浙江杭州市小營小學(xué)（310000） 特級教師 吳恢鑾

北京師范大學(xué)中國教育創(chuàng)新研究院院長劉堅(jiān)教授說過：“我一直提倡‘玩做數(shù)學(xué)’的教育理念，創(chuàng)新人才不是靠‘刷題’刷出來的，孩子的‘奇思妙想’是在‘玩做’中誕生的?！?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)’就是‘玩做數(shù)學(xué)’的一種重要載體，抽象的數(shù)學(xué)通過簡單的材料、有趣的實(shí)驗(yàn)，變得生動活潑，讓孩子體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的美妙和真諦?！奔幽么髮W(xué)者巴格利曾經(jīng)分析了美國新媒體聯(lián)盟在2004 年到2012 年期間發(fā)布的《地平線報(bào)告》，其先后提出37項(xiàng)技術(shù)，但是只有7項(xiàng)被后期的報(bào)告證實(shí)，其中“基于游戲的學(xué)習(xí)”排在第1 位。數(shù)學(xué)枯燥無趣、抽象難懂，與喜歡玩耍、游戲的兒童天性之間有很大隔閡，而數(shù)學(xué)游戲可以起到溝通兩者的橋梁作用。數(shù)學(xué)游戲使學(xué)生的學(xué)習(xí)不再是被動地接受，且參與數(shù)學(xué)游戲的過程就是智力、想象力與情趣的開發(fā)和培養(yǎng)過程。那么，什么是數(shù)學(xué)游戲？它的內(nèi)涵是什么？數(shù)學(xué)游戲?qū)和瘜W(xué)習(xí)，深化課堂教學(xué)有什么價(jià)值？如何利用數(shù)學(xué)游戲豐盈數(shù)學(xué)課程，改善兒童學(xué)習(xí)，深化課堂教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識？

一、數(shù)學(xué)游戲的內(nèi)涵和分類

數(shù)學(xué)與游戲的關(guān)系源遠(yuǎn)流長。一方面，在“數(shù)學(xué)”這個(gè)概念出現(xiàn)之前，各種游戲當(dāng)中就廣泛蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識。所以說，數(shù)學(xué)與游戲之間是相互滲透、相互統(tǒng)一的關(guān)系。另一方面，游戲精神一直伴隨著數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和形成，成為數(shù)學(xué)發(fā)展的主要動力之一。比如，游戲激發(fā)了許多重要數(shù)學(xué)思想的誕生，促進(jìn)了數(shù)學(xué)知識的傳播。從某種意義上講，數(shù)學(xué)也在一個(gè)更高的層次上復(fù)歸游戲。

（一）內(nèi)涵

數(shù)學(xué)游戲，《簡明不列顛百科全書》將其定義為“一種運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的大眾化娛樂活動”。歐菲爾德為數(shù)學(xué)游戲設(shè)定了判定的標(biāo)準(zhǔn)：參與的人需要獨(dú)自完成，或與他人合作競爭；依據(jù)規(guī)則自愿進(jìn)行；游戲活動指向一定的數(shù)學(xué)認(rèn)知目標(biāo)。在高夫的研究中，數(shù)學(xué)游戲則更加傾向于一種博弈活動，參與者為了獲得勝利而在游戲過程中輪流做出選擇?？梢姡瑪?shù)學(xué)游戲就是將數(shù)學(xué)問題蘊(yùn)含在游戲形態(tài)中，從而讓做游戲的人獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，潛移默化地掌握數(shù)學(xué)知識、思想與方法，同時(shí)獲得生活的娛樂感和心靈的愉悅。從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)游戲?qū)儆谛枰呒壦季S參與的智力活動，具有競爭性、娛樂性、益智性、開放性等特點(diǎn)，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題具有規(guī)則性、探究性、思維性的特征。

