周 萍,趙應(yīng)龍,朱成華

(1.江蘇海事職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 南京 210012; 2.海軍工程大學(xué), 武漢 430030;3.船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 武漢 430033; 4.華中科技大學(xué), 武漢 430070)

0 引言

推進(jìn)軸系是艦船推進(jìn)系統(tǒng)的最重要設(shè)備之一。艦船軸系確保將發(fā)動(dòng)機(jī)扭矩傳遞到螺旋槳,軸系的破壞將直接導(dǎo)致艦船失去動(dòng)力。而艦船運(yùn)行過程中,軸系可靠性很大程度上取決于軸承的可靠運(yùn)行。

常見艦船推進(jìn)軸系如圖1所示,其中軸系尾端軸承的主要作用是支撐尾軸和螺旋槳,根據(jù)材料分類,尾軸承主要有木質(zhì)、金屬、陶瓷以及高分子材料軸承。尾軸承除了承受推進(jìn)軸和螺旋槳不平衡激勵(lì)引起的交變載荷作用外,還需要考慮水密和環(huán)境污染問題,相對(duì)軸系中間軸承要長(zhǎng)、相對(duì)彎曲要大,尾軸承磨損會(huì)顯著,因此軸系尾端軸承被認(rèn)為是軸系最脆弱的部件[1]。

圖1 艦船推進(jìn)軸系簡(jiǎn)化圖

軸承磨損增加了螺旋槳軸在振動(dòng)過程中與軸承分離的長(zhǎng)度,從而影響軸的振蕩過程,進(jìn)而加速軸系的磨損,因此研究軸系軸承磨損允許值,對(duì)提高艦船軸系運(yùn)行可靠性、增加船舶維修間隔期、降低軸系維修成本、提升艦船戰(zhàn)斗力具有重要意義。

艦船推進(jìn)軸系是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)系統(tǒng),在各種靜態(tài)和動(dòng)態(tài)負(fù)載條件下運(yùn)行,已有很多學(xué)者對(duì)船舶軸系振動(dòng)進(jìn)行了深入研究。許得水等[2]結(jié)合能量方程、Rayleigh-Ritz方法并改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法,分析了粘彈性邊界條件軸系橫向振動(dòng)特性;覃會(huì)等[3]研究發(fā)現(xiàn)可以通過改變軸承的等效支承剛度,來改變軸系振動(dòng)特性和傳遞規(guī)律;李永哲等[4]基于動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了平行軸系偏斜、不對(duì)中量等因素對(duì)軸系非線性振動(dòng)影響進(jìn)行了分析;閆東[5]利用有限元法建立了一種復(fù)雜的空間分支軸系模型,研究了軸承剛度和軸承阻尼對(duì)整個(gè)系統(tǒng)橫向振動(dòng)特性的影響;邵明玉等[6]對(duì)建立了時(shí)變流固耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程,對(duì)懸臂梁振動(dòng)的頻率和阻尼特性進(jìn)行了分析;國(guó)玉闊等[7]研究了在螺旋槳等效激振力作用下的電機(jī)傳動(dòng)軸系,分析軸系運(yùn)行參數(shù)對(duì)軸系振動(dòng)特性的影響;李天勻[8-9]等構(gòu)建了單點(diǎn)、多點(diǎn)和連續(xù)分布式支撐的多種等效形式軸系橫向振動(dòng)計(jì)算模型,研究了不同等效形式軸系橫向振動(dòng)特性的影響。

同時(shí),軸系軸承作為最脆弱的部件,也有很多學(xué)者結(jié)合軸承磨損情況進(jìn)行了軸系振動(dòng)研究。曹宏瑞等[10]考慮滾道表面形貌和軸承間隙的變化,建立中介軸承磨損故障動(dòng)力學(xué)模型,結(jié)果表明軸承出現(xiàn)磨損后,振動(dòng)響應(yīng)頻率會(huì)出現(xiàn)若干隨機(jī)成分;田晶[11]基于非線性Hertz接觸理論,建立中介軸承多點(diǎn)故障4自由度動(dòng)力學(xué)模型,分析了缺陷寬度、徑向載荷和轉(zhuǎn)速比對(duì)典型故障特征參數(shù)的影響;吳庭葦[12]通過對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的軸承進(jìn)行受力特性分析,建立軸承非剛性連接的轉(zhuǎn)子模型,數(shù)值計(jì)算并分析轉(zhuǎn)子在軸承摩擦磨損影響下的動(dòng)力響應(yīng)特性。

