邢國(guó)亮

摘? 要：學(xué)生通過高中學(xué)段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能夠?qū)λ季S能力起到良好的訓(xùn)練作用，高中教師注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，能夠在幫助學(xué)生完善數(shù)學(xué)知識(shí)框架的基礎(chǔ)上，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間所存在的邏輯性的理解與掌握，強(qiáng)化核心素養(yǎng)。文章在簡(jiǎn)析高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，從高中數(shù)學(xué)知識(shí)特點(diǎn)方面、教師方面以及學(xué)生方面剖析了影響高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的因素，并提出了提升高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)策略，以期有效提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);抽象素養(yǎng);教學(xué)策略

學(xué)生在高中學(xué)段所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與前期相比，不僅知識(shí)串聯(lián)程度更大，而且抽象性也更加突出。這就要求學(xué)生需要具備一定的數(shù)學(xué)抽象能力去認(rèn)識(shí)、掌握、構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)，如此學(xué)生才可以做到把繁雜的問題變得簡(jiǎn)便、把概念化的問題變得可視、把零散的問題變得完整。高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)為出發(fā)點(diǎn)，優(yōu)化教學(xué)策略、豐富教學(xué)手段，讓學(xué)生的抽象能力逐步提升，幫助學(xué)生簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生在遭遇數(shù)學(xué)難題時(shí)能夠調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)抽象能力自如應(yīng)對(duì)。

一、影響高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)能力水平的因素

（一）高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)從橫向四個(gè)方面以及縱向三個(gè)等級(jí)水平給出了界定。四方面可以概括為：情境、知識(shí)、思維、反思;三級(jí)水平根據(jù)由淺入深的原則分為：水平一、水平二、水平三。水平一階段，要求學(xué)生可以獨(dú)立抽象出熟悉情境之中的相關(guān)規(guī)則以及概念，同時(shí)可以對(duì)數(shù)學(xué)概念的含義、規(guī)定做出正確率高、完整性強(qiáng)的解釋，在處理同一類數(shù)學(xué)問題時(shí)能夠準(zhǔn)確串聯(lián)知識(shí)，在解釋數(shù)學(xué)抽象概念時(shí)可以準(zhǔn)確聯(lián)系實(shí)際;水平二階段，要求學(xué)生能夠在關(guān)聯(lián)情境之中將數(shù)學(xué)概念抽象而出，在理解數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上將相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行知識(shí)框架構(gòu)建，對(duì)同類型的數(shù)學(xué)知識(shí)能夠總結(jié)行之有效的解題辦法，在遇到抽象化的數(shù)學(xué)現(xiàn)象時(shí)可以利用一般的數(shù)學(xué)概念加以解釋;水平三階段，要求學(xué)生能夠在綜合性的復(fù)雜情境中將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行抽象化，即便遇到需要進(jìn)行高度概括的內(nèi)容，也可以生成感悟并主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)體系，對(duì)于探究的數(shù)學(xué)對(duì)象能夠準(zhǔn)確把握其基本特征，且能夠利用數(shù)學(xué)語言加以描述，可以靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)生活中的自然現(xiàn)象或社會(huì)現(xiàn)象進(jìn)行解釋。

（二）教師教學(xué)能力與學(xué)生自學(xué)能力

結(jié)合高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)可知，在對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)能力進(jìn)行考察時(shí)，主要從學(xué)生情境、知識(shí)、思維、反思四方面能力著手，而這些能力的具備又與高中數(shù)學(xué)知識(shí)特點(diǎn)、教師教學(xué)以及學(xué)生能動(dòng)自學(xué)密切相關(guān)：

首先，在高中數(shù)學(xué)知識(shí)特點(diǎn)方面，該階段的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)不僅更為密集，同時(shí)知識(shí)的獨(dú)立性與抽象性也明顯增強(qiáng)。由于教材內(nèi)容量大，學(xué)生每堂課需要接收的知識(shí)信息量也相應(yīng)增多，且學(xué)生在學(xué)習(xí)新知階段接觸到的數(shù)學(xué)例題具有一定坡度，教師在講授新課時(shí)，常常會(huì)“以舊推新”，帶動(dòng)學(xué)生將舊知與新知從橫、縱兩個(gè)方向進(jìn)行對(duì)比、聯(lián)系，建立溝通。課堂學(xué)習(xí)時(shí)間結(jié)束后，學(xué)生感覺對(duì)新知有了一定的了解，但是深入到作業(yè)練習(xí)中時(shí)卻會(huì)感到吃力，無法將新知熟練運(yùn)用。加之高中數(shù)學(xué)新增了“集合”“映射”“對(duì)應(yīng)”等較為抽象的知識(shí)點(diǎn)，在立體幾何方面，對(duì)學(xué)生的空間想象能力與抽象性感知能力也提出了更高要求，學(xué)生不僅要學(xué)習(xí)解析幾何、立體幾何，還需要學(xué)習(xí)三角函數(shù)、代數(shù)等知識(shí)，這些都需要學(xué)生花費(fèi)一定的學(xué)習(xí)時(shí)間與精力去消化、吸收，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的具備與提升會(huì)受到一定的影響。

