于水英 陳麗 王玲

1 試題呈現(xiàn)

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三個頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長大于33．

2 試題分析與思維導(dǎo)圖

2.1 第（1）問的分析

第（1）問難度較低，直接利用拋物線定義或者將題干直接“翻譯”成數(shù)學(xué)符號語言就可以得出來.

具體解法可以掃碼（圖2）觀看.

2.2 第（2）問的分析與思維導(dǎo)圖

析題：第（2）問可以抽象為相鄰的弦長和的最小值問題，通過條件轉(zhuǎn)化化歸得到鄰邊垂直，因此本問可以分三個步驟考慮：步驟一弦長和的表示，步驟二變量的統(tǒng)一化，步驟三研究最小值.不妨設(shè)A，B，C三點(diǎn)在W上，則

可得到下面的思維導(dǎo)圖（圖1）：

【步驟1】弦長和的表示

解析幾何中的弦長問題，通常是從代數(shù)角度出發(fā)，或設(shè)線，或設(shè)點(diǎn)；亦可以利用參數(shù)方程；當(dāng)然個別情況會從圖形本身出發(fā)，通過幾何角度來解決弦長問題.

若選擇設(shè)線法，根據(jù)條件中AB，BC互相垂直且

【步驟2】變量統(tǒng)一化

步驟1得到的弦長和含有多個變量，多變量問題在高中階段常用的方法是減元，常見的減元方法有同構(gòu)法、換元法、主元法、放縮法.觀察①式發(fā)現(xiàn)，這個式子含兩個變量且內(nèi)部結(jié)構(gòu)不對稱，很容易想到主元法.若以k為主元式子形式復(fù)雜，以t為主元式子對稱且為雙絕對值和的形式，故選t為主元看成雙絕對值和的形式；同理③式以a為主元也是雙絕對值和的形式.所以對于①式可用去絕對值的方法得到

當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)，等號成立.這里的式子與前面的⑤式相同.

【步驟3】研究最小值

求最小值常用的方法有求導(dǎo)法、二元基本不等式法、三元基本不等式法、柯西不等式法等.

對于⑤式，當(dāng)k＞1時(shí)，除了換元還可以上下同時(shí)除以k6，利用同構(gòu)的思想，就可以得到和第一段相同的式子，直接得到結(jié)論.

對于⑧式，令m=-（x1+x2），換元后得到g（m）=

提升：這道題的拋物線方程并非標(biāo)準(zhǔn)形式，但可以通過平移得到y(tǒng)=x2，因?yàn)槠揭撇⒉挥绊懼荛L的求解，且問題處理方式與前面都是一致的，得到的式子也相同，所以這道題也可以先平移再運(yùn)算.

除這些常規(guī)方法以外，我們還可以利用不等式

來解決，不等式的證明請掃碼（圖2）觀看.下面看看如何利用它解決這道題：由設(shè)點(diǎn)法，可以得到|AB|+|BC|=

說明：沒有在文章中呈現(xiàn)的結(jié)論的證明、題目的具體解法，請掃碼（圖2）觀看.

3 試題感悟

3.1 厘清算理，提煉算法

本題指導(dǎo)學(xué)生將“所求”轉(zhuǎn)化為弦長和的最小值，從“已知”得到垂直關(guān)系，最終化歸為兩條垂直的弦長度和的最小值問題.先從步驟1即弦長的表示入手，不同入手方式形成不同的結(jié)果；研究多變量函數(shù)的最小值，統(tǒng)一變量是必經(jīng)之路，于是進(jìn)入步驟2；最后步驟3就是關(guān)鍵的運(yùn)算環(huán)節(jié).這樣從算理到算法的思維過程，層層剝殼，培養(yǎng)了學(xué)生的高階思維能力.

3.2 融合滲透，提升素養(yǎng)

通過題意分析講解，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升.從表示弦長的設(shè)線法、設(shè)點(diǎn)法的代數(shù)思維，到直線參數(shù)方程法、設(shè)角法的幾何思維，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理、直觀想象等能力；在步驟2統(tǒng)一變量中培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力；在步驟3中，培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算能力.再者，整個過程用思維導(dǎo)圖的形式梳理，讓思維可視化，提升學(xué)生的關(guān)鍵能力.

3.3 善于總結(jié)，提煉升華

高中數(shù)學(xué)多數(shù)知識難懂，不好記憶，教師要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)所學(xué)知識，幫助學(xué)生理解問題.

4 試題鏈接