從以上研究成果可以看出,學(xué)者們?cè)谳S系振動(dòng)和軸承磨損問題方面獲得了諸多有價(jià)值的研究成果,這為軸系和軸承設(shè)計(jì)、軸系故障診斷、維修保障以及服役壽命評(píng)價(jià)提供了重要的理論依據(jù)。然而,目前關(guān)于軸系振動(dòng)特性與軸承磨損之間的關(guān)系研究還比較少,特別是基于軸系振動(dòng)特性評(píng)估軸承磨損允許值的研究很少。因此,本文中針對(duì)考慮軸系軸承表面不均勻磨損情況下的軸系振動(dòng)計(jì)算方法進(jìn)行研究,提出一種考慮軸系軸承表面不均勻磨損情況下的軸系振動(dòng)計(jì)算理論模型理論,基于振動(dòng)計(jì)算理論建立了一種軸承磨損允許量計(jì)算方法,同時(shí)針對(duì)船舶軸系軸承長(zhǎng)度、剛度和磨損對(duì)船舶軸系固有頻率的影響進(jìn)行分析研究。

1 船舶軸系振動(dòng)計(jì)算的理論基礎(chǔ)

軸系彎曲振動(dòng)方程的類型取決于支撐點(diǎn)數(shù)量、分布、軸系長(zhǎng)度和跨度以及集中質(zhì)量的大小等系統(tǒng)的所有特征,在計(jì)算不同軸系系統(tǒng)時(shí),需要解決不同的微分方程。以下主要針對(duì)點(diǎn)支撐、長(zhǎng)支撐以及考慮長(zhǎng)支撐磨損軸系振動(dòng)固有頻率計(jì)算方法。

1.1 硬點(diǎn)支撐軸系振動(dòng)固有頻率的計(jì)算

兩點(diǎn)硬支撐軸系的振動(dòng)計(jì)算簡(jiǎn)化示意如圖2所示。

圖2 兩點(diǎn)硬支撐軸系簡(jiǎn)化示意圖

以上軸系的自由彎曲振動(dòng)微分方程如下

(1)

式(1)中:m為其中軸的質(zhì)量; M為端部螺旋槳負(fù)載;ξ為軸系垂向位移;z為軸向位移;E為楊氏模量,MPa; J為截面慣性矩;EJ為彎曲剛度,kg·m2;m為軸系線質(zhì)量,kg/m;t為時(shí)間,s。

使用KrylovA.N.函數(shù)[13],方程(1)的一般解如下:

ξ=y(z)sin(ωt)

(2)

其中

(3)

式(3)中:K1、K2、K3、K4為KrylovA.N.函數(shù);y0、φ0、M0、Q0為彎曲幅度、轉(zhuǎn)角、彎曲力矩、扭矩初始值,其中y0和φ0是幾何參數(shù),M0和Q0是機(jī)械參數(shù);y(z)為軸在z點(diǎn)的彎曲幅度,m;ω為軸旋轉(zhuǎn)頻率,rad/s,與振動(dòng)頻率f(1/s),ω=2πf。其中:

K1=(ch(αz)+cos(αz))/2

K2=(sh(αz)+sin(αz))/2

K3=(ch(αz)-cos(αz))/2

K4=(sh(αz)-sin(αz))/2

(4)

(5)

式(2)和式(3)適用于軸系系統(tǒng)的每個(gè)部分,以上方程的邊界條件如下

(6)

根據(jù)每個(gè)區(qū)段的方程(3)和A點(diǎn)鉸鏈支架的邊界條件,對(duì)于B點(diǎn)左端的負(fù)載M,我們得到了均勻方程組:

(7)

其中:A11～A33—方程組系數(shù),構(gòu)成方程(7)的行列式W;R0、RA支反力。

(8)

(9)

齊次方程組(7)的非零解存在條件是其行列式W為零,求解方程(9)即可得到Krylov函數(shù)中的α1值,最后得出軸系固有頻率p：

(10)