（二）分類

基于數(shù)學(xué)游戲的內(nèi)涵，按照問題的表現(xiàn)形式和解答方法，數(shù)學(xué)游戲可以分為四類。一是數(shù)的游戲，指表現(xiàn)形式為數(shù)，或者能夠建立數(shù)量模型的游戲。在玩此類游戲的時(shí)候，常常會用到算術(shù)、代數(shù)、數(shù)論、排列、組合、概率等知識。二是形的游戲，指表現(xiàn)形式為幾何圖形，或者能夠建立幾何模型的游戲。如“七橋問題”屬于圖論中的著名問題，這個(gè)問題后來衍生出“郵遞員問題”“周游世界問題”；魔方、七巧板、華容道、莫比烏斯帶、迷宮等游戲，操作性強(qiáng)，特別適合學(xué)生玩與做。三是博弈游戲，指帶有競技性質(zhì)的游戲。這類游戲通常有嚴(yán)格的規(guī)則，結(jié)果有贏有輸，如棋類游戲、牌類游戲等。四是邏輯游戲，指運(yùn)用邏輯推理來解答問題的智力游戲，包括邏輯推理問題和涉及邏輯知識并帶有趣味性的數(shù)學(xué)悖論，如找次品問題、分油問題等。

數(shù)學(xué)游戲按照思維方式，可以分為兩類：動手操作型和動腦思考型。前者需要動起手來，依據(jù)游戲的規(guī)則邊玩邊思考；后者需要依據(jù)問題情境中提供的信息，動腦思考怎樣解決非常規(guī)的問題。

二、數(shù)學(xué)游戲的教育價(jià)值

（一）有利于改善兒童學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)游戲作為數(shù)學(xué)的一種教育形態(tài)，容易為兒童所接受，這是因?yàn)閮和奶煨浴谟螒蛑腥?、在游戲中取智、在游戲中取辯，所以他們樂此不疲。首先，數(shù)學(xué)游戲能為兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供感性的直觀材料，搭建游戲化的學(xué)習(xí)平臺，符合兒童的年齡特征、心理和生理特點(diǎn)。其次，數(shù)學(xué)游戲能在兒童的具體形象思維和抽象數(shù)學(xué)知識之間架起一座溝通的橋梁，化靜態(tài)為動態(tài)、化抽象為直觀，符合兒童的天性和認(rèn)知規(guī)律。再次，數(shù)學(xué)游戲融趣味性、知識性、活動性于一體，可以有效調(diào)動兒童的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)和保持其探究興趣。另外，數(shù)學(xué)游戲中需要進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理和交流等活動，以達(dá)到對游戲規(guī)則的深度理解，這樣可激發(fā)兒童的想象力與創(chuàng)造力，促進(jìn)兒童高階思維和社會交往能力的發(fā)展。由此可見，數(shù)學(xué)游戲不管是作為課程內(nèi)容，還是作為一種學(xué)習(xí)方式，都是符合兒童天性和認(rèn)知規(guī)律的。

（二）有利于深化課堂教學(xué)

著名數(shù)學(xué)家陳省身說過“數(shù)學(xué)好玩”，在數(shù)學(xué)家眼里，數(shù)學(xué)是思維的體操，確實(shí)是好玩的。然而，對不少兒童而言，數(shù)學(xué)是抽象的、枯燥的、難懂的，再加上以解題訓(xùn)練為主導(dǎo)的課堂教學(xué)，他們怎么會喜歡上數(shù)學(xué)呢？如何改變這種現(xiàn)象？數(shù)學(xué)課堂中，怎樣讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)好玩、有趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣？美國著名教育家杜威非常重視游戲在教育教學(xué)中的地位，他認(rèn)為教育者應(yīng)該將游戲納入學(xué)校課程體系中，同時(shí)應(yīng)該把游戲作為課程作業(yè)的形式之一，這樣容易建立經(jīng)驗(yàn)和知識的關(guān)聯(lián)。古今中外眾多的教育家和學(xué)者，從哲學(xué)、心理學(xué)、社會學(xué)、文化學(xué)、教育學(xué)等不同方面對游戲進(jìn)行了深入的分析，認(rèn)為結(jié)合課程內(nèi)容引入數(shù)學(xué)游戲，進(jìn)行數(shù)學(xué)游戲化教學(xué)，對深化課堂教學(xué)、增強(qiáng)教學(xué)效果、發(fā)展學(xué)生思維具有重要作用，實(shí)踐也證明這是一條行之有效的路徑。

