解答

注:讀者在提供問(wèn)題解答時(shí),請(qǐng)先提供印刷體的版本,并注明單位、姓名和身份(教師、本科生或研究生等). 解答被選用后需提供word版本.

多位讀者獨(dú)立地給出了正確的解答.以下提供兩種解答.解1由何雨航同學(xué)(中國(guó)科學(xué)院大學(xué)2022級(jí)本科生,E-mail:heyuhang221@mails.ucas.ac.cn)與曹峻瑋同學(xué)(哈爾濱工業(yè)大學(xué)2022級(jí)本科生,E-mail:2022112927@stu.hit.edu.cn)給出.陸琳根(復(fù)旦大學(xué)博士后, lulingen@ fudan.edu.cn)給出了同樣的解答.解2由陳超平老師(河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, E-mail:chenchaoping@sohu.com)提供.

在(0,π)中內(nèi)閉一致收斂,因此可以交換求導(dǎo)與求和順序.結(jié)合f(x)表達(dá)式可得

?k∈+,由于

在 (0,π) 中內(nèi)閉一致收斂,交換求導(dǎo)與求和順序得

解2記+為全體正整數(shù)構(gòu)成的集合. 眾所周知,

這里 Bn(n≥0)是 Bernoulli 數(shù), 由下面生成函數(shù)給出

于是獲得

進(jìn)而獲得

因此,f的k階導(dǎo)數(shù)(k≥0) 均在 (0,π) 內(nèi)恒正.

第二個(gè)解答整體思路上比較自然簡(jiǎn)潔:即把被研究的函數(shù)用適當(dāng)?shù)?冪)級(jí)數(shù)來(lái)表示, 進(jìn)而對(duì)其導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行討論,但解答的具體細(xì)節(jié)上還是非常不容易的,利用了由 Bernoulli 數(shù)為系數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示cotx的相關(guān)結(jié)論,以及 Bernoulli 數(shù)的生成函數(shù).