1.2 彈性長(zhǎng)支撐軸系振動(dòng)固有頻率的計(jì)算

采用點(diǎn)支撐軸系計(jì)算其振動(dòng)固有頻率的主要缺陷是未考慮船尾軸系支架的設(shè)計(jì)特點(diǎn),僅采用硬點(diǎn)支撐取代實(shí)際支架,而實(shí)際軸系的振動(dòng)應(yīng)該考慮軸系軸承的長(zhǎng)度和剛度,對(duì)于軸承段軸系振動(dòng)應(yīng)考慮為一個(gè)固定截面的梁,并且該梁由Winkler彈性基底支撐[14],其中Winkler基底模型是一系列相同剛度的彈簧,它們依賴于絕對(duì)剛度的基底,彼此獨(dú)立作用。

彈性長(zhǎng)支撐軸系振動(dòng)計(jì)算簡(jiǎn)化示意如圖3所示,O點(diǎn)為聯(lián)軸器端的簡(jiǎn)支、A點(diǎn)和B點(diǎn)為支撐軸承的彈性簡(jiǎn)支,其中軸的質(zhì)量為m,彎曲剛度為EJ,M為端部螺旋槳負(fù)載,軸系分為1、2、3段,分段長(zhǎng)度分別為l1、l2、l3,軸系區(qū)間2即為軸系的軸承支撐位置。

圖3 長(zhǎng)支撐軸系簡(jiǎn)化示意圖

區(qū)間1和3的振動(dòng)微分方程如方程(1)所示,位于彈性基座上軸系區(qū)間2,其振動(dòng)微分方程如下

(11)

采用方程(1)的計(jì)算算法,將方程(11)轉(zhuǎn)換為常數(shù)線性微分方程:

(12)

其中

(13)

利用Krylov的初始參數(shù)方法和函數(shù),方程(11)任意一點(diǎn)y(z)處的撓度為

(14)

其中

V1=ch(α2z)·cos(α2z)

V2=(ch(α2z)·sin(α2z)+sh(α2z)·

cos(α2z))/2

V3=(sh(α2z)·sin(α2z))/2

V4=(ch(α2z)·sin(α2z)-sh(α2z)·

cos(α2z))/4

(15)

軸系區(qū)間1振動(dòng)的彎曲方程與方程(3)的解相同:

(16)

軸系區(qū)間2振動(dòng)的彎曲方程:

(17)

通過旋轉(zhuǎn)角和鉸鏈固定支架反作用力來表示彈性基座上一點(diǎn)上的邊界條件,得到:

(18)

軸系區(qū)間3振動(dòng)的彎曲方程:

(19)

利用共軛條件,彈性基梁均勻振蕩方程組包含2個(gè)未知參數(shù)。

φ0A11+R0A21=0

φ0A12+R0A22=0

(20)

如前所述,對(duì)于齊次方程組(20),非零解的存在條件即為其行列式為零,從而可以求解得到α2,最后根據(jù)方程(13)求解到頻率p。

1.3 彈性長(zhǎng)支撐磨損下軸系振動(dòng)固有頻率的計(jì)算

彈性長(zhǎng)支撐磨損下軸系振動(dòng)計(jì)算簡(jiǎn)化示意如圖4所示,其中yk是彈性長(zhǎng)支撐端部B點(diǎn)處的徑向磨損間隙。

彈性長(zhǎng)支撐磨損情況下,軸系區(qū)間2的彎曲振動(dòng)微分方程如下

(21)

其中:y0是描述長(zhǎng)支架工作表面磨損形狀的曲線,該函數(shù)被發(fā)現(xiàn)可以由四階拋物線[15]進(jìn)行擬合:

y0=a0+a1z+a2z2+a3z3+a4z4

(22)

方程(21)的一般解是其偏解和齊次方程(11)的一般解之和,在此可以將方程(2)作為一個(gè)特殊解,因此得到彈性長(zhǎng)支撐磨損下軸系區(qū)間2的彎曲方程為

(23)

考慮到共軛條件和計(jì)算方案的邊界條件,具有2個(gè)未知數(shù)的非齊次方程組如下

φ0A11+R0A21=B1

φ0A12+R0A22=B2

(24)

為了使以上非齊次方程組有解,必須使行列式W的平方和等于零:

(25)

其中

(26)

因此,求解方程(26)從而可以求解得到α2,最后根據(jù)方程(13)求解到軸系固有頻率p。

2 彈性長(zhǎng)支撐軸系參數(shù)對(duì)振動(dòng)頻率的影響分析

2.1 支撐剛度的影響

為了分析軸承剛性對(duì)船舶軸系固有振動(dòng)頻率的影響,將圖1中的硬點(diǎn)支撐替換為彈性點(diǎn)支撐,如圖5所示,其中l(wèi)1=1.2 m,l2=0.75 m,M=1.45 t,軸系直徑D=0.65 m,E=2.2×109Pa。