（三）有利于滲透數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)獨(dú)具文化魅力，具有廣泛的文化價(jià)值。課堂上如何更加自然地滲透數(shù)學(xué)文化，考驗(yàn)的是教師的教學(xué)藝術(shù)，而有趣好玩的數(shù)學(xué)游戲，無疑是學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的強(qiáng)大誘因。數(shù)學(xué)游戲蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化，可以說，數(shù)學(xué)史上許多重要的數(shù)學(xué)成果源于數(shù)學(xué)游戲的研究。如哥尼斯堡的“七橋問題”研究，促進(jìn)和推動了圖論的創(chuàng)立；“合理分配賭注問題”是對創(chuàng)立概率論有重大影響的著名問題；中國“百雞問題”的研究，促進(jìn)了不定方程的發(fā)展；“比豐投針問題”開創(chuàng)了幾何概率的先河；“孫子問題”促進(jìn)了數(shù)論的發(fā)展；“阿基里斯與龜”“飛矢不動”和“理發(fā)師悖論”等數(shù)學(xué)邏輯游戲，促進(jìn)了數(shù)理邏輯與極限論的發(fā)展……可見，數(shù)學(xué)游戲不僅在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中起著不可估量的促進(jìn)作用，而且蘊(yùn)含著極其豐富的數(shù)學(xué)文化。通過數(shù)學(xué)游戲滲透數(shù)學(xué)文化，既合理，又和諧，讓學(xué)生如沐春風(fēng)。

三、數(shù)學(xué)游戲的實(shí)施策略

（一）序列化設(shè)計(jì)游戲內(nèi)容，豐盈數(shù)學(xué)課程

根據(jù)數(shù)學(xué)游戲的內(nèi)涵與價(jià)值，以及學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，我們詳細(xì)規(guī)劃了一到六年級的數(shù)學(xué)游戲內(nèi)容（見表1），在不增加學(xué)生課時(shí)的前提下，依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的核心知識、思想與方法，設(shè)置了數(shù)字與運(yùn)算、幾何與空間、統(tǒng)計(jì)與概率、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)建模等游戲。

表1 典型的數(shù)學(xué)游戲內(nèi)容舉例

續(xù)表

結(jié)合數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，遵循宜少不宜多的原則，歷時(shí)4 年，我們自主開發(fā)設(shè)計(jì)了一到六年級的180個(gè)數(shù)學(xué)游戲，使之內(nèi)容序列化、結(jié)構(gòu)化。平均每個(gè)學(xué)期安排15 個(gè)數(shù)學(xué)游戲，共計(jì)15 個(gè)課時(shí)。這樣既能豐富數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，也一定程度上降低了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度。

（二）開展數(shù)學(xué)游戲化學(xué)習(xí)，改善學(xué)習(xí)方式

對兒童而言，數(shù)學(xué)游戲是最有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)游戲既不直接與教材中的例題“交互”，也不直接與教師的語言教導(dǎo)“交互”，而是在有趣好玩的活動中直接與游戲本身“交互”。毫無疑問，通過數(shù)學(xué)游戲，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心可以得到最大限度的滿足。這種滿足既有情緒或情感上的，又有認(rèn)知或思維上的。

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材四年級上冊“田忌賽馬”后，結(jié)合教材中“搶數(shù)游戲”的內(nèi)容，我們自主開發(fā)了一節(jié)棋盤游戲課，意在讓學(xué)生經(jīng)歷猜測、驗(yàn)證、分析、揭秘的思維過程。游戲化的學(xué)習(xí)方式，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與游戲活動、方法探究等緊密地交織在一起，最大限度地調(diào)動了學(xué)生的情感與思維，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、形成與發(fā)展的過程，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂。