其次，在教師教學(xué)方面，部分教師過分追求課堂的“完滿”，在引導(dǎo)學(xué)生探究時(shí)并未設(shè)置“留白”環(huán)節(jié)。教師常常按照個(gè)人主觀教學(xué)意愿一味牽著學(xué)生按照自己設(shè)計(jì)的教學(xué)步驟去完成課堂學(xué)習(xí)任務(wù)，沒有以教學(xué)引導(dǎo)者的身份去點(diǎn)撥學(xué)生認(rèn)識(shí)并掌握數(shù)學(xué)抽象的形式與方法，學(xué)生缺乏自感自悟的機(jī)會(huì)條件，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象意識(shí)萌生受阻。由于數(shù)學(xué)抽象意識(shí)缺失，學(xué)生無法獨(dú)立完成對(duì)數(shù)學(xué)概念的驗(yàn)證、數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)等，由此導(dǎo)致對(duì)數(shù)學(xué)概念與定理理解淺薄。

再者，在學(xué)生能動(dòng)學(xué)習(xí)方面，部分學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意識(shí)較差，面對(duì)練習(xí)不具備主動(dòng)匹配對(duì)應(yīng)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的能力，具體表現(xiàn)為對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題感到無從下手。一些學(xué)生在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念時(shí)，不求甚解，對(duì)基本概念認(rèn)識(shí)不透徹、理解不全面，甚至容易混淆基本數(shù)學(xué)公式。另外，學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)極易受到初中所學(xué)的部分?jǐn)?shù)學(xué)概念及結(jié)論的干擾，陷入思維定式誤區(qū)。這也是學(xué)生在面對(duì)新的數(shù)學(xué)問題時(shí)無法在第一時(shí)間迅速做出反應(yīng)的原因之一，長(zhǎng)此以往，容易抑制學(xué)生思維的優(yōu)化與更加科學(xué)合理的思維的形成，致使學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維提升受阻。

二、提升高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的可行性策略

（一）通過概念類比，萌發(fā)抽象思維

在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生一般會(huì)通過相關(guān)概念或是定理去初步了解所學(xué)內(nèi)容，且隨著學(xué)習(xí)的深入，會(huì)從數(shù)學(xué)概念以及數(shù)學(xué)定理中反推出知識(shí)點(diǎn)中隱藏的數(shù)學(xué)規(guī)律。數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)定理在總結(jié)數(shù)學(xué)本質(zhì)規(guī)律的同時(shí)呈現(xiàn)出不同程度的抽象性，教師采用陳舊的教學(xué)手法只能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念、定理，但卻無法幫助學(xué)生有效參悟其中的數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，長(zhǎng)此以往，學(xué)生將難以具備將抽象化作具體的數(shù)學(xué)思維能力。故而，教師在對(duì)學(xué)生的抽象思維進(jìn)行啟蒙時(shí)，需要重視概念、定理的教學(xué)部分，通過對(duì)概念、定理進(jìn)行類比，使學(xué)生可以在抽象的數(shù)學(xué)概念、定理中抽絲剝繭，探尋知識(shí)本質(zhì)。在具體教學(xué)中，教師首先找準(zhǔn)研究對(duì)象，接著進(jìn)行關(guān)聯(lián)對(duì)比，最后分析出數(shù)學(xué)概念中的內(nèi)涵本質(zhì)。教師按照此教學(xué)順序，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之初就明確需要解決的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)任務(wù)，然后在類比概念、分析概念的過程中由淺入深地感受數(shù)學(xué)概念的規(guī)律，總結(jié)從一般到特殊，再從特殊回歸一般的特征，最終實(shí)現(xiàn)抽象素養(yǎng)的累積與提升。