圖5 彈性雙支承軸系振動(dòng)計(jì)算簡(jiǎn)化示意圖

A點(diǎn)支反力RA表達(dá)式如下

RA=cyA

(27)

其中:c是A點(diǎn)彈性支撐的剛度系數(shù)(N/M)。

首先,分別對(duì)硬點(diǎn)支撐和彈性點(diǎn)支撐進(jìn)行了計(jì)算分析,在支撐剛度系數(shù)c=0.36×108N/m的情況下,軸系固有頻率為p=37.8 Hz;硬點(diǎn)支撐情況軸系固有頻率p=43 Hz,頻率差異約為12%;然后,為了評(píng)估彈性點(diǎn)支撐剛度系數(shù)對(duì)軸系固有頻率的影響,彈性點(diǎn)支撐剛度系數(shù)104～1014N/m之間變化,基于第1部分的理論基礎(chǔ)分別進(jìn)行計(jì)算,建立了軸系固有頻率與彈性點(diǎn)支撐剛度系數(shù)之間的關(guān)系,如圖6所示,彈性點(diǎn)支撐剛度系數(shù)對(duì)軸線頻率有很大影響,隨著剛度系數(shù)的增加,固有頻率值增加,并在軸系絕對(duì)剛性支撐時(shí)振動(dòng)固有頻率達(dá)到峰值。

圖6 軸系固有頻率與彈性點(diǎn)支撐剛度系數(shù)之間的關(guān)系

最后,為研究彈性長(zhǎng)支撐剛度系數(shù)對(duì)軸系固有頻率的影響,針對(duì)圖2所示的長(zhǎng)支撐軸系進(jìn)行了計(jì)算分析,其中l(wèi)1=1.13 m,l2=0.65 m,l3=0.45 m,M=1.45 t,軸系直徑D=0.65 m,E=2.2×109Pa,彈性長(zhǎng)支撐剛性系數(shù)κ從0.1～109N/m增加到2～109N/m,軸系固有頻率從40 Hz增加到87 Hz,如圖7所示。

圖7 軸系固有頻率與彈性長(zhǎng)支撐剛度系數(shù)之間的關(guān)系

因此,軸承剛度系數(shù)對(duì)軸系固有頻率有顯著影響,固有頻率隨著軸承剛度系數(shù)的增加而增加。

2.2 支撐長(zhǎng)度的影響

考慮到彈性長(zhǎng)支撐的長(zhǎng)度和剛度對(duì)軸系固有頻率有顯著影響,為了分析軸承長(zhǎng)度對(duì)軸系固有頻率的影響,針對(duì)圖2中的l2從0.65 m縮短到0.10 m,縮短間距為0.05 m,其軸系固有頻率計(jì)算如圖8所示,當(dāng)彈性支撐長(zhǎng)度減小時(shí),軸系固有頻率逐漸降低,支撐長(zhǎng)度從0.65 m縮短到0.10 m,固有頻率降低36.48%。

圖8 軸系固有頻率隨彈性長(zhǎng)支撐長(zhǎng)度的變化情況

2.3 長(zhǎng)支撐磨損的影響

為比較分析長(zhǎng)支撐磨損對(duì)軸系固有頻率的影響,將彈性長(zhǎng)支撐簡(jiǎn)化成如圖9所示的2個(gè)彈性點(diǎn)支,軸系初始階段,其支承剛度系數(shù)為c1=c2=0.36×108N/m,其初始固有頻率值約為53 Hz。考慮到軸系軸承磨損的不均勻性,B點(diǎn)剛度系數(shù)c2小于A點(diǎn)的剛度系數(shù)c1。因此,為了評(píng)估長(zhǎng)支撐磨損對(duì)軸系固有頻率的影響,將c2降低10%～50%。

圖9 彈性長(zhǎng)支撐簡(jiǎn)化雙點(diǎn)彈支承軸系振動(dòng) 計(jì)算簡(jiǎn)化示意圖

基于以上假設(shè)對(duì)長(zhǎng)支撐磨損情況下的固有頻率進(jìn)行了計(jì)算,結(jié)果如圖10所示,當(dāng)剛度系數(shù)c2降低時(shí),固有頻率值降低;當(dāng)剛度系數(shù)c2降低50%時(shí),軸系固有頻率降低了約13%。