一、游戲引入，激發(fā)興趣

1.介紹游戲規(guī)則（見圖1）

圖1

（1）左下角為起點(diǎn)，右上角為終點(diǎn)。

（2）兩人一組對弈，從起點(diǎn)開始下棋，每人每次可以下1顆，也可以下2顆。

（3）每次只能接著向上走或向右走。

（4）誰先到終點(diǎn)，誰獲勝。

2.師生嘗試對弈

師：誰愿意和我來下一局？（師生對弈）為什么老師總是會贏？（學(xué)生思考）

3.同桌試玩游戲

（1）兩人一組，確定棋盤的起點(diǎn)和終點(diǎn)。

（2）每組下兩盤棋，每人一盤先下，一盤后下。

4.提出獲勝猜想

師：猜測一下，總是獲勝的同學(xué)有什么方法？

生1：我覺得先下棋的人會有一定贏的機(jī)會。

生2：我下棋的顆數(shù)要和他（對手）的湊成3 的倍數(shù)，即他下1 顆，我就要下兩顆；他下兩顆，我就要下1顆。

二、初次游戲，探究方法

1.設(shè)計(jì)游戲方案

師：（出示圖2）確定一條游戲路線，尋找必勝點(diǎn)。

圖2

2.思考游戲關(guān)鍵

（1）想一想，在這條游戲路線上搶到哪些點(diǎn)就一定能獲勝？用水彩筆涂上顏色。

（2）和同桌玩一玩，看看是否必勝。

（3）說一說，你是怎么找到這些必勝點(diǎn)的？

3.交流游戲感想

生3：（出示圖3）我找到這幾個(gè)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)只要占據(jù)這幾個(gè)點(diǎn)就一定能贏。

圖3

三、再次游戲，揭示原理

1.提出問題

師：這猜想對其他的游戲路線也成立嗎？

2.游戲操作

（1）出示游戲建議。

①同桌合作，確定一條游戲路線，并用水彩筆在紙質(zhì)棋盤上畫一畫。

②想一想，哪些是必勝點(diǎn)？用水彩筆涂上顏色。

③和同桌按設(shè)計(jì)的路線玩一玩，看看是否必勝。

（2）進(jìn)行游戲。

3.交流發(fā)現(xiàn)

（1）師生設(shè)計(jì)路線對弈。

（通過師生對弈，發(fā)現(xiàn)只要學(xué)生選擇先下，都是學(xué)生贏）

（2）觀察四條路線，尋找共同點(diǎn)。

師：（出示圖4）各組仔細(xì)觀察一下這四條路線，看看有沒有什么新的發(fā)現(xiàn)。

圖4

生4：我們組發(fā)現(xiàn)每條路線都有12 格，因?yàn)樗械穆肪€都可以平移成長方形的長和寬，所以長寬之和為12格。

生5：我們組發(fā)現(xiàn)，不管什么路線，都是后下的人才有贏的機(jī)會。

師：為什么會這樣呢？（在學(xué)生思考后出示圖5）

圖5

生6：其實(shí)就是3 個(gè)一份，12 個(gè)正好有這樣的4份，所以只要后下、湊3，就一定能贏。

（3）推廣到一般性。

師：如果路線不再規(guī)定，也不知道對方下次會往哪個(gè)方向走，剛才發(fā)現(xiàn)的必勝方法還有用嗎？同桌試著玩一玩。（學(xué)生玩后發(fā)現(xiàn)“后下、湊3”的方法具有一般性）

四、改變規(guī)則，創(chuàng)造游戲

師：能否改變一下游戲規(guī)則，創(chuàng)造新的下棋游戲？（讓學(xué)生發(fā)揮想象，自主設(shè)計(jì)出新的下棋游戲）

……

數(shù)學(xué)游戲化學(xué)習(xí)，一般要讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的四個(gè)步驟：游戲引入，激發(fā)興趣→初次游戲，探究方法→再次游戲，揭示原理→改變規(guī)則，創(chuàng)造游戲。會玩游戲只是手段，探索數(shù)學(xué)游戲中的原理，用數(shù)學(xué)知識解釋游戲，才是數(shù)學(xué)游戲化學(xué)習(xí)的核心要義。如果說學(xué)習(xí)是“神”、是內(nèi)容，游戲則是“形”、是形式。形式是為內(nèi)容服務(wù)的，形神合一是游戲化學(xué)習(xí)的追求。數(shù)學(xué)游戲化學(xué)習(xí)要注重有趣實(shí)用和理性思考相結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想方法和應(yīng)用價(jià)值，拓展思維空間，提升學(xué)生的思維能力。