以“集合間的基本關(guān)系”教學(xué)為例，教師采用類比的方式進(jìn)行課堂導(dǎo)入：“在之前的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到實(shí)數(shù)之間可以構(gòu)成大小關(guān)系和相等關(guān)系，那么這兩種關(guān)系放在集合問題中是否還會(huì)成立呢？”教師利用學(xué)生已經(jīng)掌握的與新學(xué)數(shù)學(xué)概念能夠產(chǎn)生契合的數(shù)學(xué)概念作為類比對(duì)象，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考方向從一般自然過渡到特殊，同時(shí)類比數(shù)學(xué)概念的過程本身就是將抽象逐步化作具體的基本學(xué)習(xí)步驟。為了有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的抽象思維，教師可以引導(dǎo)提問：“請(qǐng)同學(xué)們觀察A={1，2，3，4}與B={1，2，3，4，5，6}這兩個(gè)集合的關(guān)系?！贝藭r(shí)學(xué)生將顯而易見地發(fā)現(xiàn)集合B包含集合A，關(guān)于包含和被包含的概念也就變得容易理解，學(xué)生能夠明確了解“子集”概念的抽象意義。

（二）借助問題情境，引導(dǎo)方法運(yùn)用

學(xué)生抽象素養(yǎng)的提升離不開抽象能力的增強(qiáng)，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)時(shí)可以借助問題情境，為學(xué)生創(chuàng)造深入了解抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生在具體的數(shù)學(xué)問題情境中學(xué)會(huì)調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)抽象思維去解決問題的有效方法。教師需要做好問題情境創(chuàng)設(shè)的準(zhǔn)備工作，以班級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)接受性以及真實(shí)的學(xué)習(xí)能力為前提，針對(duì)性地設(shè)計(jì)問題，學(xué)生便可以在接觸新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，對(duì)已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行回顧鞏固，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系的完善，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)獨(dú)立思考能力，積累抽象素養(yǎng)。倘若教師所設(shè)置的問題情境既無法與學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生聯(lián)系，又不符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，那么問題情境不僅無法有效推動(dòng)學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題，反而還會(huì)變得思維壁壘，干擾學(xué)生數(shù)學(xué)思維的正常運(yùn)轉(zhuǎn)。

以“正切函數(shù)的性質(zhì)和圖像”教學(xué)為例，教師利用微課為學(xué)生呈現(xiàn)y=sinx、y=cosx圖像，并請(qǐng)學(xué)生判斷哪一個(gè)圖像是正弦函數(shù)，哪個(gè)圖像是余弦函數(shù)。教師以低難度問題為引，調(diào)動(dòng)學(xué)生的答題參與意愿。接著教師請(qǐng)學(xué)生再次觀察函數(shù)圖像，總結(jié)這兩個(gè)函數(shù)所具備的特征，完成對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧。當(dāng)學(xué)生在腦海中將正余弦函數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行大致梳理后，教師利用微課介紹本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的新的知識(shí)點(diǎn)——正切函數(shù)。學(xué)生通過觀看微課，認(rèn)識(shí)典型的正切函數(shù)圖像，隨后教師將微課中出現(xiàn)的正弦函數(shù)圖像、余弦函數(shù)圖像、正切函數(shù)圖像一同呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，并提問學(xué)生：“正切函數(shù)圖像有何典型特征？三者函數(shù)在圖像上表現(xiàn)出了怎樣的差異？”有了具體的視覺圖像做支撐，學(xué)生可以在聯(lián)系已學(xué)知識(shí)的同時(shí)，有效調(diào)動(dòng)抽象思維去思考教師所提出的問題，找到問題的正確答案，進(jìn)而涵養(yǎng)抽象素養(yǎng)。

（三）促進(jìn)交流合作，提升概括能力

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象的概括能力能夠從一定程度上反映出其具備的抽象素養(yǎng)能力水平，抽象概括要求學(xué)生可以從相同或者是相似的事物中找到當(dāng)中的本質(zhì)屬性關(guān)系。高中生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在較為突出的關(guān)聯(lián)屬性，教師將知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)加以突出，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，能夠讓學(xué)生在不斷將零散知識(shí)整合成完整知識(shí)的過程中，逐步增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的分析能力，使學(xué)生能夠較為準(zhǔn)確地對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系進(jìn)行抽象概括。在設(shè)計(jì)課堂活動(dòng)時(shí)，教師通過突出知識(shí)點(diǎn)中存在的異同關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)知識(shí)的異同點(diǎn)進(jìn)行思考交流，讓學(xué)生在探討問題的過程中嘗試性地對(duì)不同的解答方法進(jìn)行總結(jié)，同時(shí)對(duì)特殊問題進(jìn)行歸納概括，累積經(jīng)驗(yàn)。

