10年后該市的人口總量（精確到0.1萬(wàn)人）；

（3）計(jì)算大約多少年后該市的人口總數(shù)將達(dá)到120萬(wàn)（精確到1年）。

學(xué)生解答如下：

（1）當(dāng)x=1時(shí)，y=100+100×1.2%=100(1+1.2%)；

當(dāng)x=2時(shí)，y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=10 0(1+1.2%)2；

當(dāng)x=3時(shí)，y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)2×1.2%=1 00(1+1.2%)3；

……

所以，y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=100(1+1.2%)x(x∈N*)。

（2）當(dāng)x=10時(shí)，y=100(1+1.2%)10=100×1.012%10≈112.7；

所以，10年后該市的人口總數(shù)約為112.7萬(wàn)。

（3）設(shè)x年后該市的人口總數(shù)為120萬(wàn)，則有100×（1+1.2%）x=120，

以上分別構(gòu)建了二次函數(shù)模型和指數(shù)型函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了函數(shù)模型的應(yīng)用價(jià)值。

四、構(gòu)建典型數(shù)學(xué)問(wèn)題，優(yōu)化潛能促進(jìn)創(chuàng)新

通過(guò)設(shè)計(jì)開(kāi)放性和探索性問(wèn)題，讓學(xué)生自主探究，讓學(xué)生在觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、分析、歸納和整理的過(guò)程中，感悟問(wèn)題的提出、概念的形成過(guò)程、結(jié)論的探索過(guò)程以及如何應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和創(chuàng)新精神。下面以普通高中教科書人教A版·數(shù)學(xué)（必修第二冊(cè)）“復(fù)數(shù)的概念——數(shù)系的擴(kuò)充新課引入”為例，進(jìn)行設(shè)疑激趣。

解下列方程：（1）x-1=0；（2）2x-1=0；（3）x+1=0；（4）x2-2=0。

學(xué)生容易解得各題答案：（1）x=1；（2）（3）x=-1；（4）

教師進(jìn)一步追問(wèn)：（2）2x-1=0在自然數(shù)范圍內(nèi)有解嗎？（3）x+1=0在正數(shù)范圍內(nèi)有解嗎？（4）x2-2=0在有理數(shù)范圍內(nèi)有解嗎？

學(xué)生：沒(méi)有。

通過(guò)回顧已有數(shù)集擴(kuò)充過(guò)程，學(xué)生明顯感受到每一次數(shù)的擴(kuò)充都與實(shí)際需求密切相關(guān)，從自然數(shù)集擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)集。

教師再追問(wèn)：方程x2+1=0在實(shí)數(shù)集中有解嗎？

學(xué)生：無(wú)解。

教師又追問(wèn)：如何解決以上問(wèn)題？

學(xué)生：思考、嘗試回答。

此時(shí)，教師因勢(shì)利導(dǎo)，自然的想法是能否像引進(jìn)無(wú)理數(shù)那樣，把有理數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集，通過(guò)引進(jìn)新的數(shù)而使實(shí)數(shù)集得到擴(kuò)充，從而解決類似方程x2+1=0這樣的問(wèn)題。

如此有意識(shí)地設(shè)計(jì)問(wèn)題，學(xué)生會(huì)“心欲求而不得，口欲言而不能”，產(chǎn)生了求知欲望，點(diǎn)燃了思維的火花，從潛意識(shí)里激活其創(chuàng)新潛能。

五、培養(yǎng)勤于思考和定時(shí)定量完成任務(wù)的學(xué)習(xí)習(xí)慣

勤于思考和每天定時(shí)定量完成學(xué)習(xí)計(jì)劃的習(xí)慣一旦養(yǎng)成，就會(huì)有利于提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，也有利于激發(fā)學(xué)生的潛能，更有利于增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)造力。筆者在每一個(gè)課前編寫的單元學(xué)歷案“課后作業(yè)與檢測(cè)”部分，每一道題的設(shè)計(jì)意圖都是指向相應(yīng)的學(xué)習(xí)目標(biāo)，并要求學(xué)生按時(shí)完成。以上“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”一課可設(shè)計(jì)如下“課后作業(yè)與檢測(cè)”。

1.課后作業(yè)

（教材第85頁(yè)）練習(xí)：第1、3、4題（檢測(cè)以上“學(xué)習(xí)目標(biāo)”）。

2.課后檢測(cè)

（1）圓心為(3,1)，半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )（檢測(cè)以上“學(xué)習(xí)目標(biāo)”）。A.(x＋3)2＋(y＋1)2＝5 B.(x＋3)2＋(y＋1)2＝25 C.(x－3)2＋(y－1)2＝5 D.(x－3)2＋(y－1)2＝25

（2）已知點(diǎn)A(3，-2)，B(-5,4)，以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )（檢測(cè)以上“學(xué)習(xí)目標(biāo)”）。A.(x－1)2＋(y＋1)2＝25 B.(x＋1)2＋(y－1)2＝25 C.(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D.(x＋1)2＋(y－1)2＝100

（4）已知點(diǎn)A(-1,2)和B(3,4).求以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（檢測(cè)以上“學(xué)習(xí)目標(biāo)”）

總之，依據(jù)課標(biāo)要求、課標(biāo)分析、教材分析、學(xué)情分析確定學(xué)習(xí)目標(biāo)，并圍繞學(xué)習(xí)目標(biāo)，從學(xué)生“何以學(xué)會(huì)”出發(fā)設(shè)計(jì)“教——學(xué)——評(píng)”一體的教學(xué)方案；煥發(fā)學(xué)生的生命活力，課后學(xué)生的潛能自然地得到了最大限度的開(kāi)發(fā)。