（三）用游戲化思維設(shè)計(jì)作業(yè)，培養(yǎng)實(shí)踐能力

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)作業(yè)只重視知識技能的訓(xùn)練，對激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)實(shí)踐能力關(guān)注不夠。實(shí)踐證明，用游戲化思維設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)作業(yè)，不僅能讓學(xué)生樂于思考，而且可以有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和實(shí)踐能力。為此，我們組建團(tuán)隊(duì)，依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的核心知識、思想與方法以及學(xué)業(yè)評價(jià)要求，開發(fā)設(shè)計(jì)了500 例數(shù)學(xué)游戲作業(yè)，方便一線教師選擇使用，下面列舉兩例。

案例1：“一定是平行四邊形嗎？”

難度系數(shù)：★★★★☆

時(shí)限：10分鐘

游戲說明：任意畫一個(gè)四邊形，將每條邊平均分成2 段，就能找到中點(diǎn)，這樣就會產(chǎn)生4 個(gè)中點(diǎn)，把這4 個(gè)中點(diǎn)連接起來，所形成的圖形稱為中點(diǎn)四邊形，這個(gè)圖形就是一個(gè)平行四邊形（見圖6）。

圖6

如果再畫幾個(gè)四邊形（見圖7），按照這樣的方法也能得到平行四邊形嗎？

圖7

這個(gè)平行四邊形的面積和原來任意四邊形的面積之間有什么關(guān)系嗎？你可以嘗試探究一下。無論是凸四邊形還是凹四邊形，這個(gè)平行四邊形的面積是不是整個(gè)四邊形面積的一半？

案例2：“警察怎么快速抓住小偷？”

難度系數(shù)：★★☆☆☆

時(shí)限：10分鐘

準(zhǔn)備材料：白紙、兩個(gè)塑料瓶蓋

游戲說明：你想不想當(dāng)一次威風(fēng)凜凜的警察？那就讓我們和牛犇、火犬一起玩警察抓小偷的游戲吧！

牛犇：先在紙上畫出正五邊形，五邊形的每個(gè)角都畫成圓形，正五邊形用“人”形連接（見圖8）。

圖8

火犬：用淺黑色的瓶蓋代替警察，用黑色的瓶蓋代替小偷，兩個(gè)顏色瓶蓋放在任意的兩個(gè)圓里，通過“石頭剪刀布”游戲決定先走的一方；每次只能沿著線走，每次只能走一步，直到淺黑色的瓶蓋與黑色的瓶蓋重疊，就算抓住小偷。請你動手試試，最少幾步能抓住小偷？

需要轉(zhuǎn)換思路，不能緊追不放，陷入僵局后，可以以退為進(jìn)；若警察占據(jù)中心點(diǎn)，小偷走到正五邊形的一個(gè)角中，無論往哪邊走都是自投羅網(wǎng)。所以，至少需要4步（見圖9）才能抓住小偷。

圖9

（四）創(chuàng)建實(shí)驗(yàn)型游戲中心，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

倡導(dǎo)有條件的學(xué)校創(chuàng)建實(shí)驗(yàn)型游戲中心，有利于將數(shù)學(xué)游戲作為教育形態(tài)常態(tài)化實(shí)施，也為研究學(xué)生如何進(jìn)行游戲化學(xué)習(xí)提供實(shí)驗(yàn)型場所。為了更好地創(chuàng)建實(shí)驗(yàn)型游戲中心，需要配置游戲材料與器具，創(chuàng)新課桌椅擺放樣式，設(shè)計(jì)游戲中心運(yùn)行機(jī)制。首先，保障學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)游戲在時(shí)間上的相對自由。游戲中心在課余和周末是開放的，學(xué)生隨時(shí)可以來選取數(shù)學(xué)游戲材料與器具，也可以在游戲中心完成研究任務(wù)。其次，鼓勵(lì)建立家庭實(shí)驗(yàn)型游戲室，并在教師指導(dǎo)下選擇適合自己的數(shù)學(xué)游戲進(jìn)行研究，學(xué)校提供游戲材料以及展示平臺。最后，游戲中心為學(xué)生提供專門的研究場所，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和探索、創(chuàng)新意識。

總之，利用數(shù)學(xué)游戲開展數(shù)學(xué)教學(xué)，可以化抽象為直觀、變靜態(tài)為動態(tài)，為學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供了新視角，打開了一扇新的窗戶。教師可深入探索數(shù)學(xué)游戲在教學(xué)中的實(shí)施策略，使學(xué)生得到更好的發(fā)展。