以“基本不等式”教學(xué)為例，教師利用多媒體課件將趙爽弦圖加以展示，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已學(xué)的勾股定理思考問題一：“在勾a股b弦c之中，你能找到哪些相等關(guān)系和不等關(guān)系？”問題二：“已知a，b∈R，求證a2+b2≥2ab?！眴栴}三：“倘若用x替換a2，y替換b2，此時(shí)的式子是？式子中的x、y將會(huì)受到何種限制？”教師對(duì)比羅列這三個(gè)問題，層層遞進(jìn)，突出a2+b2≥2ab的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生從幾何角度以及代數(shù)方向去尋求問題答案，促使學(xué)生在交流探討的過程中回顧并串聯(lián)已學(xué)的正方形面積計(jì)算方法、二次函數(shù)以及射影定理，通過合作將不等式的概念具象化，提升數(shù)學(xué)抽象概括能力。

（四）轉(zhuǎn)換幾何語言，增強(qiáng)抽象思維

高中生良好數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的具備，離不開幾何直觀能力的輔助，只有當(dāng)學(xué)生具備了對(duì)幾何的抽象轉(zhuǎn)化能力，才能夠在快速發(fā)現(xiàn)直觀載體外顯表現(xiàn)的同時(shí)，挖掘出其內(nèi)在潛藏的本質(zhì)特征。教師在教學(xué)時(shí)，利用數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換幾何信息，可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力、問題分析能力、結(jié)果預(yù)判能力，培養(yǎng)其幾何思維，提升其抽象素養(yǎng)。以“二次函數(shù)與一元一次方程、不等式”教學(xué)為例，教師在導(dǎo)入環(huán)節(jié)請(qǐng)學(xué)生到黑板上演示x2-8x+15<0的算法，其他學(xué)生在草稿紙上完成不等式的計(jì)算。答案驗(yàn)證結(jié)束后，教師提問：“怎樣利用二次函數(shù)圖像表示y=x2-8x+15？”學(xué)生嘗試性作圖，作圖結(jié)束后，教師再次引導(dǎo)：“運(yùn)用函數(shù)圖像還可以解決哪些數(shù)學(xué)問題？”教師采用問題談話的方式，將學(xué)生的關(guān)注力聚焦至函數(shù)圖像，通過提取幾何中的數(shù)學(xué)信息，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一元二次不等式中的“零點(diǎn)”知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思路在描述圖形、分析圖形、解決幾何問題的過程中逐步明朗清晰。

（五）及時(shí)回顧總結(jié)，深化符號(hào)印象

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)中涉及大量數(shù)學(xué)符號(hào)，從這些符號(hào)中可以洞悉具體問題情境中數(shù)量與數(shù)量的關(guān)系或是變化規(guī)律等。剖析高中數(shù)學(xué)教材可以發(fā)現(xiàn)，教材中每一單元、每一章節(jié)中的數(shù)學(xué)知識(shí)不僅表現(xiàn)出明顯的銜接性，而且還呈現(xiàn)出逐級(jí)抽象的趨勢(shì)，教師只有在教學(xué)設(shè)計(jì)中串聯(lián)好每一章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)，才能夠順利實(shí)現(xiàn)引導(dǎo)學(xué)生理解新概念、學(xué)習(xí)新定理、掌握新知識(shí)。因此，教師需要及時(shí)帶領(lǐng)學(xué)生回顧總結(jié)已學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生通過復(fù)盤數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，深化數(shù)學(xué)符號(hào)印象，提升抽象素養(yǎng)水平，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系。以“函數(shù)的概念及其表示”教學(xué)為例，教師先行帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)本章節(jié)各部分知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行回顧梳理，然后請(qǐng)學(xué)生以小組為單位共同繪制數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖。在展示學(xué)生思維導(dǎo)圖成果時(shí)，教師根據(jù)學(xué)生繪制的思維導(dǎo)圖，提出值得學(xué)生注意的問題，如“關(guān)于二次函數(shù)的值域”“列舉生活中常見的函數(shù)模型應(yīng)用”“總結(jié)不可以當(dāng)作函數(shù)圖像的曲線特征”等，讓學(xué)生在利用思維導(dǎo)圖梳理所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，加深對(duì)易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)的印象，并利用相關(guān)習(xí)題幫助學(xué)生鞏固知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生在潛移默化中加強(qiáng)符號(hào)意識(shí)。

三、結(jié)語

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)在明確干擾學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提升成因的基礎(chǔ)上，有意識(shí)地對(duì)課堂教學(xué)加以調(diào)整，為學(xué)生創(chuàng)造多種抽象思維應(yīng)用情境，讓學(xué)生在真實(shí)的抽象訓(xùn)練中從多角度、多層面再次對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)知識(shí)架構(gòu)、數(shù)學(xué)思想方法以及一般規(guī)則與命題形式等進(jìn)行審視，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)抽象意識(shí)，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)凝練能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更加完善，助力學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平的提升。

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