圖10 彈性長(zhǎng)支撐簡(jiǎn)化雙點(diǎn)彈支承軸系振動(dòng) 計(jì)算簡(jiǎn)化示意圖

3 船用軸系軸承允許磨損量計(jì)算方法

許多研究表明[16],軸系軸承在長(zhǎng)度方向的磨損不均勻,最大磨損通常發(fā)生在尾軸承的末端,在這種不均勻的磨損下,在船用軸系運(yùn)行期間,軸與軸承間的接觸不完全,因此在螺旋槳軸的工作頻率下可能發(fā)生共振現(xiàn)象。在共振狀態(tài)下,軸系處于不穩(wěn)定狀態(tài),軸系與軸承反復(fù)接觸—分離,反過來又可能導(dǎo)致尾部軸承加速磨損。因此,共振條件下軸系長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行是不可接受的,這不僅是因?yàn)檫\(yùn)行不平穩(wěn),而且還因?yàn)檩S系軸承磨損加快,軸系可能因此發(fā)生疲勞破壞等故障。

因此,可以通過計(jì)算軸系振動(dòng)固有頻率,與軸系工作頻率,評(píng)估二者無共振條件,從而確定軸系軸承的允許磨損量。其中軸系工作頻率是由驅(qū)動(dòng)螺旋槳的流體力矩激發(fā)而產(chǎn)生的,軸系工作頻率為

ν=z·n

(28)

式(28)中:z為螺旋槳葉片數(shù),n為螺旋槳旋轉(zhuǎn)頻率。

因此,軸系固有頻率與軸系工作頻率之間的無共振條件如下:

(29)

以某船軸系參數(shù)為基礎(chǔ),進(jìn)行軸系軸承磨損允許值得計(jì)算。軸系尾軸承l(wèi)2=0.824 m,螺旋槳轉(zhuǎn)速n=7.3 s-1,軸系直徑D=0.2 m,其中軸承剛度系數(shù)根據(jù)KleinerA.B.[16]方法得到κ=0.815×109N/m,計(jì)算簡(jiǎn)化示意如圖11所示。

圖11 軸系軸承磨損計(jì)算簡(jiǎn)化示意圖

根據(jù)方程(28),該船軸系工作頻率:

ν=z·n=4×7.3=29.2 Hz

(30)

根據(jù)方程(21),假定該船軸承磨損形狀近似線方程如下:

y=0.002 2-9×10-5z-4.45×10-4z2-2.1×10-14z3

(31)

將方程(22)a0的系數(shù)提高10%～50%,方程(22)的其他系數(shù)保持不變,用于描述不同磨損狀態(tài)下軸承的磨損形狀。表1給出了軸系固有頻率計(jì)算結(jié)果,其中包括考慮與不考慮螺旋槳附連水質(zhì)量p,pi,隨著軸承磨損的進(jìn)一步增加,軸系固有頻率降低;而且,螺旋槳附連水質(zhì)量對(duì)船舶軸系固有頻率的影響很大,考慮附連水質(zhì)量的軸系固有頻率下降約9%。

表1 軸承允許磨損量評(píng)估計(jì)算結(jié)果

根據(jù)給定的船舶參數(shù)及其方程(29)、(30),可以得出該船軸系尾軸承的最大允許間隙為Δ=5.0 mm,結(jié)合軸系與軸承之間的安裝間隙Δ0=1.3 mm,因此該船軸系軸承允許最大磨損量δ：

δ=Δ-Δ0=5.0-1.3=4.7 mm

(32)

4 結(jié)論

本文中針對(duì)船舶軸系軸承磨損問題,建立一種基于船用軸系彈性長(zhǎng)支撐振動(dòng)特性的軸承磨損允許量計(jì)算方法:

1) 建立彈性長(zhǎng)支撐軸系振動(dòng)計(jì)算理論模型,模型考慮彈性長(zhǎng)支撐剛度,支撐間距、表面不均勻磨損量對(duì)軸系固有頻率的影響;

2) 采用所建立的理論模型,分析船舶軸系軸承磨損情況下的軸系振動(dòng),發(fā)現(xiàn)軸系振動(dòng)固有頻率隨軸承剛度系數(shù)的降低而降低、隨軸承長(zhǎng)度的減小而降低、隨磨損量增加而降低;

3) 考慮螺旋槳附連水質(zhì)量,船舶軸系固有頻率會(huì)降低約8%～10%。